En matemáticas , dos matrices cuadradas A y B sobre un cuerpo se denominan congruentes si existe una matriz invertible P sobre el mismo cuerpo tal que
donde "T" denota la matriz transpuesta . La congruencia matricial es una relación de equivalencia .
La congruencia matricial surge al considerar el efecto del cambio de base en la matriz de Gram asociada a una forma bilineal o forma cuadrática en un espacio vectorial de dimensión finita : dos matrices son congruentes si y sólo si representan la misma forma bilineal con respecto a diferentes bases .
Nótese que Halmos define la congruencia en términos de transpuesta conjugada (con respecto a un espacio de producto interno complejo ) en lugar de transpuesta, [1] pero esta definición no ha sido adoptada por la mayoría de los otros autores.
La ley de inercia de Sylvester establece que dos matrices simétricas congruentes con valores reales tienen la misma cantidad de valores propios positivos, negativos y cero . Es decir, la cantidad de valores propios de cada signo es un invariante de la forma cuadrática asociada. [2]