teorema de Specht

Da una condición necesaria y suficiente para que dos matrices complejas sean unitariamente equivalentes

En matemáticas, el teorema de Specht da una condición necesaria y suficiente para que dos matrices complejas sean unitariamente equivalentes . Lleva el nombre de Wilhelm Specht , quien demostró el teorema en 1940. ^[1]

Se dice que dos matrices A y B con entradas de números complejos son unitariamente equivalentes si existe una matriz unitaria U tal que B = U  * AU . ^[2] Dos matrices que son unitariamente equivalentes también son similares . Dos matrices similares representan el mismo mapa lineal , pero con respecto a una base diferente ; la equivalencia unitaria corresponde a un cambio de una base ortonormal a otra base ortonormal.

Si A y B son unitariamente equivalentes, entonces tr AA * = tr BB *, donde tr denota la traza (en otras palabras, la norma de Frobenius es una invariante unitaria). Esto se desprende de la invariancia cíclica de la traza: si B = U  * AU , entonces tr BB * = tr U  * AUU  * A * U = tr AUU  * A * UU  * = tr AA *, donde la segunda igualdad es la invariancia cíclica . ^[3]

Así, tr AA * = tr BB * es una condición necesaria para la equivalencia unitaria, pero no es suficiente. El teorema de Specht da infinitas condiciones necesarias que juntas también son suficientes. La formulación del teorema utiliza la siguiente definición. Una palabra en dos variables, digamos x e y , es una expresión de la forma

${\displaystyle W(x,y)=x^{m_{1}}y^{n_{1}}x^{m_{2}}y^{n_{2}}\cdots x^{m_{p}},}$

donde m ₁ , n ₁ , m ₂ , n ₂ ,…, m _p son números enteros no negativos. El grado de esta palabra es

${\displaystyle m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}+\cdots +m_{p}.}$

Teorema de Specht: Dos matrices A y B son unitariamente equivalentes si y sólo si tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) para todas las palabras W . ^[4]

El teorema da un número infinito de identidades de trazas, pero puede reducirse a un subconjunto finito. Sea n el tamaño de las matrices A y B. Para el caso n = 2, las tres condiciones siguientes son suficientes: ^[5]

${\displaystyle \operatorname {tr} \,A=\operatorname {tr} \,B,\quad \operatorname {tr} \,A^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2},\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} \,AA^{*}=\operatorname {tr} \,BB^{*}.}$

Para n = 3, las siguientes siete condiciones son suficientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {tr} \,A=\operatorname {tr} \,B,\quad \operatorname {tr} \,A^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2},\quad \operatorname {tr} \,AA^{*}=\operatorname {tr} \,BB^{*},\quad \operatorname {tr} \,A^{3}=\operatorname {tr} \,B^{3},\\&\operatorname {tr} \,A^{2}A^{*}=\operatorname {tr} \,B^{2}B^{*},\quad \operatorname {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}=\operatorname {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2},\quad {\text{and}}\quad \operatorname {tr} \,A^{2}(A^{*})^{2}AA^{*}=\operatorname {tr} \,B^{2}(B^{*})^{2}BB^{*}.\end{aligned}}}$  ^[6]

Para n general , basta demostrar que tr W ( A , A *) = tr W ( B , B *) para todas las palabras de grado como máximo

${\displaystyle n{\sqrt {{\frac {2n^{2}}{n-1}}+{\frac {1}{4}}}}+{\frac {n}{2}}-2.}$  ^[7]

Se ha conjeturado que esto se puede reducir a una expresión lineal en n . ^[8]

Notas

1. Discurso (1940)
2. Horn & Johnson (1985), Definición 2.2.1
3. Horn & Johnson (1985), Teorema 2.2.2
4. Horn & Johnson (1985), Teorema 2.2.6
5. Horn & Johnson (1985), Teorema 2.2.8
6. Sibirskiǐ (1976), pág. 260, citado por Đoković y Johnson (2007)
7. Pappacena (1997), Teorema 4.3
8. Freedman, Gupta y Guralnick (1997), pág. 160

Referencias

• Đoković, Dragomir Ž.; Johnson, Charles R. (2007), "Patrones de cero unitariamente alcanzables y rastros de palabras en A y A *", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 421 (1): 63–68, doi : 10.1016/j.laa.2006.03. 002 , ISSN  0024-3795.
• Freedman, Allen R.; Gupta, Ram Niwas; Guralnick, Robert M. (1997), "Teorema de Shirshov y representaciones de semigrupos", Pacific Journal of Mathematics , 181 (3): 159–176, doi : 10.2140/pjm.1997.181.159 , ISSN  0030-8730.
• Cuerno, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Análisis matricial , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Pappacena, Christopher J. (1997), "Un límite superior para la longitud de un álgebra de dimensión finita", Journal of Algebra , 197 (2): 535–545, doi : 10.1006/jabr.1997.7140 , ISSN  0021-8693.
• Sibirskiǐ, KS (1976), Invariantes algebraicas de matrices y ecuaciones diferenciales (en ruso), Izdat. "Štiinca", Kishinev.
• Specht, Wilhelm (1940), "Zur Theorie der Matrizen. II", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 50 : 19–23, ISSN  0012-0456.