Espacio cotangente

Espacio dual al espacio tangente en geometría diferencial

En geometría diferencial , el espacio cotangente es un espacio vectorial asociado a un punto en una variedad suave (o diferenciable) ; se puede definir un espacio cotangente para cada punto de una variedad suave. Normalmente, el espacio cotangente se define como el espacio dual del espacio tangente en , aunque existen definiciones más directas (ver más abajo). Los elementos del espacio cotangente se denominan vectores cotangentes o covectores tangentes . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$

Propiedades

Todos los espacios cotangentes en puntos de una variedad conectada tienen la misma dimensión , igual a la dimensión de la variedad. Todos los espacios cotangentes de una variedad se pueden "pegar" (es decir, unirlos y dotarlos de una topología) para formar una nueva variedad diferenciable de dos veces la dimensión, el paquete cotangente de la variedad.

El espacio tangente y el espacio cotangente en un punto son ambos espacios vectoriales reales de la misma dimensión y, por lo tanto, isomorfos entre sí a través de muchos isomorfismos posibles. La introducción de una métrica riemanniana o de una forma simpléctica da lugar a un isomorfismo natural entre el espacio tangente y el espacio cotangente en un punto, asociando a cualquier covector tangente un vector tangente canónico.

Definiciones formales

Definición como funcionales lineales.

Sea una variedad suave y sea un punto en . Sea el espacio tangente en . Entonces el espacio cotangente en x se define como el espacio dual de : ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=(T_{x}{\mathcal {M}})^{*}}$

Concretamente, los elementos del espacio cotangente son funcionales lineales en . Es decir, cada elemento es un mapa lineal. ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \alpha :T_{x}{\mathcal {M}}\to F}$

donde está el campo subyacente del espacio vectorial considerado, por ejemplo, el campo de los números reales . Los elementos de se llaman vectores cotangentes. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$

Definición alternativa

En algunos casos, es posible que desee tener una definición directa del espacio cotangente sin referencia al espacio tangente. Esta definición se puede formular en términos de clases de equivalencia de funciones suaves en . Informalmente, diremos que dos funciones suaves f y g son equivalentes en un punto si tienen el mismo comportamiento de primer orden cerca de , análogo a sus polinomios lineales de Taylor; dos funciones f y g tienen el mismo comportamiento de primer orden cerca si y sólo si la derivada de la función f − g desaparece en . El espacio cotangente estará entonces formado por todos los posibles comportamientos de primer orden de una función cercana a . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Sea una variedad suave y sea x un punto en . Sea el ideal de todas las funciones que desaparecen en , y sea el conjunto de funciones de la forma , donde . Entonces y son ambos espacios vectoriales reales y el espacio cotangente se puede definir como el espacio cociente mostrando que los dos espacios son isomorfos entre sí. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle C^{\infty }\!({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\textstyle \sum _{i}f_{i}g_{i}}$ ${\displaystyle f_{i},g_{i}\in I_{x}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}}$

Esta formulación es análoga a la construcción del espacio cotangente para definir el espacio tangente de Zariski en geometría algebraica. La construcción también se generaliza a espacios anillados localmente .

El diferencial de una función.

Sea una variedad suave y una función suave . El diferencial de en un punto es el mapa. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(X_{x})=X_{x}(f)}$

donde es un vector tangente en , considerado como una derivación. Esa es la derivada de Lie en la dirección , y se tiene . De manera equivalente, podemos pensar en los vectores tangentes como tangentes a curvas y escribir ${\displaystyle X_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X(f)={\mathcal {L}}_{X}f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f(X)=X(f)}$

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(\gamma '(0))=(f\circ \gamma )'(0)}$

En cualquier caso, es un mapa lineal y, por tanto, es un covector tangente en . ${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$

Luego podemos definir el mapa diferencial en un punto como el mapa al que envía . Las propiedades del mapa diferencial incluyen: ${\displaystyle \mathrm {d} :C^{\infty }(M)\to T_{x}^{*}(M)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$

1. ${\displaystyle \mathrm {d} }$es un mapa lineal: para constantes y , ${\displaystyle \mathrm {d} (af+bg)=a\mathrm {d} f+b\mathrm {d} g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
2. ${\displaystyle \mathrm {d} (fg)_{x}=f(x)\mathrm {d} g_{x}+g(x)\mathrm {d} f_{x}}$

El mapa diferencial proporciona el vínculo entre las dos definiciones alternativas del espacio cotangente dadas anteriormente. Dado que para todas existen tales que tenemos, es decir, todas las funciones tienen diferencial cero , se deduce que para cada dos funciones tenemos . Ahora podemos construir un isomorfismo entre y enviando aplicaciones lineales a las clases laterales correspondientes . Dado que existe un mapa lineal único para un núcleo y una pendiente determinados, se trata de un isomorfismo que establece la equivalencia de las dos definiciones. ${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle g_{i},h_{i}\in I_{x}}$ ${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}h_{i}}$ ${\textstyle \mathrm {d} f_{x}}$ ${\textstyle =\sum _{i}\mathrm {d} (g_{i}h_{i})_{x}=}$ ${\textstyle \sum _{i}(g_{i}(x)\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}h_{i}(x))=}$ ${\textstyle \sum _{i}(0\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}0)=0}$ ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle g\in I_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} (f+g)=\mathrm {d} (g)}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I_{x}/I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +I_{x}^{2}}$

El retroceso de un mapa fluido

Así como cada aplicación diferenciable entre variedades induce una aplicación lineal (llamada avance o derivada ) entre los espacios tangentes ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f_{*}^{}\colon T_{x}M\to T_{f(x)}N}$

cada uno de estos mapas induce un mapa lineal (llamado retroceso ) entre los espacios cotangentes, solo que esta vez en la dirección inversa:

${\displaystyle f^{*}\colon T_{f(x)}^{*}N\to T_{x}^{*}M.}$

El pullback se define naturalmente como la dual (o transposición) del pushforward . Desentrañando la definición, esto significa lo siguiente:

${\displaystyle (f^{*}\theta )(X_{x})=\theta (f_{*}^{}X_{x}),}$

dónde y . Observe cuidadosamente dónde vive cada cosa. ${\displaystyle \theta \in T_{f(x)}^{*}N}$ ${\displaystyle X_{x}\in T_{x}M}$

Si definimos covectores tangentes en términos de clases de equivalencia de mapas suaves que desaparecen en un punto, entonces la definición de retroceso es aún más sencilla. Sea una función suave que desaparezca en . Entonces el retroceso del covector determinado por (denotado ) viene dado por ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {d} g}$

${\displaystyle f^{*}\mathrm {d} g=\mathrm {d} (g\circ f).}$

Es decir, es la clase de equivalencia de funciones al desaparecer en determinada por . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g\circ f}$

poderes exteriores

La -ésima potencia exterior del espacio cotangente, denotada , es otro objeto importante en geometría diferencial y algebraica. Los vectores en la -ésima potencia exterior, o más precisamente, las secciones de la -ésima potencia exterior del haz cotangente , se denominan formas diferenciales . Se pueden considerar como aplicaciones multilineales alternas sobre vectores tangentes. Por esta razón, los covectores tangentes se denominan frecuentemente formas uniformes . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T_{x}^{*}{\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Referencias

• Abraham, Ralph H .; Marsden, Jerrold E. (1978), Fundamentos de la mecánica , Londres: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1
• Jost, Jürgen (2005), Geometría y análisis geométrico de Riemann (4ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7
• Lee, John M. (2003), Introducción a las variedades suaves , Springer Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95448-6
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip ; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitación , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0