Bethe enrejado

Una red Bethe con número de coordinación z  = 3

En mecánica estadística y matemáticas , la red de Bethe (también llamada árbol regular ) es un gráfico infinito y conectado sin ciclos donde todos los vértices tienen el mismo número de vecinos. La red de Bethe fue introducida en la literatura de física por Hans Bethe en 1935. En tal gráfico, cada nodo está conectado a z vecinos; el número z se llama número de coordinación o grado , según el campo.

Debido a su estructura topológica distintiva, la mecánica estadística de los modelos reticulares en este gráfico suele ser más fácil de resolver que en otras retículas. Las soluciones están relacionadas con el Bethe ansatz de uso frecuente para estos sistemas.

Propiedades básicas

Cuando se trabaja con la red de Bethe, a menudo es conveniente marcar un vértice dado como raíz, para usarlo como punto de referencia al considerar las propiedades locales del gráfico.

Tamaños de capas

Una vez que un vértice está marcado como raíz, podemos agrupar los otros vértices en capas según su distancia desde la raíz. El número de vértices a una distancia de la raíz es , ya que cada vértice que no sea la raíz es adyacente a los vértices a una distancia mayor que uno de la raíz, y la raíz es adyacente a los vértices a una distancia 1. ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle z(z-1)^{d-1}}$ ${\displaystyle z-1}$ ${\displaystyle z}$

En mecánica estadística

La red de Bethe es de interés en la mecánica estadística principalmente porque los modelos de red en la red de Bethe suelen ser más fáciles de resolver que en otras redes, como la red cuadrada bidimensional . Esto se debe a que la falta de ciclos elimina algunas de las interacciones más complicadas. Si bien la red de Bethe no se aproxima tanto a las interacciones en materiales físicos como otras redes, aún puede proporcionar información útil.

Soluciones exactas al modelo de Ising

El modelo de Ising es un modelo matemático de ferromagnetismo , en el que las propiedades magnéticas de un material están representadas por un "espín" en cada nodo de la red, que es +1 o -1. El modelo también está equipado con una constante que representa la fuerza de la interacción entre nodos adyacentes y una constante que representa un campo magnético externo. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle h}$

El modelo de Ising en la red Bethe está definido por la función de partición

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{(i,j)}\sigma _{i}\sigma _{j}+h\sum _{i}\sigma _{i}\right).}$

Magnetización

Para calcular la magnetización local, podemos dividir la red en varias partes idénticas eliminando un vértice. Esto nos da una relación de recurrencia que nos permite calcular la magnetización de un árbol de Cayley con n capas (el análogo finito de la red de Bethe) como

${\displaystyle M={\frac {e^{h}-e^{-h}x_{n}^{q}}{e^{h}+e^{-h}x_{n}^{q}}},}$

donde y los valores de satisfacen la relación de recurrencia ${\displaystyle x_{0}=1}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle x_{n}={\frac {e^{-K+h}+e^{K-h}x_{n-1}^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-K-h}x_{n-1}^{q-1}}}}$

En el caso de que el sistema sea ferromagnético, la secuencia anterior converge, por lo que podemos tomar el límite para evaluar la magnetización en la red de Bethe. Obtenemos ${\displaystyle K>0}$

${\displaystyle M={\frac {e^{2h}-x^{q}}{e^{2h}+x_{q}}},}$donde x es una solución de . ${\displaystyle x={\frac {e^{-K+h}+e^{K-h}x^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-K-h}x^{q-1}}}}$

Hay 1 o 3 soluciones para esta ecuación. En el caso de que haya 3, la secuencia convergerá al cuándo más pequeño y al cuándo más grande . ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle h>0}$ ${\displaystyle h<0}$

Energía gratis

La energía libre f en cada sitio de la red en el modelo de Ising está dada por

${\displaystyle {\frac {f}{kT}}={\frac {1}{2}}[-Kq-q\ln(1-z^{2})+\ln(z^{2}+1-z(x+1/x))+(q-2)\ln(x+1/x-2z)]}$,

donde y es como antes. ^[1] ${\displaystyle z=\exp(-2K)}$ ${\displaystyle x}$

En matemáticas

Probabilidad de retorno de un paseo aleatorio

La probabilidad de que un paseo aleatorio en una red de Bethe de grado que comienza en un vértice dado eventualmente regrese a ese vértice está dada por . Para mostrar esto, sea la probabilidad de regresar a nuestro punto de partida si estamos lejos . Tenemos la relación de recurrencia. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\frac {1}{z-1}}}$ ${\displaystyle P(k)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle P(k)={\frac {1}{z}}P(k-1)+{\frac {z-1}{z}}P(k+1)}$

para todos , ya que en cada ubicación que no sea el vértice inicial, hay aristas que se alejan del vértice inicial y 1 arista que se dirige hacia él. Sumando esta ecuación sobre todo , obtenemos ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle z-1}$ ${\displaystyle k>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }P(k)={\frac {1}{z}}P(0)+{\frac {1}{z}}P(1)+\sum _{k=2}^{\infty }P(k)}$.

Tenemos , ya que esto indica que acabamos de regresar al vértice inicial, entonces , cuál es el valor que queremos. ${\displaystyle P(0)=1}$ ${\displaystyle P(1)=1/(z-1)}$

Tenga en cuenta que esto contrasta marcadamente con el caso de los paseos aleatorios en la red cuadrada bidimensional, que tiene una probabilidad de retorno de 1. ^[2] Dicha red es 4-regular, pero la red Bethe 4-regular tiene un retorno probabilidad de 1/3.

Número de paseos cerrados

Se puede limitar fácilmente el número de recorridos cerrados de longitud que comienzan en un vértice dado de Bethe Lattice con grados desde abajo. Al considerar cada paso como un paso hacia afuera (lejos del vértice inicial) o un paso hacia adentro (hacia el vértice inicial), vemos que cualquier recorrido cerrado de longitud debe tener exactamente pasos hacia afuera y pasos hacia adentro. Es posible que tampoco hayamos dado más pasos hacia adentro que hacia afuera en ningún punto, por lo que el número de secuencias de direcciones de pasos (ya sea hacia adentro o hacia afuera) viene dado por el número catalán . Hay al menos opciones para cada paso hacia afuera, y siempre exactamente 1 opción para cada paso hacia adentro, por lo que el número de recorridos cerrados es al menos . ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle z-1}$ ${\displaystyle (z-1)^{k}C_{k}}$

Este límite no es estricto, ya que en realidad hay opciones para un paso hacia afuera desde el vértice inicial, lo que ocurre al comienzo y varias veces durante la caminata. El número exacto de caminatas es más complicado de calcular y viene dado por la fórmula ${\displaystyle z}$

${\displaystyle (z-1)^{k}C_{k}\cdot {\frac {z-1}{z}}\ _{2}F_{1}(k+1/2,1,k+2,4(z-1)/z^{2}),}$

¿ Dónde está la función hipergeométrica de Gauss ? ^[3] ${\displaystyle _{2}F_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ,z)}$

Podemos usar este hecho para acotar el segundo valor propio más grande de un gráfico regular. Sea un gráfico regular con vértices y sea su matriz de adyacencia . Entonces es el número de recorridos cerrados de longitud . El número de recorridos cerrados es al menos multiplicado por el número de recorridos cerrados en la red de Bethe con grados que comienzan en un vértice particular, ya que podemos asignar las rutas en la red de Bethe a las rutas que comienzan en un vértice determinado y solo van de nuevo en caminos que ya estaban recorridos. A menudo hay más caminatas , ya que podemos utilizar bicicletas para crear caminatas adicionales. El valor propio más grande de es , y siendo el segundo valor absoluto más grande de un valor propio, tenemos ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\text{tr }}A^{2k}}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle n(d-1)^{k}C_{k}\leq {\text{tr}}A^{2k}\leq d^{2k}+(n-1)\lambda _{2}^{2k}.}$

Esto da . Teniendo en cuenta que a medida que crece, podemos dejar que crezca mucho más rápido que ver que solo hay un número finito de gráficos regulares para los cuales el segundo valor absoluto más grande de un valor propio es como máximo , para cualquier Este es un resultado bastante interesante en el estudio de ( n,d,λ)-gráficos . ${\displaystyle \lambda _{2}^{2k}\geq {\frac {1}{n-1}}(n(d-1)^{k}C_{k}-d^{2k})}$ ${\displaystyle C_{k}=(4-o(1))^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda <2{\sqrt {d-1}}.}$

Relación con los gráficos de Cayley y los árboles de Cayley

Un gráfico de Bethe de número de coordinación par 2 n es isomorfo al gráfico de Cayley no orientado de un grupo libre de rango n con respecto a un conjunto generador libre.

Celosías en grupos de Lie

Las redes Bethe también se presentan como subgrupos discretos de ciertos grupos de Lie hiperbólicos , como los grupos fucsianos . Como tales, también son celosías en el sentido de una celosía en un grupo de Lie .

Ver también

• Cristal

Referencias

1. Baxter, Rodney J. (1982). Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística . Prensa académica. ISBN 0-12-083182-1. Zbl  0538.60093.
2. Durrett, Rick (1991). Probabilidad: teoría y ejemplos . Wadsworth y Brooks/Cole. ISBN 0-534-13206-5.
3. Giacometti, A. (1994). "Forma cerrada exacta de la probabilidad de retorno en la red de Bethe". Física A. Matemáticas. Gen.​ 28 (1): L13-L17. arXiv : cond-mat/9411113v1 . doi :10.1088/0305-4470/28/1/003. S2CID  13298204.

• Bethe, HA (1935). "Teoría estadística de superredes". Proc. R. Soc. Londres. A . 150 (871): 552–575. Código Bib : 1935RSPSA.150..552B. doi :10.1098/rspa.1935.0122. Zbl  0012.04501.
• Ostilli, M. (2012). "Cayley Trees y Bethe Lattices, un análisis conciso para matemáticos y físicos". Física A. 391 (12): 3417. arXiv : 1109.6725 . Código Bib : 2012PhyA..391.3417O. doi :10.1016/j.physa.2012.01.038. S2CID  119693543.