Diferencial exacto

Tipo de infinitesimal en cálculo

En cálculo multivariante , se dice que una forma diferencial o diferencial es exacta o perfecta ( diferencial exacta ), en contraste con una diferencial inexacta , si es igual al diferencial general para alguna función diferenciable en un sistema de coordenadas ortogonal (por lo tanto, es una forma multivariable). función cuyas variables son independientes , como siempre se espera que lo sean cuando se tratan en cálculo multivariable ). ${\displaystyle dQ}$  ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

Un diferencial exacto a veces también se denomina diferencial total , o diferencial completo , o, en el estudio de la geometría diferencial , se denomina forma exacta .

La integral de un diferencial exacto sobre cualquier trayectoria integral es independiente de la trayectoria , y este hecho se utiliza para identificar funciones de estado en termodinámica .

Descripción general

Definición

Incluso si aquí trabajamos en tres dimensiones, las definiciones de diferenciales exactos para otras dimensiones son estructuralmente similares a la definición tridimensional. En tres dimensiones, una forma del tipo

${\displaystyle A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

se llama forma diferencial . Esta forma se llama exacta en un dominio abierto en el espacio si existe alguna función escalar diferenciable definida tal que ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle Q=Q(x,y,z)}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle dQ\equiv \left({\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)_{y,z}\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial y}}\right)_{x,z}\,dy+\left({\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)_{x,y}\,dz,}$   ${\displaystyle dQ=A\,dx+B\,dy+C\,dz}$

a lo largo , donde están las coordenadas ortogonales (p. ej., coordenadas cartesianas , cilíndricas o esféricas ). En otras palabras, en algún dominio abierto de un espacio, una forma diferencial es un diferencial exacto si es igual al diferencial general de una función diferenciable en un sistema de coordenadas ortogonal. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x,y,z}$

Nota: En esta expresión matemática, los subíndices fuera del paréntesis indican qué variables se mantienen constantes durante la diferenciación. Debido a la definición de derivada parcial , estos subíndices no son obligatorios, pero se muestran aquí explícitamente como recordatorios.

Independencia integral del camino

El diferencial exacto para una función escalar diferenciable definida en un dominio abierto es igual a , donde es el gradiente de , representa el producto escalar y es el vector de desplazamiento diferencial general, si se utiliza un sistema de coordenadas ortogonal. Si es de clase de diferenciabilidad ( continuamente diferenciable ), entonces es un campo vectorial conservador para el potencial correspondiente según la definición. Para espacios tridimensionales, se pueden hacer expresiones como y . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dQ=\nabla Q\cdot d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy,dz)}$ ${\displaystyle \nabla Q=({\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},{\frac {\partial Q}{\partial z}})}$

El teorema del gradiente establece

${\displaystyle \int _{i}^{f}dQ=\int _{i}^{f}\nabla Q(\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =Q\left(f\right)-Q\left(i\right)}$

eso no depende de qué ruta integral entre los puntos finales de la ruta dada se elija. Por lo tanto, se concluye que la integral de un diferencial exacto es independiente de la elección de una ruta integral entre los puntos finales de la ruta dados (independencia de ruta) . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f}$

Para espacios tridimensionales, si definido en un dominio abierto es de clase de diferenciabilidad (equivalentemente es de ), entonces esta independencia de ruta integral también se puede demostrar utilizando la identidad del cálculo vectorial y el teorema de Stokes . ${\displaystyle \nabla Q}$ ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \nabla \times (\nabla Q)=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\nabla Q\cdot d\mathbf {r} =\iint _{\Sigma }(\nabla \times \nabla Q)\cdot d\mathbf {a} =0}$

para un bucle simplemente cerrado con la superficie lisa orientada en él. Si el dominio abierto es simplemente un espacio abierto conectado (en términos generales, un espacio abierto de una sola pieza sin un agujero dentro de él), entonces cualquier campo vectorial irrotacional (definido como un campo vectorial cuyo curl es cero, es decir, ) tiene independencia de trayectoria por Teorema de Stokes, por lo que se hace la siguiente afirmación; En una región abierta simplemente conectada, cualquier campo vectorial que tenga la propiedad de independencia de trayectoria (por lo que es un campo vectorial conservador) también debe ser irrotacional y viceversa. Aquí se muestra la igualdad de la independencia de trayectoria y los campos vectoriales conservadores . ${\displaystyle \partial \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle C^{1}}$

Función de estado termodinámico

En termodinámica , cuando es exacta, la función es una función de estado del sistema: una función matemática que depende únicamente del estado de equilibrio actual , no del camino seguido para alcanzar ese estado. La energía interna , la entropía , la entalpía , la energía libre de Helmholtz y la energía libre de Gibbs son funciones de estado . Generalmente, ni el trabajo ni el calor son funciones de estado. (Nota: se usa comúnmente para representar el calor en física. No debe confundirse con el uso anterior en este artículo como parámetro de un diferencial exacto). ${\displaystyle dQ}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

Una dimensión

En una dimensión, una forma diferencial.

${\displaystyle A(x)\,dx}$

es exacta si y sólo si tiene una antiderivada (pero no necesariamente una en términos de funciones elementales). Si tiene una primitiva y deja que sea una primitiva de so , entonces obviamente satisface la condición de exactitud. Si no tiene una primitiva, entonces no podemos escribir con ella para una función diferenciable , por lo que es inexacta. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\frac {dQ}{dx}}=A}$ ${\displaystyle A(x)\,dx}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle dQ={\frac {dQ}{dx}}dx}$ ${\displaystyle A={\frac {dQ}{dx}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle A(x)\,dx}$

Dos y tres dimensiones.

Por simetría de segundas derivadas , para cualquier función "de buen comportamiento" (no patológica ) , tenemos ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\,\partial x}}.}$

Por lo tanto, en una región R simplemente conexa del plano xy , donde son independientes, ^[1] se forma una forma diferencial ${\displaystyle x,y}$

${\displaystyle A(x,y)\,dx+B(x,y)\,dy}$

es un diferencial exacto si y sólo si la ecuación

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

sostiene. Si es un diferencial exacto so y , entonces es una función diferenciable (suavemente continua) a lo largo de y , so . Si se cumple, entonces y son funciones diferenciables (nuevamente, suavemente continuas) a lo largo de y respectivamente, y es solo el caso. ${\displaystyle A={\frac {\partial Q}{\partial x}}}$ ${\displaystyle B={\frac {\partial Q}{\partial y}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}Q}{\partial x\partial y}}=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y}}$

Para tres dimensiones, en una región R simplemente conexa del sistema de coordenadas xyz , por una razón similar, un diferencial

${\displaystyle dQ=A(x,y,z)\,dx+B(x,y,z)\,dy+C(x,y,z)\,dz}$

es un diferencial exacto si y sólo si entre las funciones A , B y C existen las relaciones

${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial y}}\right)_{x,z}\!\!\!=\left({\frac {\partial B}{\partial x}}\right)_{y,z}}$;  ; ${\displaystyle \left({\frac {\partial A}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial x}}\right)_{y,z}}$  ${\displaystyle \left({\frac {\partial B}{\partial z}}\right)_{x,y}\!\!\!=\left({\frac {\partial C}{\partial y}}\right)_{x,z}.}$

Estas condiciones son equivalentes a la siguiente oración: Si G es la gráfica de esta función vectorial, entonces para todos los vectores tangentes X , Y de la superficie G , entonces s ( X ,  Y ) = 0 con s la forma simpléctica .

Estas condiciones, fáciles de generalizar, surgen de la independencia del orden de diferenciaciones en el cálculo de las segundas derivadas. Entonces, para que un diferencial dQ , que es una función de cuatro variables, sea un diferencial exacto, hay seis condiciones (la combinación ) que deben satisfacer. ${\displaystyle C(4,2)=6}$

Relaciones diferenciales parciales

Si una función diferenciable es uno a uno (inyectiva) para cada variable independiente, por ejemplo, es uno a uno para un tiempo fijo mientras que no es necesariamente uno a uno para , entonces existen los siguientes diferenciales totales porque cada La variable independiente es una función diferenciable para las otras variables, por ejemplo ,. ${\displaystyle z(x,y)}$ ${\displaystyle z(x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x(y,z)}$

${\displaystyle dx={\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}\,dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\,dz}$

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\,dx+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\,dy.}$

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda y reordenando, obtenemos

${\displaystyle dz={\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}\left[{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}dy+{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz\right]+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}dy,}$

${\displaystyle dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy+{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}dz,}$

${\displaystyle \left[1-{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}\right]dz=\left[{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}+{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}\right]dy.}$

Dado que y son variables independientes, pueden elegirse sin restricciones. Para que esta última ecuación se cumpla en general, los términos entre corchetes deben ser iguales a cero. ^[2] El paréntesis izquierdo igual a cero conduce a la relación de reciprocidad, mientras que el paréntesis derecho igual a cero va a la relación cíclica como se muestra a continuación. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dz}$

Relación de reciprocidad

Establecer el primer término entre paréntesis igual a cero produce

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}=1.}$

Un ligero reordenamiento da una relación de reciprocidad,

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}={\frac {1}{{\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)}_{y}}}.}$

Hay dos permutaciones más de la derivación anterior que dan un total de tres relaciones de reciprocidad entre , y . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Relación cíclica

La relación cíclica también se conoce como regla cíclica o regla del triple producto . Establecer el segundo término entre paréntesis igual a cero produce

${\displaystyle {\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}{\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}=-{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}.}$

Usar una relación de reciprocidad para en esta ecuación y reordenar da una relación cíclica (la regla del triple producto ), ${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)}_{z}{\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)}_{x}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}=-1.}$

Si, en cambio , se utilizan relaciones de reciprocidad para y con reordenamiento posterior, se obtiene una forma estándar para la diferenciación implícita : ${\displaystyle {\tfrac {\partial x}{\partial y}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial y}{\partial z}}}$

${\displaystyle {\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)}_{z}=-{\frac {{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}_{y}}{{\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}_{x}}}.}$

Algunas ecuaciones útiles derivadas de diferenciales exactas en dos dimensiones

(Véase también las ecuaciones termodinámicas de Bridgman para el uso de diferenciales exactas en la teoría de ecuaciones termodinámicas )

Supongamos que tenemos cinco funciones estatales y . Supongamos que el espacio de estados es bidimensional y cualquiera de las cinco cantidades es diferenciable. Luego por la regla de la cadena ${\displaystyle z,x,y,u}$ ${\displaystyle v}$

sino también por la regla de la cadena:

y

de modo que (sustituyendo (2) y (3) en (1)):

lo que implica que (al comparar (4) con (1)):

Dejar entrar (5) da: ${\displaystyle v=y}$

Dejar entrar (5) da: ${\displaystyle u=y}$

Dejando y en (7) da: ${\displaystyle u=y}$ ${\displaystyle v=z}$

usando ( da la regla del triple producto : ${\displaystyle \partial a/\partial b)_{c}=1/(\partial b/\partial a)_{c}}$

Ver también

• Formas diferenciales cerradas y exactas para un tratamiento de nivel superior.
• Diferencial (matemáticas)
• Diferencial inexacto
• Factor integrante para resolver ecuaciones diferenciales no exactas haciéndolas exactas
• Ecuación diferencial exacta

Referencias

1. Si el par de variables independientes es una función (localmente reversible) de variables dependientes , todo lo que se necesita para que se cumpla el siguiente teorema es reemplazar las derivadas parciales con respecto a o para , por las derivadas parciales con respecto a y para involucrando sus componentes jacobianos . Es decir: es un diferencial exacto, si y sólo si: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A(u,v)du+B(u,v)dv,}$ ${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial A}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial B}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}.}$
2. Çengel, Yunus A.; Boles, Michael A.; Kanoğlu, Mehmet (2019) [1989]. "Relaciones de propiedad termodinámica". Termodinámica: un enfoque de ingeniería (9ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill Education. págs. 647–648. ISBN 978-1-259-82267-4.

• Perrot, P. (1998). De la A a la Z de la Termodinámica. Nueva York: Oxford University Press.
• Dennis G. Zill (14 de mayo de 2008). Un primer curso de ecuaciones diferenciales. Aprendizaje Cengage. ISBN 978-0-495-10824-5.

enlaces externos

• Diferencial inexacto - de Wolfram MathWorld
• Diferenciales exactas e inexactas - Universidad de Arizona
• Diferenciales exactas e inexactas - Universidad de Texas
• Diferencial exacto - de Wolfram MathWorld