Potencial termodinámico

Cantidades físicas escalares que representan estados del sistema.

Un potencial termodinámico (o más exactamente, una energía potencial termodinámica) ^{[1] [2]} es una cantidad escalar utilizada para representar el estado termodinámico de un sistema . Así como en mecánica , donde la energía potencial se define como la capacidad de realizar un trabajo, diferentes potenciales tienen diferentes significados. El concepto de potenciales termodinámicos fue introducido por Pierre Duhem en 1886. Josiah Willard Gibbs en sus artículos utilizó el término funciones fundamentales .

Un potencial termodinámico principal que tiene una interpretación física es la energía interna U. Es la energía de configuración de un determinado sistema de fuerzas conservativas (por eso se llama potencial) y sólo tiene significado respecto de un conjunto definido de referencias (o datos). Las expresiones para todos los demás potenciales de energía termodinámica se pueden derivar mediante transformadas de Legendre a partir de una expresión para U. En otras palabras, cada potencial termodinámico es equivalente a otros potenciales termodinámicos; cada potencial es una expresión diferente de los demás.

En termodinámica , se cuenta que las fuerzas externas, como la gravedad , contribuyen a la energía total en lugar de a los potenciales termodinámicos. Por ejemplo, el fluido de trabajo en una máquina de vapor ubicada en la cima del Monte Everest tiene mayor energía total debido a la gravedad que la que tiene en el fondo de la Fosa de las Marianas , pero los mismos potenciales termodinámicos. Esto se debe a que la energía potencial gravitacional pertenece a la energía total y no a potenciales termodinámicos como la energía interna.

Descripción e interpretación

Cinco potenciales termodinámicos comunes son: ^[3]

donde T = temperatura , S = entropía , p = presión , V = volumen . N _i es el número de partículas de tipo i en el sistema y μ _i es el potencial químico de una partícula de tipo i . El conjunto de todos _los Ni también se incluyen como variables naturales, pero pueden ignorarse cuando no se producen reacciones químicas que provoquen cambios. La energía libre de Helmholtz se denomina en el estándar ISO/IEC energía de Helmholtz ^[1] o función de Helmholtz. A menudo se indica con el símbolo F , pero la IUPAC , la ISO ^y la IEC prefieren el uso de A. ^[5]

Estos cinco potenciales comunes son todas energías potenciales, pero también existen potenciales de entropía . El cuadrado termodinámico se puede utilizar como herramienta para recordar y derivar algunos de los potenciales.

Así como en mecánica , donde la energía potencial se define como la capacidad de realizar un trabajo, diferentes potenciales tienen diferentes significados como el siguiente:

• La energía interna ( U ) es la capacidad de realizar trabajo más la capacidad de liberar calor.
• La energía de Gibbs ^[2] ( G ) es la capacidad de realizar un trabajo no mecánico.
• La entalpía ( H ) es la capacidad de realizar trabajo no mecánico más la capacidad de liberar calor.
• Energía de Helmholtz ^[1] ( F ) es la capacidad de realizar trabajo mecánico más trabajo no mecánico.

A partir de estos significados (que en realidad se aplican en condiciones específicas, por ejemplo, presión constante, temperatura, etc.), para cambios positivos (por ejemplo, Δ U > 0 ), podemos decir que Δ U es la energía agregada al sistema, Δ F es el trabajo total realizado sobre él, Δ G es el trabajo no mecánico realizado sobre él, y Δ H es la suma del trabajo no mecánico realizado sobre el sistema y el calor que se le proporciona.

Tenga en cuenta que la suma de la energía interna se conserva, pero la suma de la energía de Gibbs o la energía de Helmholtz no se conserva, a pesar de denominarse "energía". Se pueden interpretar mejor como el potencial para realizar un "trabajo útil", y ese potencial puede desperdiciarse. ^[6]

Los potenciales termodinámicos son muy útiles al calcular los resultados de equilibrio de una reacción química , o al medir las propiedades de los materiales en una reacción química. Las reacciones químicas suelen tener lugar bajo algunas limitaciones, como presión y temperatura constantes, o entropía y volumen constantes, y cuando esto es cierto, entra en juego un potencial termodinámico correspondiente. Así como en mecánica, el sistema tenderá hacia un valor más bajo de potencial y en equilibrio, bajo estas restricciones, el potencial tomará el valor mínimo invariable. Los potenciales termodinámicos también se pueden utilizar para estimar la cantidad total de energía disponible en un sistema termodinámico bajo la restricción apropiada.

En particular: (ver principio de energía mínima para una derivación) ^[7]

• Cuando la entropía S y los "parámetros externos" (por ejemplo, el volumen) de un sistema cerrado se mantienen constantes, la energía interna U disminuye y alcanza un valor mínimo en el equilibrio. Esto se deriva de la primera y segunda leyes de la termodinámica y se denomina principio de energía mínima . Las siguientes tres afirmaciones se derivan directamente de este principio.
• Cuando la temperatura T y los parámetros externos de un sistema cerrado se mantienen constantes, la energía libre de Helmholtz F disminuye y alcanza un valor mínimo en el equilibrio.
• Cuando la presión p y los parámetros externos de un sistema cerrado se mantienen constantes, la entalpía H disminuye y alcanza un valor mínimo en el equilibrio.
• Cuando la temperatura T , la presión p y los parámetros externos de un sistema cerrado se mantienen constantes, la energía libre de Gibbs G disminuye y alcanza un valor mínimo en el equilibrio.

variables naturales

Para cada potencial termodinámico, existen variables termodinámicas que deben mantenerse constantes para especificar el valor del potencial en un estado de equilibrio termodinámico, como las variables independientes para una función matemática. Estas variables se denominan variables naturales de ese potencial. ^[8] Las variables naturales son importantes no sólo para especificar el valor del potencial en el equilibrio, sino también porque si se puede determinar un potencial termodinámico en función de sus variables naturales, todas las propiedades termodinámicas del sistema se pueden encontrar tomando derivadas parciales de ese potencial con respecto a sus variables naturales y esto no es cierto para ninguna otra combinación de variables. Si un potencial termodinámico no se da en función de sus variables naturales, en general no producirá todas las propiedades termodinámicas del sistema.

El conjunto de variables naturales para cada uno de los cuatro potenciales termodinámicos anteriores se forma a partir de una combinación de las variables T , S , p , V , excluyendo cualquier par de variables conjugadas ; no existe un conjunto de variables naturales para un potencial que incluya las variables T - S o p - V juntas como variables conjugadas para la energía. Una excepción a esta regla son los pares conjugados Ni − μ _{i , ya que no hay razón para} ignorarlos en los potenciales termodinámicos y, de hecho, podemos definir adicionalmente los cuatro potenciales para cada especie. ^[9] Utilizando la notación IUPAC en la que los paréntesis contienen las variables naturales (distintas de las cuatro principales), tenemos:

Si sólo hay una especie, entonces hemos terminado. Pero si hay, digamos, dos especies, entonces habrá potenciales adicionales como etcétera. Si hay D dimensiones en el espacio termodinámico, entonces hay 2 D potenciales termodinámicos únicos. Para el caso más simple, un gas ideal monofásico, habrá tres dimensiones, lo que producirá ocho potenciales termodinámicos. ${\displaystyle U[\mu _{1},\mu _{2}]=U-\mu _{1}N_{1}-\mu _{2}N_{2}}$

Las ecuaciones fundamentales

Las definiciones de los potenciales termodinámicos se pueden diferenciar y, junto con la primera y segunda leyes de la termodinámica, siguen un conjunto de ecuaciones diferenciales conocidas como ecuaciones fundamentales . ^[10] (En realidad, todas son expresiones de la misma relación termodinámica fundamental, pero se expresan en diferentes variables). Según la primera ley de la termodinámica , cualquier cambio diferencial en la energía interna U de un sistema se puede escribir como la suma de calor. que fluye hacia el sistema restado por el trabajo realizado por el sistema sobre el medio ambiente, junto con cualquier cambio debido a la adición de nuevas partículas al sistema:

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q-\delta W+\sum _{i}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i}}$

donde δQ es el flujo de calor infinitesimal hacia el sistema, y ​​δW es el trabajo infinitesimal realizado por el sistema, μ _i es el potencial químico de las partículas tipo i y Ni _es el número de partículas tipo i . (Ni δQ ni δW son diferenciales exactos , es decir, dependen de la trayectoria del proceso termodinámico. Por lo tanto, los pequeños cambios en estas variables se representan con δ en lugar de d ).

Según la segunda ley de la termodinámica , podemos expresar el cambio de energía interna en términos de funciones de estado y sus diferenciales. En caso de cambios reversibles tenemos:

${\displaystyle \delta Q=T\,\mathrm {d} S}$

${\displaystyle \delta W=p\,\mathrm {d} V}$

dónde

T es la temperatura ,

S es entropía ,

p es presión ,

y V es volumen , y la igualdad se cumple para procesos reversibles.

Esto conduce a la forma diferencial estándar de la energía interna en caso de un cambio cuasiestático reversible:

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\sum _{i}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i}}$

Dado que U , S y V son funciones termodinámicas de estado (también llamadas funciones de estado), la relación anterior también es válida para cambios arbitrarios no reversibles. Si el sistema tiene más variables externas que solo el volumen que puede cambiar, la relación termodinámica fundamental se generaliza a:

${\displaystyle dU=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\sum _{j}\mu _{j}\,\mathrm {d} N_{j}+\sum _{i}X_{i}\,\mathrm {d} x_{i}}$

Aquí las X _i son las fuerzas generalizadas correspondientes a las variables externas x _i . ^[11]

Aplicando las transformadas de Legendre repetidamente, las siguientes relaciones diferenciales se mantienen para los cuatro potenciales ( ecuaciones termodinámicas fundamentales o relación termodinámica fundamental ):

Los infinitesimales del lado derecho de cada una de las ecuaciones anteriores son las variables naturales del potencial del lado izquierdo. Se pueden desarrollar ecuaciones similares para todos los demás potenciales termodinámicos del sistema. Habrá una ecuación fundamental para cada potencial termodinámico, lo que dará como resultado un total de 2 ^D ecuaciones fundamentales.

Las diferencias entre los cuatro potenciales termodinámicos se pueden resumir de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathrm {d} (pV)=\mathrm {d} H-\mathrm {d} U=\mathrm {d} G-\mathrm {d} F}$

${\displaystyle \mathrm {d} (TS)=\mathrm {d} U-\mathrm {d} F=\mathrm {d} H-\mathrm {d} G}$

Las ecuaciones de estado.

Podemos utilizar las ecuaciones anteriores para derivar algunas definiciones diferenciales de algunos parámetros termodinámicos. Si definimos Φ para representar cualquiera de los potenciales termodinámicos, entonces las ecuaciones anteriores tienen la forma:

${\displaystyle \mathrm {d} \Phi =\sum _{i}x_{i}\,\mathrm {d} y_{i}}$

donde x _i y y _i son pares conjugados, y y _i son las variables naturales del potencial Φ . De la regla de la cadena se deduce que:

${\displaystyle x_{j}=\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y_{j}}}\right)_{\{y_{i\neq j}\}}}$

donde { y _{i  ≠  j} } es el conjunto de todas las variables naturales de Φ excepto y _j que se mantienen constantes. Esto produce expresiones para varios parámetros termodinámicos en términos de las derivadas de los potenciales con respecto a sus variables naturales. Estas ecuaciones se conocen como ecuaciones de estado ya que especifican parámetros del estado termodinámico . ^[12] Si nos restringimos a los potenciales U ( energía interna ), F ( energía de Helmholtz ), H ( entalpía ) y G ( energía de Gibbs ), entonces tenemos las siguientes ecuaciones de estado (subíndices que muestran variables naturales que se mantienen como constantes):

${\displaystyle +T=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,\{N_{i}\}}=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p,\{N_{i}\}}}$

${\displaystyle -p=\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S,\{N_{i}\}}=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T,\{N_{i}\}}}$

${\displaystyle +V=\left({\frac {\partial H}{\partial p}}\right)_{S,\{N_{i}\}}=\left({\frac {\partial G}{\partial p}}\right)_{T,\{N_{i}\}}}$

${\displaystyle -S=\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{p,\{N_{i}\}}=\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{V,\{N_{i}\}}}$

${\displaystyle ~\mu _{j}=\left({\frac {\partial \phi }{\partial N_{j}}}\right)_{X,Y,\{N_{i\neq j}\}}}$

donde, en la última ecuación, ϕ es cualquiera de los potenciales termodinámicos ( U , F , H o G ), y son el conjunto de variables naturales para ese potencial, excluyendo Ni _. Si usamos todos los potenciales termodinámicos, entonces tendremos más ecuaciones de estado como ${\displaystyle {X,Y,\{N_{i\neq j}\}}}$

${\displaystyle -N_{j}=\left({\frac {\partial U[\mu _{j}]}{\partial \mu _{j}}}\right)_{S,V,\{N_{i\neq j}\}}}$

etcétera. En total, si el espacio termodinámico tiene D dimensiones, entonces habrá D  ecuaciones para cada potencial, lo que dará como resultado un total de D  2 ^D ecuaciones de estado porque existen 2 ^D potenciales termodinámicos. Si se conocen las D ecuaciones de estado para un potencial particular, entonces se puede determinar la ecuación fundamental para ese potencial (es decir, el diferencial exacto del potencial termodinámico). Esto significa que se conocerá toda la información termodinámica sobre el sistema porque las ecuaciones fundamentales para cualquier otro potencial se pueden encontrar mediante las transformadas de Legendre y también se pueden encontrar las ecuaciones de estado correspondientes para cada potencial como derivadas parciales del potencial.

Medición de potenciales termodinámicos.

Las ecuaciones de estado anteriores sugieren métodos para medir experimentalmente cambios en los potenciales termodinámicos utilizando parámetros físicamente mensurables. Por ejemplo, las expresiones de energía libre.

${\displaystyle +V=\left({\frac {\partial G}{\partial p}}\right)_{T,\{N_{i}\}}}$

y

${\displaystyle -p=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T,\{N_{i}\}}}$

Se puede integrar a temperatura y cantidades constantes para obtener:

${\displaystyle \Delta G=\int _{P1}^{P2}V\,\mathrm {d} p\,\,\,\,}$(a T constante , {N _j } )

${\displaystyle \Delta F=-\int _{V1}^{V2}p\,\mathrm {d} V\,\,\,\,}$(a T constante , {N _j } )

que se puede medir monitoreando las variables mensurables de presión, temperatura y volumen. Los cambios en la entalpía y la energía interna se pueden medir mediante calorimetría (que mide la cantidad de calor ΔQ liberado o absorbido por un sistema). Las expresiones

${\displaystyle +T=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,\{N_{i}\}}=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p,\{N_{i}\}}}$

se puede integrar:

${\displaystyle \Delta H=\int _{S1}^{S2}T\,\mathrm {d} S=\Delta Q\,\,\,\,}$(a constante P , {N _j })

${\displaystyle \Delta U=\int _{S1}^{S2}T\,\mathrm {d} S=\Delta Q\,\,\,\,}$(a V constante , {N _j })

Tenga en cuenta que estas mediciones se realizan a { N _j } constante y, por lo tanto, no son aplicables a situaciones en las que tienen lugar reacciones químicas.

Las relaciones Maxwell

Nuevamente, defina x _i y y _i como pares conjugados, y y _i como las variables naturales de algún potencial Φ . Podemos tomar las "diferenciales cruzadas" de las ecuaciones de estado, que obedecen a la siguiente relación:

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y_{k}}}\right)_{\{y_{i\neq k}\}}\right)_{\{y_{i\neq j}\}}=\left({\frac {\partial }{\partial y_{k}}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial y_{j}}}\right)_{\{y_{i\neq j}\}}\right)_{\{y_{i\neq k}\}}}$

De estos obtenemos las relaciones de Maxwell . ^{[3] [13]} Habrá( re -1)/2de ellos para cada potencial dando un total dere ( re -1)/2ecuaciones en total. Si nos restringimos la U , F , H , G

${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S,\{N_{i}\}}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V,\{N_{i}\}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S,\{N_{i}\}}=+\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p,\{N_{i}\}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T,\{N_{i}\}}=+\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V,\{N_{i}\}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T,\{N_{i}\}}=-\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p,\{N_{i}\}}}$

Usando las ecuaciones de estado que involucran el potencial químico obtenemos ecuaciones como:

${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial N_{j}}}\right)_{V,S,\{N_{i\neq j}\}}=\left({\frac {\partial \mu _{j}}{\partial S}}\right)_{V,\{N_{i}\}}}$

y usando los demás potenciales podemos obtener ecuaciones como:

${\displaystyle \left({\frac {\partial N_{j}}{\partial V}}\right)_{S,\mu _{j},\{N_{i\neq j}\}}=-\left({\frac {\partial p}{\partial \mu _{j}}}\right)_{S,V\{N_{i\neq j}\}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial N_{j}}{\partial N_{k}}}\right)_{S,V,\mu _{j},\{N_{i\neq j,k}\}}=-\left({\frac {\partial \mu _{k}}{\partial \mu _{j}}}\right)_{S,V\{N_{i\neq j}\}}}$

Relaciones de Euler

Nuevamente, defina x _i y y _i como pares conjugados, y y _i como las variables naturales de la energía interna. Dado que todas las variables naturales de la energía interna U son cantidades extensivas

${\displaystyle U(\{\alpha y_{i}\})=\alpha U(\{y_{i}\})}$

Del teorema de la función homogénea de Euler se deduce que la energía interna se puede escribir como:

${\displaystyle U(\{y_{i}\})=\sum _{j}y_{j}\left({\frac {\partial U}{\partial y_{j}}}\right)_{\{y_{i\neq j}\}}}$

De las ecuaciones de estado tenemos entonces:

${\displaystyle U=TS-pV+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}}$

Esta fórmula se conoce como relación de Euler , porque a ella conduce el teorema de Euler sobre funciones homogéneas. ^{[14] [15]} (No fue descubierto por Euler en una investigación de termodinámica, que no existía en su época).

Sustituyendo en las expresiones de los otros potenciales principales tenemos:

${\displaystyle F=-pV+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}}$

${\displaystyle H=TS+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}}$

${\displaystyle G=\sum _{i}\mu _{i}N_{i}}$

Como en las secciones anteriores, este proceso se puede llevar a cabo en todos los demás potenciales termodinámicos. Por tanto, existe otra relación de Euler, basada en la expresión de la entropía en función de la energía interna y otras variables extensivas. Sin embargo, otras relaciones de Euler son válidas para otras ecuaciones fundamentales de energía o entropía, como funciones respectivas de otras variables de estado, incluidas algunas variables de estado intensivas. ^[dieciséis]

La relación Gibbs-Duhem

Deducir la ecuación de Gibbs-Duhem a partir de ecuaciones de estado termodinámicas básicas es sencillo. ^{[10] [17] [18]} Al equiparar cualquier definición de potencial termodinámico con su expresión de relación de Euler se obtiene:

${\displaystyle U=TS-PV+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}}$

Diferenciando y usando la segunda ley:

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-P\mathrm {d} V+\sum _{i}\mu _{i}\,\mathrm {d} N_{i}}$

rendimientos:

${\displaystyle 0=S\mathrm {d} T-V\mathrm {d} P+\sum _{i}N_{i}\mathrm {d} \mu _{i}}$

Cuál es la relación Gibbs-Duhem. La relación de Gibbs-Duhem es una relación entre los parámetros intensivos del sistema. De ello se deduce que para un sistema simple con I componentes, habrá I + 1 parámetros independientes o grados de libertad. Por ejemplo, un sistema simple con un solo componente tendrá dos grados de libertad y podrá especificarse mediante solo dos parámetros, como presión y volumen, por ejemplo. La ley lleva el nombre de Josiah Willard Gibbs y Pierre Duhem .

Condiciones de estabilidad

Como la energía interna es una función convexa de entropía y volumen, la condición de estabilidad requiere que la segunda derivada de la energía interna con entropía o volumen sea positiva. Se expresa comúnmente como . Dado que el principio máximo de entropía es equivalente al principio mínimo de energía interna, los criterios combinados de estabilidad o equilibrio termodinámico se expresan como y para parámetros, entropía y volumen. Esto es análogo y condición para la entropía en equilibrio. ^[19] El mismo concepto se puede aplicar a los diversos potenciales termodinámicos identificando si son convexos o cóncavos de sus respectivas variables. ${\displaystyle d^{2}U>0}$ ${\displaystyle d^{2}U>0}$ ${\displaystyle dU=0}$ ${\displaystyle d^{2}S<0}$ ${\displaystyle dS=0}$

${\displaystyle {\biggl (}{\partial ^{2}F \over \partial T^{2}}{\biggr )}_{V,N}\leq 0}$y ${\displaystyle {\biggl (}{\partial ^{2}F \over \partial V^{2}}{\biggr )}_{T,N}\geq 0}$

Donde la energía de Helmholtz es una función cóncava de la temperatura y una función convexa del volumen.

${\displaystyle {\biggl (}{\partial ^{2}H \over \partial P^{2}}{\biggr )}_{S,N}\leq 0}$y ${\displaystyle {\biggl (}{\partial ^{2}H \over \partial S^{2}}{\biggr )}_{P,N}\geq 0}$

Donde la entalpía es una función cóncava de la presión y una función convexa de la entropía.

${\displaystyle {\biggl (}{\partial ^{2}G \over \partial T^{2}}{\biggr )}_{P,N}\leq 0}$y ${\displaystyle {\biggl (}{\partial ^{2}G \over \partial P^{2}}{\biggr )}_{T,N}\leq 0}$

Donde el potencial de Gibbs es una función cóncava de la presión y la temperatura.

En general los potenciales termodinámicos (la energía interna y sus transformadas de Legendre ), son funciones convexas de sus variables extrínsecas y funciones cóncavas de variables intrínsecas . Las condiciones de estabilidad imponen que la compresibilidad isotérmica sea positiva y que para la temperatura no negativa ,. ^[20] ${\displaystyle C_{P}>C_{V}}$

Reacciones químicas

Los cambios en estas cantidades son útiles para evaluar el grado en que se desarrollará una reacción química. La cantidad relevante depende de las condiciones de reacción, como se muestra en la siguiente tabla. Δ denota el cambio en el potencial y en el equilibrio el cambio será cero.

Lo más común es considerar reacciones a p y T constantes , por lo que la energía libre de Gibbs es el potencial más útil en estudios de reacciones químicas.

Ver también

• La relación de Coomber.

Notas

1. ISO/IEC 80000-5, Cantidades y unidades, Parte 5 - Termodinámica, punto 5-20.4 Energía de Helmholtz, función de Helmholtz
2. ISO/IEC 80000-5, Cantidades y unidades, Parte 5 - Termodinámica, punto 5-20.5, Energía de Gibbs, Función de Gibbs
3. Alberty (2001) pág. 1353
4. Alberty (2001) pág. 1376
5. ISO/IEC 80000-5:2007, punto 5-20.4
6. Tykodi, RJ (1 de febrero de 1995). "Espontaneidad, accesibilidad, irreversibilidad," trabajo útil ": la función de disponibilidad, la función de Helmholtz y la función de Gibbs". Revista de Educación Química . 72 : 103. doi : 10.1021/ed072p103. ISSN  0021-9584.
7. Callen (1985) pág. 153
8. Alberty (2001) pág. 1352
9. Alberty (2001) pág. 1355
10. Alberty (2001) pág. 1354
11. Por ejemplo, las especies iónicas N _j (medidas en moles ) mantenidas a un cierto potencial V _j incluirán el término donde F es la constante de Faraday y z _j es el múltiplo de la carga elemental del ion. ${\displaystyle \sum _{j}V_{j}\mathrm {d} q_{j}=F\sum _{j}V_{j}z_{j}\mathrm {d} N_{j}}$
12. Callen (1985) pág. 37
13. Callen (1985) pág. 181
14. Callen, HB (1960/1985). Termodinámica e introducción a la termoestadística , segunda edición, John Wiley & Sons, Hoboken NY, ISBN 9780471862567 , págs. 
15. Bailyn, M. (1994). Un estudio de termodinámica , Instituto Americano de Física, AIP Press, Woodbury NY, ISBN 0883187973 , págs. 
16. Callen, HB (1960/1985). Termodinámica e introducción a la termoestadística , segunda edición, John Wiley & Sons, Hoboken NY, ISBN 9780471862567 , págs. 
17. Morán y Shapiro, pag. 538
18. Callen (1985) pág. 60
19. W., Tschoegl, N. Fundamentos del equilibrio y la termodinámica del estado estacionario. ISBN 978-0-444-50426-5. OCLC  1003633034.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
20. Callen, Herbert B. (2005). Termodinámica e introducción a la termostática (2ª ed.). Nueva Delhi: John Wiley & Sons. págs. 203–210. ISBN 978-81-265-0812-9. OCLC  663862636.

Referencias

• Alberty, RA (2001). "Uso de transformaciones de Legendre en termodinámica química" (PDF) . Pura aplicación. química . 73 (8): 1349-1380. doi :10.1351/pac200173081349.
• Callen, Herbert B. (1985). Termodinámica e introducción a la termoestadística (2ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-86256-7.
• Morán, Michael J.; Shapiro, Howard N. (1996). Fundamentos de la ingeniería termodinámica (3ª ed.). Nueva York; Toronto: J. Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-07681-0.

Otras lecturas

• Enciclopedia de Física McGraw Hill (segunda edición), CB Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3 
• Termodinámica, de los conceptos a las aplicaciones (segunda edición), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Taylor and Francis Group, EE. UU.), 2009, ISBN 9781420073683 
• Termodinámica química , DJG Ives, Química Universitaria, Macdonald Technical and Scientific, 1971, ISBN 0-356-03736-3 
• Elementos de termodinámica estadística (segunda edición), LK Nash, Principios de química, Addison-Wesley, 1974, ISBN 0-201-05229-6 
• Física estadística (segunda edición), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 9780471566588 

enlaces externos

• Potenciales termodinámicos - Universidad Estatal de Georgia
• Energía potencial química: la 'característica' versus el tipo dependiente de la concentración