La fórmula de Faà di Bruno

Regla de la cadena generalizada en cálculo

La fórmula de Faà di Bruno es una identidad en matemáticas que generaliza la regla de la cadena a derivadas superiores. Lleva el nombre de Francesco Faà di Bruno  (1855, 1857), aunque no fue el primero en enunciar o probar la fórmula. En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast había enunciado la fórmula en un libro de texto de cálculo, ^[1] que se considera la primera referencia publicada sobre el tema. ^[2]

Quizás la forma más conocida de la fórmula de Faà di Bruno dice que

$${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},}$$

donde la suma es sobre todo : tuplas de números enteros no negativos que satisfacen la restricción ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (m_{1},\ldots ,m_{n})}$

$${\displaystyle 1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.}$$

A veces, para darle un patrón memorable, se escribe de una manera en la que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se analiza a continuación son menos explícitos:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$

Combinando los términos con el mismo valor de y notando que tiene que ser cero para se obtiene una fórmula algo más simple expresada en términos de polinomios de Bell : ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}=k}$ ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle j>n-k+1}$ ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})}$

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

Forma combinatoria

La fórmula tiene una forma "combinatoria":

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }g^{(\left|B\right|)}(x)}$

dónde

• ${\displaystyle \pi }$recorre el conjunto de todas las particiones del conjunto , ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$
• " " significa que la variable recorre la lista de todos los "bloques" de la partición , y ${\displaystyle B\in \pi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle |A|}$denota la cardinalidad del conjunto (de modo que es el número de bloques en la partición y el tamaño del bloque ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\pi |}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle |B|}$ ${\displaystyle B}$

Ejemplo

La siguiente es una explicación concreta de la forma combinatoria para el caso. ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)={}&f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\[8pt]&{}+\;3f''(g(x))g''(x)^{2}+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\[8pt]&{}+\;f'(g(x))g''''(x).\end{aligned}}}$

El patrón es:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}g'(x)^{4}&&\leftrightarrow &&1+1+1+1&&\leftrightarrow &&f''''(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\[12pt]g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftrightarrow &&6\\[12pt]g''(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+2&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&3\\[12pt]g'''(x)g'(x)&&\leftrightarrow &&3+1&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&4\\[12pt]g''''(x)&&\leftrightarrow &&4&&\leftrightarrow &&f'(g(x))&&\leftrightarrow &&1\end{array}}}$

El factor corresponde a la partición 2 + 1 + 1 del entero 4, de forma obvia. El factor que lo acompaña corresponde a que hay tres sumandos en esa partición. El coeficiente 6 que acompaña a esos factores corresponde al hecho de que hay exactamente seis particiones de un conjunto de cuatro miembros que lo dividen en una parte de tamaño 2 y dos partes de tamaño 1. ${\displaystyle g''(x)g'(x)^{2}}$ ${\displaystyle f'''(g(x))}$

De manera similar, el factor de la tercera línea corresponde a la partición 2 + 2 del entero 4, (4, porque estamos encontrando la derivada cuarta), mientras que corresponde a que hay dos sumandos (2 + 2) en esa partición . El coeficiente 3 corresponde al hecho de que existen formas de dividir 4 objetos en grupos de 2. El mismo concepto se aplica a los demás. ${\displaystyle g''(x)^{2}}$ ${\displaystyle f''(g(x))}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\tbinom {4}{2}}=3}$

Un esquema memorizable es el siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {D^{1}(f\circ {}g)}{1!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}\\[8pt]&{\frac {D^{2}(f\circ g)}{2!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}\\[8pt]&{\frac {D^{3}(f\circ g)}{3!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{3!}}\\[8pt]&{\frac {D^{4}(f\circ g)}{4!}}&=\left(f^{(1)}\circ {}g\right){\frac {\frac {g^{(4)}}{4!}}{1!}}&{}+\left(f^{(2)}\circ {}g\right)\left({\frac {\frac {g^{(1)}}{1!}}{1!}}{\frac {\frac {g^{(3)}}{3!}}{1!}}+{\frac {{\frac {g^{(2)}}{2!}}{\frac {g^{(2)}}{2!}}}{2!}}\right)&{}+\left(f^{(3)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{2!}}{\frac {\frac {g^{(2)}}{2!}}{1!}}&{}+\left(f^{(4)}\circ {}g\right){\frac {{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}{\frac {g^{(1)}}{1!}}}{4!}}\end{aligned}}}$

Combinatoria de los coeficientes de Faà di Bruno

Estos coeficientes de Faà di Bruno para contar particiones tienen una expresión de "forma cerrada". El número de particiones de un conjunto de tamaño n correspondiente a la partición entera

${\displaystyle \displaystyle n=\underbrace {1+\cdots +1} _{m_{1}}\,+\,\underbrace {2+\cdots +2} _{m_{2}}\,+\,\underbrace {3+\cdots +3} _{m_{3}}+\cdots }$

del número entero n es igual a

${\displaystyle {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,m_{3}!\,\cdots 1!^{m_{1}}\,2!^{m_{2}}\,3!^{m_{3}}\,\cdots }}.}$

Estos coeficientes también surgen en los polinomios de Bell , que son relevantes para el estudio de los cumulantes .

Variaciones

Versión multivariante

Dejar . Entonces, la siguiente identidad se cumple independientemente de si las variables son todas distintas, todas idénticas o divididas en varias clases distinguibles de variables indistinguibles (si parece opaca, vea el ejemplo muy concreto a continuación): ^[3] ${\displaystyle y=g(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}f(y)=\sum _{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(y)\cdot \prod _{B\in \pi }{\partial ^{\left|B\right|}y \over \prod _{j\in B}\partial x_{j}}}$

donde (como arriba)

• ${\displaystyle \pi }$recorre el conjunto de todas las particiones del conjunto , ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$
• " " significa que la variable recorre la lista de todos los "bloques" de la partición , y ${\displaystyle B\in \pi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle |A|}$denota la cardinalidad del conjunto (por lo que es el número de bloques en la partición y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |\pi |}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle |B|}$es el tamaño del bloque ). ${\displaystyle B}$

Las versiones más generales son válidas para casos en los que todas las funciones tienen valores vectoriales e incluso espacios de Banach . En este caso hay que considerar el derivado de Fréchet o el derivado de Gateaux .

Ejemplo

Los cinco términos de la siguiente expresión corresponden de forma obvia a las cinco particiones del conjunto , y en cada caso el orden de la derivada de es el número de partes de la partición: ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}f(y)={}&f'(y){\partial ^{3}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\\[10pt]&{}+f''(y)\left({\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial y \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}y \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\right)\\[10pt]&{}+f'''(y){\partial y \over \partial x_{1}}\cdot {\partial y \over \partial x_{2}}\cdot {\partial y \over \partial x_{3}}.\end{aligned}}}$

Si las tres variables son indistinguibles entre sí, entonces tres de los cinco términos anteriores también son indistinguibles entre sí, y entonces tenemos la fórmula clásica de una variable.

Versión formal en serie de potencias

Supongamos que y son series de potencias formales y . ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n}}x^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}}x^{n}}$ ${\displaystyle b_{0}=0}$

Entonces la composición es nuevamente una serie de potencias formal , ${\displaystyle f\circ g}$

${\displaystyle f(g(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}}x^{n},}$

donde y el otro coeficiente para se puede expresar como una suma de composiciones de o como una suma equivalente de particiones enteras de : ${\displaystyle c_{0}=a_{0}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\mathbf {i} \in {\mathcal {C}}_{n}}a_{k}b_{i_{1}}b_{i_{2}}\cdots b_{i_{k}},}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\{(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k})\,:\ 1\leq k\leq n,\ i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{k}=n\}}$

es el conjunto de composiciones de con que denota el número de partes, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

o

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\sum _{\mathbf {\pi } \in {\mathcal {P}}_{n,k}}{\binom {k}{\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{n}}}b_{1}^{\pi _{1}}b_{2}^{\pi _{2}}\cdots b_{n}^{\pi _{n}},}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n,k}=\{(\pi _{1},\pi _{2},\dots ,\pi _{n})\,:\ \pi _{1}+\pi _{2}+\cdots +\pi _{n}=k,\ \pi _{1}\cdot 1+\pi _{2}\cdot 2+\cdots +\pi _{n}\cdot n=n\}}$

es el conjunto de particiones en partes, en forma de frecuencia de partes. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$

La primera forma se obtiene seleccionando el coeficiente de in "por inspección", y la segunda forma se obtiene recopilando términos semejantes o, alternativamente, aplicando el teorema del multinomio . ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle (b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots )^{k}}$

El caso especial da la fórmula exponencial . El caso especial da una expresión para el recíproco de la serie de potencias formales en el caso . ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n!}}a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle f(x)=1/(1-x)}$ ${\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 1}(-a_{n})x^{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle a_{0}=1}$

Stanley ^[4] ofrece una versión para series de potencias exponenciales. En la serie de potencias formales

${\displaystyle f(x)=\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n},}$

tenemos la derivada enésima en 0: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f^{(n)}(0)=a_{n}.}$

Esto no debe interpretarse como el valor de una función, ya que estas series son puramente formales; En este contexto no existe nada parecido a la convergencia o la divergencia.

Si

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n!}}x^{n}}$

y

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}}$

y

${\displaystyle g(f(x))=h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n!}}x^{n},}$

entonces el coeficiente (que sería la derivada enésima de evaluado en 0 si estuviéramos tratando con series convergentes en lugar de series de potencias formales) está dado por ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle c_{n}=\sum _{\pi =\left\{B_{1},\ldots ,B_{k}\right\}}a_{\left|B_{1}\right|}\cdots a_{\left|B_{k}\right|}b_{k}}$

donde recorre el conjunto de todas las particiones del conjunto y son los bloques de la partición , y es el número de miembros del enésimo bloque, para . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle |B_{j}|}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,k}$

Esta versión de la fórmula es particularmente adecuada para los propósitos de combinatoria .

También podemos escribir con respecto a la notación anterior.

${\displaystyle g(f(x))=b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n},}$

¿Dónde están los polinomios de Bell ? ${\displaystyle B_{n,k}(a_{1},\ldots ,a_{n-k+1})}$

Un caso especial

Si , entonces todas las derivadas de son iguales y son un factor común a cada término: ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}e^{g(x)}=e^{g(x)}B_{n}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n)}(x)\right),}$

donde está el n ésimo polinomio exponencial completo de Bell . ${\displaystyle B_{n}(x)}$

En caso de que sea una función generadora de cumulantes , entonces es una función generadora de momentos , y el polinomio en varias derivadas de es el polinomio que expresa los momentos como funciones de los cumulantes . ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(g(x))}$ ${\displaystyle g}$

Ver también

• Regla de la cadena  : para derivadas de funciones compuestas
• Diferenciación de funciones trigonométricas  : proceso matemático para encontrar la derivada de una función trigonométrica
• Reglas de diferenciación  : reglas para calcular derivadas de funciones
• Regla general de Leibniz  : generalización de la regla del producto en cálculo
• Funciones inversas y diferenciación  – Cálculo de identidadPages displaying short descriptions of redirect targets
• Linealidad de diferenciación  – Propiedad de cálculo
• Regla del producto  : fórmula para la derivada de un producto
• Tabla de derivadas  : reglas para calcular derivadas de funcionesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Identidades de cálculo vectorial  – Identidades matemáticas

Notas

1. (Arbogast 1800).
2. Según Craik (2005, págs. 120-122): véase también el análisis del trabajo de Arbogast realizado por Johnson (2002, pág. 230).
3. Hardy, Michael (2006). "Combinatoria de Derivados Parciales". Revista Electrónica de Combinatoria . 13 (1): R1. doi : 10.37236/1027 . S2CID  478066.
4. Véase la "fórmula composicional" en el capítulo 5 de Stanley, Richard P. (1999) [1997]. Combinatoria enumerativa. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55309-4.

Referencias

Encuestas y ensayos históricos.

• Brigaglia, Aldo (2004), "L'Opera Matematica", en Giacardi, Livia (ed.), Francesco Faà di Bruno. Ricerca científica insegnamento e divulgazione , Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino (en italiano), vol. XII, Turín : Deputazione Subalpina di Storia Patria, págs. 111-172. " La obra matemática " es un ensayo sobre la actividad matemática, que describe tanto la actividad investigadora como docente de Francesco Faà di Bruno.
• Craik, Alex DD (febrero de 2005), "Prehistoria de la fórmula de Faà di Bruno", American Mathematical Monthly , 112 (2): 217–234, doi :10.2307/30037410, JSTOR  30037410, MR  2121322, Zbl  1088.01008.
• Johnson, Warren P. (marzo de 2002), "La curiosa historia de la fórmula de Faà di Bruno" (PDF) , American Mathematical Monthly , 109 (3): 217–234, CiteSeerX  10.1.1.109.4135 , doi :10.2307/2695352, JSTOR  2695352, SEÑOR  1903577, Zbl  1024.01010.

Trabajos de investigación

• Arbogast, LFA (1800), Du calcul des derivations [ Sobre el cálculo de las derivadas ] (en francés), Estrasburgo: Levrault, págs. xxiii+404, Disponible de forma totalmente gratuita en Google Books .
• Faà di Bruno, F. (1855), "Sullo sviluppo delle funzioni" [Sobre el desarrollo de las funciones], Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (en italiano), 6 : 479–480, LCCN  06036680. Disponible de forma totalmente gratuita en Google Books . Conocido artículo donde Francesco Faà di Bruno presenta las dos versiones de la fórmula que ahora lleva su nombre, publicada en la revista fundada por Barnaba Tortolini .
• Faà di Bruno, F. (1857), "Note sur une nouvelle formule de calcul Differentiel" [Sobre una nueva fórmula de cálculo diferencial], The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics (en francés), 1 : 359–360. Disponible de forma totalmente gratuita en Google Books .
• Faà di Bruno, Francesco (1859), Théorie générale de l'élimination [ Teoría general de la eliminación ] (en francés), París: Leiber et Faraguet, págs. x+224. Disponible de forma totalmente gratuita en Google Books .
• Flanders, Harley (2001) "De Ford a Faa", American Mathematical Monthly 108(6): 558–61 doi :10.2307/2695713
• Fraenkel, LE (1978), "Fórmulas para altas derivadas de funciones compuestas", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 83 (2): 159–165, Bibcode :1978MPCPS..83..159F, doi :10.1017/S0305004100054402, Señor  0486377, S2CID  121007038, Zbl  0388.46032.
• Krantz, Steven G .; Parks, Harold R. (2002), Introducción a las funciones analíticas reales, Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (Segunda ed.), Boston: Birkhäuser Verlag , págs. xiv+205, ISBN 978-0-8176-4264-8, SEÑOR  1916029, Zbl  1015.26030
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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Fórmula de Faa di Bruno". MundoMatemático .