paquete principal

Haz de fibras cuyas fibras son torsores de grupo.

En matemáticas , un paquete principal ^{[1] [2] [3] [4]} es un objeto matemático que formaliza algunas de las características esenciales del producto cartesiano de un espacio con un grupo . De la misma manera que con el producto cartesiano, un paquete principal está equipado con ${\displaystyle X\times G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

1. Una acción de on , análoga a for a product space . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x,g)h=(x,gh)}$
2. Una proyección sobre . Para un espacio de producto, esto es solo la proyección sobre el primer factor, . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,g)\mapsto x}$

A menos que sea el espacio del producto , un paquete principal carece de una elección preferida de sección transversal de identidad; no tiene ningún análogo preferido de . Asimismo, generalmente no existe una proyección para generalizar la proyección sobre el segundo factor, que existe para el producto cartesiano. También pueden tener una topología complicada que impide que se realicen como un espacio de producto incluso si se toman una serie de decisiones arbitrarias para tratar de definir dicha estructura definiéndola en partes más pequeñas del espacio. ${\displaystyle X\times G}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,e)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X\times G\to G}$

Un ejemplo común de un paquete principal es el paquete de marcos de un paquete de vectores , que consta de todas las bases ordenadas del espacio vectorial unidas a cada punto. El grupo en este caso, es el grupo lineal general , que actúa por la derecha de la forma habitual : por cambios de base . Dado que no existe una forma natural de elegir una base ordenada de un espacio vectorial, un paquete de marcos carece de una elección canónica de sección transversal de identidad. ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G,}$

Los paquetes principales tienen aplicaciones importantes en topología , geometría diferencial y teoría matemática de calibre . También han encontrado aplicación en física , donde forman parte del marco fundamental de las teorías de calibre físico .

Definicion formal

Un haz principal, donde denota cualquier grupo topológico , es un haz de fibras junto con una acción correcta continua tal que preserva las fibras de (es decir, si entonces para todas ) y actúa libre y transitivamente (lo que significa que cada fibra es un torsor G ) en ellos de tal manera que para cada uno y , el mapa enviado a es un homeomorfismo. En particular, cada fibra del haz es homeomorfa con respecto al grupo mismo. Con frecuencia se requiere que el espacio base sea Hausdorff y posiblemente paracompacto . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle P\times G\to P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle y\in P_{x}}$ ${\displaystyle yg\in P_{x}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in P_{x}}$ ${\displaystyle G\to P_{x}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle yg}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Dado que la acción grupal preserva las fibras y actúa transitivamente, se deduce que las órbitas de la acción son precisamente estas fibras y el espacio de órbitas es homeomorfo con respecto al espacio base . Debido a que la acción es libre y transitiva, las fibras tienen la estructura de torsores G. Un -torsor es un espacio que es homeomorfo pero que carece de estructura de grupo ya que no existe una elección preferida de un elemento de identidad . ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P/G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Una definición equivalente de haz principal es la de un haz con fibra donde el grupo de estructura actúa sobre la fibra mediante multiplicación por la izquierda. Dado que la multiplicación correcta por sobre la fibra conmuta con la acción del grupo de estructuras, existe una noción invariante de multiplicación correcta por sobre . Las fibras de entonces se convierten en torsores derechos para esta acción. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$

Las definiciones anteriores son para espacios topológicos arbitrarios. También se pueden definir paquetes principales en la categoría de variedades suaves . Aquí se requiere que haya un mapa suave entre variedades suaves, se requiere que sea un grupo de Lie y la acción correspondiente debe ser suave. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

Ejemplos

Paquete trivial y secciones

Sobre una bola abierta , o con coordenadas inducidas , cualquier paquete principal es isomorfo a un paquete trivial ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi :U\times G\to U}$

y una sección suave está dada equivalentemente por una función (suave) ya que ${\displaystyle s\in \Gamma (\pi )}$ ${\displaystyle {\hat {s}}:U\to G}$

${\displaystyle s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G}$

para un funcionamiento fluido. Por ejemplo, si , el grupo de Lie de matrices unitarias , entonces se puede construir una sección considerando cuatro funciones de valores reales ${\displaystyle G=U(2)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R} }$

y aplicándolos a la parametrización

$${\displaystyle U=e^{i\phi (x)/2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.}$$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

Otros ejemplos

Paquete principal Z /2 Z no trivial sobre el círculo. No existe una forma bien definida de identificar qué punto corresponde a +1 o -1 en cada fibra. Este paquete no es trivial ya que no hay una sección definida globalmente de la proyección π .

• El ejemplo prototípico de un paquete principal suave es el paquete de marco de una variedad suave , a menudo denominado o . Aquí la fibra sobre un punto es el conjunto de todos los marcos (es decir, bases ordenadas) para el espacio tangente . El grupo lineal general actúa libre y transitivamente sobre estos marcos. Estas fibras se pueden pegar entre sí de forma natural para obtener un haz principal . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle GL(M)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$
• Las variaciones del ejemplo anterior incluyen el haz de marcos ortonormal de una variedad de Riemann . Aquí se requiere que los marcos sean ortonormales con respecto a la métrica . El grupo de estructura es el grupo ortogonal . El ejemplo también funciona para paquetes distintos del paquete tangente; Si cualquier paquete de vectores de rango es superior a , entonces el paquete de marcos de es un paquete principal , a veces denominado . ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(E)}$
• Un espacio de cobertura normal (regular) es un paquete principal donde el grupo de estructuras ${\displaystyle p:C\to X}$

${\displaystyle G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}$

Actúa sobre las fibras de vía la acción monodromía . En particular, la cobertura universal de es un paquete principal con un grupo de estructura (ya que la cobertura universal es simplemente conexa y, por lo tanto, es trivial). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(C)}$

• Sea un grupo de Lie y un subgrupo cerrado (no necesariamente normal ). Entonces hay un paquete principal sobre el espacio lateral (izquierdo) . Aquí la acción de on es la multiplicación correcta. Las fibras son las clases laterales izquierdas de (en este caso hay una fibra distinguida, la que contiene la identidad, que es naturalmente isomorfa a ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$
• Considere la proyección dada por . Este haz principal es el haz asociado de la cinta de Möbius . Además del paquete trivial, este es el único paquete principal terminado . ${\displaystyle \pi :S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Los espacios proyectivos proporcionan algunos ejemplos más interesantes de paquetes principales. Recordemos que la esfera es un espacio que cubre dos veces el espacio proyectivo real . La acción natural de on le da la estructura de un paquete principal over . Asimismo, es un paquete principal sobre el espacio proyectivo complejo y es un paquete principal sobre el espacio proyectivo cuaterniónico . Entonces tenemos una serie de paquetes principales para cada positivo : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{2n+1}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{4n+3}}$ ${\displaystyle Sp(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

Aquí denota la esfera unitaria en (equipada con la métrica euclidiana). Para todos estos ejemplos, los casos dan los llamados paquetes de Hopf . ${\displaystyle S(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n=1}$

Propiedades básicas

Trivializaciones y cortes transversales.

Una de las preguntas más importantes respecto a cualquier haz de fibras es si es trivial o no , es decir, isomorfo a un haz de productos. Para paquetes principales existe una caracterización conveniente de trivialidad:

Proposición . Un paquete principal es trivial si y sólo si admite una sección global .

No ocurre lo mismo con otros haces de fibras. Por ejemplo, los paquetes de vectores siempre tienen una sección cero, sean triviales o no, y los paquetes de esferas pueden admitir muchas secciones globales sin ser triviales.

El mismo hecho se aplica a las trivializaciones locales de las cestas principales. Sea π  : P → X un paquete G principal . Un conjunto abierto U en X admite una trivialización local si y sólo si existe una sección local en U. Dada una trivialización local

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

se puede definir una sección local asociada

${\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,}$

donde e es la identidad en G . Por el contrario, dada una sección s se define una trivialización Φ por

${\displaystyle \Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.}$

La simple transitividad de la acción de G sobre las fibras de P garantiza que este mapa sea una biyección , también es un homeomorfismo . Las trivializaciones locales definidas por secciones locales son G - equivariantes en el siguiente sentido. si escribimos

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

en la forma

${\displaystyle \Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),}$

entonces el mapa

${\displaystyle \varphi :P\to G}$

satisface

${\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.}$

Por lo tanto, las trivializaciones equivalentes preservan la estructura G -torsor de las fibras. En términos de la sección local asociada s, el mapa φ viene dado por

${\displaystyle \varphi (s(x)\cdot g)=g.}$

La versión local del teorema de la sección transversal establece entonces que las trivializaciones locales equivariantes de un paquete principal están en correspondencia uno a uno con las secciones locales.

Dada una trivialización local equivariante ({ U _i }, {Φ _i }) de P , tenemos secciones locales s _i en cada U _i . En caso de superposiciones estas deben estar relacionadas por la acción del grupo estructural G. De hecho, la relación la proporcionan las funciones de transición.

${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.}$

Al unir las trivializaciones locales utilizando estas funciones de transición, se puede reconstruir el paquete principal original. Este es un ejemplo del teorema de construcción del haz de fibras . Para cualquier x ∈ U _i ∩ U _j tenemos

${\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).}$

Caracterización de paquetes principales suaves.

Si es un haz principal suave , entonces actúa libre y adecuadamente de modo que el espacio de la órbita sea difeomorfo con respecto al espacio de la base . Resulta que estas propiedades caracterizan completamente a los haces principales lisos. Es decir, si es una variedad suave, un grupo de Lie y una acción correcta, libre y adecuada, entonces ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P/G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu :P\times G\to P}$

• ${\displaystyle P/G}$es un colector liso,
• la proyección natural es una inmersión suave , y ${\displaystyle \pi :P\to P/G}$
• ${\displaystyle P}$es un paquete principal fluido . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P/G}$

Uso de la noción

Reducción del grupo estructural.

Dado un subgrupo H de G se puede considerar el haz cuyas fibras son homeomorfas al espacio lateral . Si el nuevo paquete admite una sección global, entonces se dice que la sección es una reducción del grupo de estructura de a . La razón de este nombre es que la imagen inversa (a nivel de fibra) de los valores de esta sección forma un subpaquete del que es un paquete principal . Si es la identidad, entonces una sección de sí misma es una reducción del grupo estructural a la identidad. En general no existen reducciones del grupo estructural. ${\displaystyle P/H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$

Muchas preguntas topológicas sobre la estructura de una variedad o la estructura de los paquetes sobre ella que están asociados a un paquete principal pueden reformularse como preguntas sobre la admisibilidad de la reducción del grupo de estructuras (de a ). Por ejemplo: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

El haz de cuadros de la tira de Möbius es un haz principal no trivial sobre el círculo. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

• Una variedad real -dimensional admite una estructura casi compleja si el haz de marcos de la variedad, cuyas fibras son , se puede reducir al grupo . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$
• Una variedad real de dimensiones admite un campo plano si el conjunto de marcos puede reducirse al grupo de estructuras . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Una variedad es orientable si y sólo si su conjunto de estructuras puede reducirse al grupo ortogonal especial ,. ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Una variedad tiene estructura de espín si y solo si su conjunto de marcos se puede reducir aún más desde el grupo de espín , que se asigna como una cubierta doble. ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$

Tenga en cuenta también: una variedad de dimensiones admite campos vectoriales que son linealmente independientes en cada punto si y sólo si su conjunto de marcos admite una sección global. En este caso, la variedad se llama paralelizable . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Paquetes y marcos de vectores asociados

Si es un paquete principal y es una representación lineal de , entonces se puede construir un paquete vectorial con fibra , como el cociente del producto × por la acción diagonal de . Este es un caso especial de la construcción de paquetes asociados y se denomina paquete de vectores asociados . Si la representación de on es fiel , de modo que es un subgrupo del grupo lineal general GL( ), entonces es un paquete y proporciona una reducción del grupo de estructura del paquete de marcos de desde a . Este es el sentido en el que las cestas principales proporcionan una formulación abstracta de la teoría de las cestas marco. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=P\times _{G}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle G}$

Clasificación de paquetes principales

Cualquier grupo topológico G admite un espacio de clasificación BG : el cociente por la acción de G de algún espacio débilmente contráctil , por ejemplo , un espacio topológico con grupos de homotopía evanescentes . El espacio de clasificación tiene la propiedad de que cualquier G paquete principal sobre una variedad paracompacta B es isomorfo a un retroceso del paquete principal EG → BG . ^[5] De hecho, hay más cosas ciertas, ya que el conjunto de clases de isomorfismo de los paquetes principales G sobre la base B se identifica con el conjunto de clases de homotopía de los mapas B → BG .

Ver también

• Paquete asociado
• paquete de vectores
• estructura G
• Reducción del grupo estructural.
• Teoría del calibre
• Conexión (paquete principal)
• fibra G

Referencias

1. Steenrod, normando (1951). La topología de los haces de fibras . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-00548-6.página 35
2. Husemoller, Dale (1994). Haces de fibras (Tercera ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.página 42
3. Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.página 37
4. Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría de giro . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 978-0-691-08542-5.página 370
5. Stasheff, James D. (1971), " H -espacios y clasificación de espacios: fundamentos y desarrollos recientes", Topología algebraica (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs., Teorema 2

Fuentes

• Bleecker, David (1981). Teoría del calibre y principios variacionales . Editorial Addison-Wesley. ISBN 0-486-44546-1.
• Jost, Jürgen (2005). Geometría de Riemann y análisis geométrico ((4ª ed.) ed.). Nueva York: Springer. ISBN 3-540-25907-4.
• Husemoller, Dale (1994). Haces de fibras (Tercera ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
• Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Steenrod, normando (1951). La topología de los haces de fibras . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-00548-6.