Cubriendo el espacio

Tipo de mapa continuo en topología.

Intuitivamente, una cubierta proyecta localmente una "pila de panqueques" sobre un vecindario abierto hacia ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

En topología , una proyección de cobertura o cobertura es un mapa sobreyectivo entre espacios topológicos que, intuitivamente, actúa localmente como una proyección de múltiples copias de un espacio sobre sí mismo. En particular, las coberturas son tipos especiales de homeomorfismos locales . Si es una cobertura, se dice que es una cobertura espacio o cubierta de , y se dice que es la base de la cobertura , o simplemente la base . Por abuso de terminología , ya veces se le puede llamar espacios que cubren también. Dado que las coberturas son homeomorfismos locales, un espacio de cobertura es un tipo especial de espacio étale . ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle ({\tilde {X}},p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle p}$

Los espacios de cobertura surgieron por primera vez en el contexto del análisis complejo (específicamente, la técnica de continuación analítica ), donde fueron introducidos por Riemann como dominios en los que funciones complejas naturalmente multivaluadas se vuelven univaluadas. Estos espacios ahora se denominan superficies de Riemann . ^{[1] : 10}

Cubrir espacios es una herramienta importante en varias áreas de las matemáticas. En la geometría moderna , los espacios de cobertura (o coberturas ramificadas , que tienen condiciones ligeramente más débiles) se utilizan en la construcción de variedades , orbifolds y los morfismos entre ellos. En topología algebraica , los espacios de cobertura están estrechamente relacionados con el grupo fundamental : por un lado, dado que todos los recubrimientos tienen la propiedad de elevación de homotopía , los espacios de cobertura son una herramienta importante en el cálculo de grupos de homotopía . Un ejemplo estándar en este sentido es el cálculo del grupo fundamental del círculo mediante la cobertura de by (ver más abajo). ^{[2] : 29} Bajo ciertas condiciones, los espacios de cobertura también exhiben una correspondencia de Galois con los subgrupos del grupo fundamental. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definición

Sea un espacio topológico. Una cobertura de es un mapa continuo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$

tal que para cada existe una vecindad abierta de y un espacio discreto tal que y es un homeomorfismo para cada . Los conjuntos abiertos se denominan láminas, que se determinan de forma única hasta el homeomorfismo si son conexos . ^{[2] : 56} Para cada uno el conjunto discreto se llama fibra de . Si es conexo, se puede demostrar que la cardinalidad de es la misma para todos ; este valor se llama grado de cobertura. Si está conectado a un camino , entonces la cubierta se llama cubierta conectada a un camino . Esta definición es equivalente a la afirmación de que es un paquete de fibra localmente trivial . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{x})=\displaystyle \bigsqcup _{d\in D_{x}}V_{d}}$ ${\displaystyle \pi |_{V_{d}}:V_{d}\rightarrow U_{x}}$ ${\displaystyle d\in D_{x}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle p}$

Ejemplos

• Para cada espacio topológico , el mapa de identidad es una cobertura. Asimismo, para cualquier espacio discreto la toma de proyección es una cubierta. Las coberturas de este tipo se denominan coberturas triviales ; Si tiene un número finito de (digamos ) elementos, la cubierta se llama cubierta trivial de hojas . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :X\rightarrow X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \pi :X\times D\rightarrow X}$ ${\displaystyle (x,i)\mapsto x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

El espacio es un espacio de cobertura de . Los conjuntos abiertos disjuntos se asignan homeomórficamente a . La fibra de consta de los puntos . ${\displaystyle Y=[0,1]\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X=[0,1]\times S^{1}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y_{i}}$

• El mapa es una cobertura del círculo unitario . La base de la cubierta es y el espacio de la cubierta es . Para cualquier punto tal que , el conjunto es una vecindad abierta de . La preimagen de debajo es ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in S^{1}}$ ${\displaystyle x_{1}>0}$ ${\displaystyle U:=\{(x_{1},x_{2})\in S^{1}\mid x_{1}>0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle r^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(n-{\frac {1}{4}},n+{\frac {1}{4}}\right)}$

y las láminas de la cubierta son para la fibra de es ${\displaystyle V_{n}=(n-1/4,n+1/4)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle r^{-1}(x)=\{t\in \mathbb {R} \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=x\}.}$

• Otra cobertura del círculo unitario es el mapa con para algunos. Para una vecindad abierta de an , se tiene: ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in S^{1}}$

${\displaystyle q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U}$.

• Un mapa que es un homeomorfismo local pero no una cobertura del círculo unitario es con . Hay una hoja de una vecindad abierta de , que no está asignada homeomórficamente a . ${\displaystyle p:\mathbb {R_{+}} \to S^{1}}$ ${\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle U}$

Propiedades

Homeomorfismo local

Dado que una cobertura asigna homeomorfismo a cada uno de los conjuntos abiertos disjuntos de , es un homeomorfismo local, es decir, es un mapa continuo y para cada existe una vecindad abierta de , tal que es un homeomorfismo. ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle V\subset E}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)}$

De ello se deduce que el espacio de cobertura y el espacio de base comparten localmente las mismas propiedades. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• Si es una variedad conectada y no orientable , entonces hay una cobertura de grado , por lo que es una variedad conectada y orientable. ^{[2] : 234} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• Si es un grupo de Lie conectado , entonces hay una cobertura que también es un homomorfismo de grupo de Lie y es un grupo de Lie. ^{[3] : 174} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in X with }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}{\text{ modulo homotopy with fixed ends}}\}}$
• Si es un gráfico , entonces se deduce que para una cobertura también es un gráfico. ^{[2] : 85} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle E}$
• Si es un colector conectado , entonces hay una cubierta , por lo que hay un colector conectado y simplemente conectado . ^{[4] : 32} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• Si es una superficie de Riemann conexa , entonces hay una cobertura que también es un mapa holomorfo ^{[4] : ​​22} y es una superficie de Riemann conexa y simplemente conexa. ^{[4] : 32} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Factorización

Sean y espacios conectados por caminos, espacios conectados localmente por caminos, y y sean mapas continuos, de modo que el diagrama ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle r}$

viaja.

• Si y son coberturas, también lo es . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$
• Si y son coberturas, también lo es . ^{[5] : 485} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$

Producto de revestimientos

Sean y espacios topológicos y y coberturas, entonces con es una cobertura. ^{[5] : 339} Sin embargo, no todas las coberturas son de esta forma en general. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p':E'\rightarrow X'}$ ${\displaystyle p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'}$ ${\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))}$ ${\displaystyle X\times X'}$

Equivalencia de revestimientos

Sea un espacio topológico y y sean coberturas. Ambas coberturas se llaman equivalentes , si existe un homeomorfismo , tal que el diagrama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p':E'\rightarrow X}$ ${\displaystyle h:E\rightarrow E'}$

viaja. Si tal homeomorfismo existe, entonces se llama a los espacios de cobertura isomórficos . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E'}$

Propiedad de elevación

Todos los revestimientos satisfacen la propiedad de elevación , es decir:

Sea el intervalo unitario y sea una cobertura. Sea un mapa continuo y sea un ascensor de , es decir, un mapa continuo tal que . Entonces hay un mapa continuo determinado de forma única para cuál y cuál es un levantamiento de , es decir . ^{[2] : 60} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle F:Y\times I\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E}$ ${\displaystyle F|_{Y\times \{0\}}}$ ${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}(y,0)={\tilde {F}}_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}=F}$

Si es un espacio conectado por caminos, entonces se deduce que el mapa es un levantamiento de un camino en y es un levantamiento de una homotopía de caminos en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=\{0\}}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=I}$ ${\displaystyle X}$

Como consecuencia, se puede demostrar que el grupo fundamental del círculo unitario es un grupo cíclico infinito , que es generado por las clases de homotopía del bucle con . ^{[2] : 29} ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$ ${\displaystyle \gamma :I\rightarrow S^{1}}$ ${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$

Sea un espacio conectado por un camino y una cubierta conectada. Sean dos puntos cualesquiera, que están conectados por un camino , es decir, y . Sea el ascensor único de , luego el mapa. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)}$con ${\displaystyle L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)}$

es biyectivo . ^{[2] : 69}

Si es un espacio conexo por caminos y una cobertura conexa, entonces el homomorfismo de grupo inducido ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$

${\displaystyle p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)}$con , ${\displaystyle p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]}$

es inyectivo y el subgrupo de consta de las clases de homotopía de bucles en , cuyos ascensores son bucles en . ^{[2] : 61} ${\displaystyle p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

Cobertura ramificada

Definiciones

Mapas holomorfos entre superficies de Riemann.

Sean y superficies de Riemann , es decir, variedades complejas unidimensionales , y sea un mapa continuo. es holomorfo en un punto , si para cualesquiera cartas de y de , con , el mapa es holomorfo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi _{f(x)}:U_{2}\rightarrow V_{2}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$

Si es holomórfico , decimos que es holomórfico. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f}$

El mapa se llama expresión local de in . ${\displaystyle F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$

Si es un mapa holomórfico no constante entre superficies compactas de Riemann , entonces es sobreyectivo y un mapa abierto , ^{[4] : ​​11} es decir, para cada conjunto abierto la imagen también está abierta. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle f(U)\subset Y}$

Punto de ramificación y punto de ramificación.

Sea un mapa holomorfo no constante entre superficies compactas de Riemann. Para cada existen gráficos para y y existe un determinado de forma única , de modo que la expresión local de in tiene la forma . ^{[4] : 10} El número se llama índice de ramificación de in y el punto se llama punto de ramificación si . Si es para an , entonces no está ramificado . El punto imagen de un punto de ramificación se llama punto de ramificación. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k_{x}\in \mathbb {N_{>0}} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{k_{x}}}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k_{x}\geq 2}$ ${\displaystyle k_{x}=1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$

Grado de un mapa holomorfo

Sea un mapa holomorfo no constante entre superficies compactas de Riemann. El grado de es la cardinalidad de la fibra de un punto no ramificado , es decir . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} (f):=|f^{-1}(y)|}$

Este número está bien definido, ya que para cada fibra es discreta ^{[4] : ​​20} y para dos puntos cualesquiera no ramificados , es: ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$ ${\displaystyle |f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|.}$

Se puede calcular mediante:

${\displaystyle \sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=\operatorname {deg} (f)}$ ^{[4] : 29}

Cobertura ramificada

Definición

Un mapa continuo se llama cobertura ramificada , si existe un conjunto cerrado con complemento denso , tal que es una cobertura. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle E\subset Y}$ ${\displaystyle f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}:X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E}$

Ejemplos

• Sea y , entonces con es una cobertura ramificada de grado , donde by es un punto de ramificación. ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z=0}$
• Cada mapa holomórfico no constante entre superficies compactas de grado de Riemann es una cobertura ramificada de grado . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Revestimiento universal

Definición

Sea una cubierta simplemente conectada . Si hay otra cobertura simplemente conexa, entonces existe un homeomorfismo determinado de manera única , tal que el diagrama ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \beta :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \alpha :{\tilde {X}}\rightarrow E}$

viaja. ^{[5] : 482}

Esto significa que , hasta la equivalencia, está unívocamente determinado y por esa propiedad universal se denota como cobertura universal del espacio . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

Existencia

No siempre existe una cobertura universal, pero las siguientes propiedades garantizan su existencia:

Sea un espacio topológico conectado, localmente simplemente conectado ; entonces existe una cobertura universal . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$

${\displaystyle {\tilde {X}}}$se define como y por . ^{[2] : 64} ${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in }}X{\text{ with }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}}$ ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle p([\gamma ]):=\gamma (1)}$

La topología de se construye de la siguiente manera: Sea un camino con . Sea una vecindad simplemente conectada del punto final , entonces, para cada uno, los caminos dentro de a están determinados de forma única hasta la homotopía . Consideremos ahora que with es una biyección y puede equiparse con la topología final de . ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \gamma :I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x_{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x=\gamma (1)}$ ${\displaystyle y\in U}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}:=\{\gamma .\sigma _{y}:y\in U\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}}$ ${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}:{\tilde {U}}\rightarrow U}$ ${\displaystyle p([\gamma .\sigma _{y}])=\gamma .\sigma _{y}(1)=y}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}}$ ${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}}$

El grupo fundamental actúa libremente sobre y con es un homeomorfismo, es decir . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma }$ ${\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma .{\tilde {x}}]}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \psi :\Gamma \backslash {\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \psi ([\Gamma {\tilde {x}}])={\tilde {x}}(1)}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash {\tilde {X}}\cong X}$

Ejemplos

El pendiente hawaiano. Sólo se muestran los diez círculos más grandes.

• ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$con es la cobertura universal del círculo unitario . ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• ${\displaystyle p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}}$con es la cobertura universal del espacio proyectivo para . ${\displaystyle p(x)=[x]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle n>1}$
• ${\displaystyle q:\mathrm {SU} (n)\ltimes \mathbb {R} \to U(n)}$con
  $${\displaystyle q(A,t)={\begin{bmatrix}\exp(2\pi it)&0\\0&I_{n-1}\end{bmatrix}}_{\vphantom {x}}A}$$
  es la cobertura universal del grupo unitario . ^{[6] : 5, Teorema 1} ${\displaystyle U(n)}$
• Dado que , se deduce que el mapa del cociente ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$
  $${\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)\backslash \mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)}$$
  es la cobertura universal del . ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$
• Un espacio topológico que no tiene una cobertura universal es el pendiente hawaiano :
  $${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}}$$
  Se puede demostrar que ninguna vecindad del origen está simplemente conexa. ^{[5] : 487, Ejemplo 1} ${\displaystyle (0,0)}$

Revestimientos G

Sea G un grupo discreto que actúa sobre el espacio topológico X. Esto significa que cada elemento g de G está asociado a un homeomorfismo H _g de X sobre sí mismo, de tal manera que H _{g h} es siempre igual a H _g ∘ H _h para dos elementos cualesquiera g y h de G . (O en otras palabras, una acción grupal del grupo G en el espacio X es simplemente un homomorfismo grupal del grupo G en el grupo Homeo( X ) de autohomeomorfismos de X .) Es natural preguntarse bajo qué condiciones La proyección desde X al espacio orbital X / G es un mapa de cobertura. Esto no siempre es cierto ya que la acción puede tener puntos fijos. Un ejemplo de esto es el grupo cíclico de orden 2 que actúa sobre un producto X × X por la acción de torsión donde el elemento sin identidad actúa por ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Por tanto, el estudio de la relación entre los grupos fundamentales de X y X / G no es tan sencillo.

Sin embargo, el grupo G actúa sobre el grupoide fundamental de X , por lo que el estudio se maneja mejor considerando los grupos que actúan sobre los grupoides y los grupoides de órbita correspondientes . La teoría para esto se establece en el Capítulo 11 del libro Topología y grupoides al que se hace referencia a continuación. El resultado principal es que para acciones discontinuas de un grupo G sobre un espacio de Hausdorff X que admite una cobertura universal, entonces el grupoide fundamental del espacio orbital X / G es isomorfo al grupoide orbital del grupoide fundamental de X , es decir, el cociente de ese grupoide por la acción del grupo G . Esto lleva a cálculos explícitos, por ejemplo del grupo fundamental del cuadrado simétrico de un espacio.

Transformación de cubierta

Definición

Sea una cubierta. Una transformación de mazo es un homeomorfismo , tal que el diagrama de mapas continuos ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$

viaja. Junto con la composición de los mapas, el conjunto de transformación del mazo forma un grupo , que es lo mismo que . ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$

Ahora supongamos que es un mapa de cobertura y (y por lo tanto también ) está conectado y la ruta está conectada localmente. La acción de sobre cada fibra es transitiva . Si esta acción es gratuita en alguna fibra, entonces lo será en todas las fibras, y llamamos a la funda regular (o normal o Galois ). Cada una de estas coberturas regulares es un paquete principal , que se considera un grupo topológico discreto. ${\displaystyle p:C\to X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}$

Cada cubierta universal es regular, siendo el grupo de transformación de la plataforma isomorfo al grupo fundamental . ${\displaystyle p:D\to X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Ejemplos

• Sea la cobertura para algunos , entonces el mapa es una transformación de mazo y . ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /\mathbb {nZ} }$
• Sea la cubierta , entonces el mapa con es una transformación de plataforma y . ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z} }$
• Como otro ejemplo importante, considere el plano complejo y el plano complejo menos el origen. Entonces el mapa es una portada normal. Las transformaciones de deck son multiplicaciones con raíces -ésimas de la unidad y, por lo tanto, el grupo de transformación de deck es isomorfo al grupo cíclico . Asimismo, el mapa con es la portada universal. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle p(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \exp(z)=e^{z}}$

Propiedades

Sea un espacio conectado por un camino y una cubierta conectada. Dado que una transformación de plataforma es biyectiva , permuta los elementos de una fibra con un solo punto y está determinada únicamente por dónde envía un solo punto. En particular, sólo el mapa de identidad fija un punto en la fibra. ^{[2] : 70} Debido a esta propiedad, cada transformación de plataforma define una acción de grupo en , es decir, sea una vecindad abierta de a y una vecindad abierta de an , entonces es una acción de grupo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$ ${\displaystyle p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}\subset E}$ ${\displaystyle e\in p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})}$

Revestimientos normales

Definición

Una cubierta se llama normal si . Esto significa que para cada dos existe una transformación de mazo , tal que . ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\backslash E\cong X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$ ${\displaystyle d(e_{0})=e_{1}}$

Propiedades

Sea un espacio conectado por un camino y una cubierta conectada. Sea un subgrupo de , entonces es una cobertura normal si y así es un subgrupo normal de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Si es una cobertura normal y , entonces . ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong \pi _{1}(X)/H}$

Si es una cobertura conectada por un camino y , entonces , donde es el normalizador de . ^{[2] : 71} ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong N(H)/H}$ ${\displaystyle N(H)}$ ${\displaystyle H}$

Sea un espacio topológico. Un grupo actúa discontinuamente , si cada uno tiene una vecindad abierta con , de modo que para cada uno uno tiene . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle V\subset E}$ ${\displaystyle V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle d_{1},d_{2}\in \Gamma }$ ${\displaystyle d_{1}V\cap d_{2}V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle d_{1}=d_{2}}$

Si un grupo actúa discontinuamente en un espacio topológico , entonces el mapa cociente con es una cobertura normal. ^{[2] : 72} Por la presente es el espacio cociente y es la órbita de la acción grupal. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$ ${\displaystyle q(e)=\Gamma e}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}}$ ${\displaystyle \Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}}$

Ejemplos

• La cubierta es una cubierta normal para todos . ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• Cada revestimiento simplemente conectado es un revestimiento normal.

Cálculo

Sea un grupo que actúa discontinuamente sobre un espacio topológico y sea la cobertura normal. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$

• Si está conectado por ruta, entonces . ^{[2] : 72} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma }$

• Si es simplemente conexo, entonces . ^{[2] : 71} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)}$

Ejemplos

• Dejar . El mapa antípoda genera , junto con la composición de mapas, un grupo e induce una acción grupal , que actúa de forma discontinua sobre . De ello se deduce que el mapa de cocientes es una cobertura normal y para una cobertura universal, por lo tanto, para . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g:S^{n}\rightarrow S^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=-x}$ ${\displaystyle D(g)\cong \mathbb {Z/2Z} }$ ${\displaystyle D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle q:S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})}$ ${\displaystyle n>1}$
• Sea el grupo ortogonal especial , entonces el mapa es una cobertura normal y debido a , es la cobertura universal, por lo tanto . ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {SO} (3))}$
• Con la acción grupal de on , siendo el producto semidirecto , se obtiene la cobertura universal de la botella klein . ${\displaystyle (z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z^{2}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z^{2}} ,*)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)}$
• Sea el toro que está incrustado en el . Entonces se obtiene un homeomorfismo , que induce una acción grupal discontinua , mediante la cual . De ello se deduce que el mapa es una cubierta normal de la botella klein, por lo tanto . ${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$ ${\displaystyle \alpha :T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\times T\rightarrow T}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z} }$ ${\displaystyle f:T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} }$
• Quede incrustado en el . Dado que la acción del grupo es discontinua, por lo que son coprimos , el mapa es la cobertura universal del espacio de la lente , por lo tanto . ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$ ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}}$ ${\displaystyle L_{p,q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})}$

Correspondencia de Galois

Sea un espacio conexo y localmente simplemente conexo , entonces para cada subgrupo existe una cobertura conexa por caminos con . ^{[2] : 66} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H}$

Sean y dos coberturas conectadas por caminos, entonces son equivalentes si son subgrupos y están conjugados entre sí. ^{[5] : 482} ${\displaystyle p_{1}:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p_{2}:E'\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))}$

Sea un espacio conexo y localmente simplemente conexo, entonces, hasta equivalencia entre revestimientos, existe una biyección: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{path-connected covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normal subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normal covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\end{matrix}}}$

Para una secuencia de subgrupos se obtiene una secuencia de coberturas . Para un subgrupo con índice , la cobertura tiene grado . ${\displaystyle \displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle H\subset \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d}$ ${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$ ${\displaystyle d}$

Clasificación

Definiciones

Categoría de revestimientos

Sea un espacio topológico. Los objetos de la categoría son las coberturas y los morfismos entre dos coberturas y son mapas continuos , de modo que el diagrama ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Cov(X)}}}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle q:F\rightarrow X}$ ${\displaystyle f:E\rightarrow F}$

viaja.

Conjunto G

Sea un grupo topológico . La categoría es la categoría de conjuntos que son conjuntos G. Los morfismos son mapas G entre conjuntos G. Satisfacen la condición para cada . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {G-Set}}}$ ${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \phi (gx)=g\,\phi (x)}$ ${\displaystyle g\in G}$

Equivalencia

Sea un espacio conexo y localmente simplemente conexo, y sea el grupo fundamental de . Dado que define, mediante elevación de caminos y evaluando en el punto final de la elevación, una acción grupal sobre la fibra de una cubierta, el funtor es una equivalencia de categorías . ^{[2] : 68–70} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G=\pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)}$

Aplicaciones

El bloqueo del cardán se produce porque cualquier mapa T ³ → RP ³ no es un mapa de cobertura. En particular, el mapa relevante lleva cualquier elemento de T ³ , es decir, un triple ordenado (a,b,c) de ángulos (números reales mod 2 π ), a la composición de los tres ejes de coordenadas de rotación R _x (a) ∘R _y (b)∘R _z (c) por esos ángulos, respectivamente. Cada una de estas rotaciones, y su composición, es un elemento del grupo de rotación SO(3), que topológicamente es RP ³ . Esta animación muestra un conjunto de tres cardanes montados juntos para permitir tres grados de libertad. Cuando los tres cardanes están alineados (en el mismo plano), el sistema solo puede moverse en dos dimensiones desde esta configuración, no en tres, y está bloqueado con el cardán . En este caso puede cabecear o guiñar, pero no rodar (girar en el plano en el que se encuentran todos los ejes).

Una aplicación práctica importante de cubrir espacios se produce en los gráficos de SO(3) , el grupo de rotación . Este grupo ocurre ampliamente en ingeniería, debido a que las rotaciones tridimensionales se utilizan mucho en navegación , ingeniería náutica e ingeniería aeroespacial , entre muchos otros usos. Topológicamente, SO(3) es el espacio proyectivo real RP ³ , con grupo fundamental Z /2, y sólo (no trivial) cubriendo el espacio la hiperesfera S ³ , que es el grupo Spin(3) , y representada por los cuaterniones unitarios. . Por tanto, los cuaterniones son un método preferido para representar rotaciones espaciales; consulte cuaterniones y rotación espacial .

Sin embargo, a menudo es deseable representar las rotaciones mediante un conjunto de tres números, conocidos como ángulos de Euler (en numerosas variantes), porque esto es conceptualmente más simple para alguien familiarizado con la rotación plana y porque se puede construir una combinación de tres cardanes para producir rotaciones en tres dimensiones. Topológicamente esto corresponde a un mapa desde el 3-toro T ³ de tres ángulos hasta el espacio proyectivo real RP ³ de rotaciones, y el mapa resultante tiene imperfecciones debido a que este mapa no puede ser un mapa de cobertura. Específicamente, el hecho de que el mapa no sea un homeomorfismo local en ciertos puntos se conoce como bloqueo de cardán y se demuestra en la animación de la derecha: en algunos puntos (cuando los ejes son coplanares) el rango del mapa es 2, en lugar de 3, lo que significa que solo se pueden realizar 2 dimensiones de rotaciones desde ese punto cambiando los ángulos. Esto causa problemas en las aplicaciones y se formaliza mediante la noción de espacio de cobertura.

Ver también

• Bethe lattice es la cubierta universal de un gráfico de Cayley.
• Gráfico de cobertura , un espacio de cobertura para un gráfico no dirigido y su caso especial, la doble cobertura bipartita
• grupo de cobertura
• conexión galois
• Espacio cociente (topología)

Literatura

• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-79160-X. OCLC  45420394.
• Forster, Otto (1981). Conferencias sobre superficies de Riemann . Nueva York. ISBN 0-387-90617-7. OCLC  7596520.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Munkres, James R. (2018). Topología . Nueva York, NY. ISBN 978-0-13-468951-7. OCLC  964502066.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Kühnel, Wolfgang (2011). Matrizen und Lie-Gruppen Eine geometrische Einführung (en alemán). Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag. doi :10.1007/978-3-8348-9905-7. ISBN 978-3-8348-9905-7. OCLC  706962685.

Referencias

1. Forster, Otto (1981). "Capítulo 1: Cubrir espacios". Conferencias sobre superficies de Riemann . GTM. Traducido por Bruce Gillian. Nueva York: Springer. ISBN 9781461259633.
2. Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica . Cambridge: Universidad de Cambridge. Prensa. ISBN 0-521-79160-X.
3. Kühnel, Wolfgang (6 de diciembre de 2010). Matrizen und Lie-Gruppen . Stuttgart: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. ISBN 978-3-8348-9905-7.
4. , Otto (1991). Conferencias sobre superficies de Riemann . Múnich: Springer Berlín. ISBN 978-3-540-90617-9.
5. Munkres, James (2000). Topología . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-468951-7.
6. Aguilar, Marcelo Alberto; Socolovsky, Miguel (23 de noviembre de 1999). "El grupo de cobertura universal de U (n) y representaciones proyectivas". Revista Internacional de Física Teórica . Springer EE. UU. (publicado en abril de 2000). 39 (4): 997–1013. arXiv : math-ph/9911028 . Código Bib : 1999math.ph..11028A. doi :10.1023/A:1003694206391. S2CID  18686364.