Polinomios de campana

Polinomios en matemáticas combinatorias.

En matemáticas combinatorias , los polinomios de Bell , llamados así en honor a Eric Temple Bell , se utilizan en el estudio de particiones de conjuntos. Están relacionados con los números de Stirling y Bell . También ocurren en muchas aplicaciones, como en la fórmula de Faà di Bruno .

Definiciones

Polinomios exponenciales de Bell

Los polinomios de Bell exponenciales parciales o incompletos son una matriz triangular de polinomios dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})&=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}\\&=n!\sum \prod _{i=1}^{n-k+1}{\frac {x_{i}^{j_{i}}}{(i!)^{j_{i}}j_{i}!}},\end{aligned}}}$

donde la suma se toma de todas las secuencias j ₁ , j ₂ , j ₃ , ..., j _{n − k +1} de enteros no negativos tales que se cumplan estas dos condiciones:

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

La suma

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})\\&=n!\sum _{1j_{1}+\ldots +nj_{n}=n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{j_{i}}}{(i!)^{j_{i}}j_{i}!}}\end{aligned}}}$

se llama n- ésimo polinomio exponencial completo de Bell .

Polinomios de Bell ordinarios

Asimismo, el polinomio de Bell ordinario parcial se define por

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

donde la suma recorre todas las secuencias j ₁ , j ₂ , j ₃ , ..., j _{n − k +1} de enteros no negativos tales que

${\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}$

${\displaystyle j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}$

Gracias a la primera condición de los índices, podemos reescribir la fórmula como

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\binom {k}{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n-k+1}}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}$

donde hemos utilizado el coeficiente multinomial .

Los polinomios de Bell ordinarios se pueden expresar en términos de polinomios de Bell exponenciales:

${\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n!}}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).}$

En general, el polinomio de Bell se refiere al polinomio de Bell exponencial, a menos que se indique explícitamente lo contrario.

Significado combinatorio

El polinomio exponencial de Bell codifica la información relacionada con las formas en que se puede dividir un conjunto. Por ejemplo, si consideramos un conjunto {A, B, C}, se puede dividir en dos subconjuntos no vacíos y no superpuestos, a los que también se hace referencia como partes o bloques, de 3 maneras diferentes:

{{A B C}}

{{B}, {A,C}}

{{C}, {B,A}}

Por lo tanto, podemos codificar la información relativa a estas particiones como

${\displaystyle B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.}$

Aquí, los subíndices de B _3,2 nos dicen que estamos considerando la partición de un conjunto con 3 elementos en 2 bloques. El subíndice de cada x _i indica la presencia de un bloque con i elementos (o bloque de tamaño i ) en una partición determinada. Entonces aquí, x ₂ indica la presencia de un bloque con dos elementos. De manera similar, x ₁ indica la presencia de un bloque con un solo elemento. El exponente de x _i ^j indica que hay j bloques de tamaño i en una sola partición. Aquí, el hecho de que tanto x ₁ como x ₂ tengan exponente 1 indica que sólo hay uno de esos bloques en una partición determinada. El coeficiente del monomio indica cuántas particiones de este tipo existen. Aquí, hay 3 particiones de un conjunto con 3 elementos en 2 bloques, donde en cada partición los elementos se dividen en dos bloques de tamaños 1 y 2.

Dado que cualquier conjunto se puede dividir en un solo bloque de una sola manera, la interpretación anterior significaría que B _{n ,1} = x _n . De manera similar, dado que solo hay una forma de dividir un conjunto con n elementos en n singleton, B _{n , n} = x ₁ ⁿ .

Como ejemplo más complicado, considere

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}.}$

Esto nos dice que si un conjunto con 6 elementos se divide en 2 bloques, entonces podemos tener 6 particiones con bloques de tamaño 1 y 5, 15 particiones con bloques de tamaño 4 y 2, y 10 particiones con 2 bloques de tamaño 3.

La suma de los subíndices de un monomio es igual al número total de elementos. Por tanto, el número de monomios que aparecen en el polinomio parcial de Bell es igual al número de formas en que el número entero n puede expresarse como una suma de k enteros positivos. Esto es lo mismo que la partición entera de n en k partes. Por ejemplo, en los ejemplos anteriores, el número entero 3 se puede dividir en dos partes como 2+1 únicamente. Por tanto, sólo hay un monomio en B _3,2 . Sin embargo, el número entero 6 se puede dividir en dos partes como 5+1, 4+2 y 3+3. Por tanto, hay tres monomios en B _6,2 . De hecho, los subíndices de las variables de un monomio son los mismos que los dados por la partición entera, indicando los tamaños de los diferentes bloques. El número total de monomios que aparecen en un polinomio de Bell completo B _n es, por tanto, igual al número total de particiones enteras de  n .

Además, el grado de cada monomio, que es la suma de los exponentes de cada variable del monomio, es igual al número de bloques en los que se divide el conjunto. Es decir, j ₁ + j ₂ + ... = k . Por lo tanto, dado un polinomio de Bell completo B _n , podemos separar el polinomio de Bell parcial B _n,k reuniendo todos esos monomios con grado k .

Finalmente, si ignoramos los tamaños de los bloques y ponemos todo x _i = x , entonces la suma de los coeficientes del polinomio parcial de Bell B _{n , k} dará el número total de formas en que un conjunto con n elementos se puede dividir en k bloques, que es lo mismo que los números de Stirling de segunda clase . Además, la suma de todos los coeficientes del polinomio de Bell completo B _n nos dará el número total de formas en que un conjunto con n elementos puede dividirse en subconjuntos no superpuestos, que es lo mismo que el número de Bell.

En general, si el número entero n se divide en una suma en la que "1" aparece j ₁ veces, "2" aparece j ₂ veces, y así sucesivamente, entonces el número de particiones de un conjunto de tamaño n que colapsan en esa partición del número entero n cuando los miembros del conjunto se vuelven indistinguibles es el coeficiente correspondiente en el polinomio.

Ejemplos

Por ejemplo, tenemos

${\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}$

porque las formas de dividir un conjunto de 6 elementos como 2 bloques son

6 formas de dividir un conjunto de 6 como 5 + 1,

15 formas de dividir un conjunto de 6 como 4 + 2, y

10 formas de dividir un conjunto de 6 como 3 + 3.

Similarmente,

${\displaystyle B_{6,3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=15x_{4}x_{1}^{2}+60x_{3}x_{2}x_{1}+15x_{2}^{3}}$

porque las formas de dividir un conjunto de 6 elementos como 3 bloques son

15 formas de dividir un conjunto de 6 como 4 + 1 + 1,

60 formas de dividir un conjunto de 6 como 3 + 2 + 1, y

15 formas de dividir un conjunto de 6 como 2 + 2 + 2.

tabla de valores

A continuación se muestra una matriz triangular de polinomios de Bell incompletos : ${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}$

Propiedades

función generadora

Los polinomios exponenciales de Bell parciales se pueden definir mediante el desarrollo en doble serie de su función generadora:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=1}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

En otras palabras, por lo que equivale a lo mismo, por la expansión en serie de la k -ésima potencia:

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots }$

El polinomio exponencial de Bell completo está definido por , o en otras palabras: ${\displaystyle \Phi (t,1)}$

${\displaystyle \Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Por tanto, el n -ésimo polinomio de Bell completo viene dado por

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left.\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{n}\exp \left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)\right|_{t=0}.}$

Asimismo, el polinomio parcial ordinario de Bell puede definirse mediante la función generadora

${\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.}$

O, de manera equivalente, por expansión en serie de la k -ésima potencia:

${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.}$

Véase también transformaciones de funciones generadoras para expansiones de funciones generadoras de polinomios de Bell de composiciones de funciones y potencias generadoras de secuencias , logaritmos y exponenciales de una función generadora de secuencias. Cada una de estas fórmulas está citada en las respectivas secciones de Comtet. ^[1]

Relaciones de recurrencia

Los polinomios de Bell completos se pueden definir recurrentemente como

${\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})x_{i+1}}$

con el valor inicial . ${\displaystyle B_{0}=1}$

Los polinomios parciales de Bell también se pueden calcular de manera eficiente mediante una relación de recurrencia:

${\displaystyle B_{n+1,k+1}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n}{i}}x_{i+1}B_{n-i,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k-i+1})}$

dónde

${\displaystyle B_{0,0}=1;}$

${\displaystyle B_{n,0}=0{\text{ for }}n\geq 1;}$

${\displaystyle B_{0,k}=0{\text{ for }}k\geq 1.}$

Además: ^[2]

${\displaystyle B_{n,k_{1}+k_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k_{1}-k_{2}+1})={\frac {k_{1}!\,k_{2}!}{(k_{1}+k_{2})!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}B_{i,k_{1}}(x_{1},\ldots ,x_{i-k_{1}+1})B_{n-i,k_{2}}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k_{2}+1}).}$

Los polinomios de Bell completos también satisfacen la siguiente fórmula diferencial de recurrencia: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {1}{n-1}}\left[\sum _{i=2}^{n}\right.&\sum _{j=1}^{i-1}(i-1){\binom {i-2}{j-1}}x_{j}x_{i-j}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {x_{i+1}}{\binom {i}{j}}}{\frac {\partial ^{2}B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{j}\partial x_{i-j}}}\right.\\[5pt]&\left.{}+\sum _{i=2}^{n}x_{i}{\frac {\partial B_{n-1}(x_{1},\dots ,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}}}\right].\end{aligned}}}$

Derivados

Las derivadas parciales de los polinomios de Bell completos vienen dadas por ^[4]

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\binom {n}{i}}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i}).}$

De manera similar, las derivadas parciales de los polinomios de Bell parciales están dadas por

${\displaystyle {\frac {\partial B_{n,k}}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})={\binom {n}{i}}B_{n-i,k-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-i-k+2}).}$

Si los argumentos de los polinomios de Bell son funciones unidimensionales, se puede utilizar la regla de la cadena para obtener

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(B_{n,k}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-k+1}(x))\right)=\sum _{i=1}^{n-k+1}{\binom {n}{i}}a_{i}'(x)B_{n-i,k-1}(a_{1}(x),\cdots ,a_{n-i-k+2}(x)).}$

Números de Stirling y números de Bell.

El valor del polinomio de Bell B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) en la secuencia de factoriales es igual a un número de Stirling sin signo de primera especie :

${\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k}\right].}$

La suma de estos valores da el valor del polinomio de Bell completo en la secuencia de factoriales:

${\displaystyle B_{n}(0!,1!,\dots ,(n-1)!)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=\sum _{k=1}^{n}\left[{n \atop k}\right]=n!.}$

El valor del polinomio de Bell B _{n , k} ( x ₁ , x ₂ ,...) en la secuencia de unos es igual a un número de Stirling de segunda especie :

${\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}$

La suma de estos valores da el valor del polinomio de Bell completo en la secuencia de unos:

${\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\},}$

que es el enésimo número de Bell .

${\displaystyle B_{n,k}(1!,2!,\ldots ,(n-k+1)!)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}=L(n,k)}$

lo que da el número de Lah .

Polinomios de Touchard

El polinomio de Touchard se puede expresar como el valor del polinomio de Bell completo cuando todos los argumentos son x : ${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\cdot x^{k}}$

${\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}$

Relaciones inversas

si definimos

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}),}$

entonces tenemos la relación inversa

${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

De manera más general, ^{[5] [6]} dada alguna función que admite una inversa , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{-1}}$

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(a)\,B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})\quad \Leftrightarrow \quad x_{n}=\sum _{k=0}^{n}g^{(k)}{\big (}f(a){\big )}\,B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}$

Formas determinantes

El polinomio de Bell completo se puede expresar como determinantes :

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}x_{1}&{n-1 \choose 1}x_{2}&{n-1 \choose 2}x_{3}&{n-1 \choose 3}x_{4}&\cdots &\cdots &x_{n}\\\\-1&x_{1}&{n-2 \choose 1}x_{2}&{n-2 \choose 2}x_{3}&\cdots &\cdots &x_{n-1}\\\\0&-1&x_{1}&{n-3 \choose 1}x_{2}&\cdots &\cdots &x_{n-2}\\\\0&0&-1&x_{1}&\cdots &\cdots &x_{n-3}\\\\0&0&0&-1&\cdots &\cdots &x_{n-4}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-1&x_{1}\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\det {\begin{bmatrix}{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&{\frac {x_{4}}{3!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n}}{(n-1)!}}\\\\-1&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&{\frac {x_{3}}{2!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-1}}{(n-2)!}}\\\\0&-2&{\frac {x_{1}}{0!}}&{\frac {x_{2}}{1!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-2}}{(n-3)!}}\\\\0&0&-3&{\frac {x_{1}}{0!}}&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-3}}{(n-4)!}}\\\\0&0&0&-4&\cdots &\cdots &{\frac {x_{n-4}}{(n-5)!}}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\\\0&0&0&0&\cdots &-(n-1)&{\frac {x_{1}}{0!}}\end{bmatrix}}.}$

Identidad de convolución

Para secuencias x _n , y _n , n = 1, 2, ..., defina una convolución mediante:

${\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}$

Los límites de la suma son 1 y n  − 1, no 0 y n .

Sea el enésimo término de la secuencia. ${\displaystyle x_{n}^{k\diamondsuit }\,}$

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}x} _{k{\text{ factors}}}.\,}$

Entonces ^[2]

${\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}$

Por ejemplo, calculemos . Tenemos ${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle x=(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\ ,\ x_{4}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\ ,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\ ,\dots )}$

${\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\ ,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\ ,\dots )}$

y por lo tanto,

${\displaystyle B_{4,3}(x_{1},x_{2})={\frac {(x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x)_{4}}{3!}}=6x_{1}^{2}x_{2}.}$

Otras identidades

• ${\displaystyle B_{n,k}(1,2,3,\ldots ,n-k+1)={\binom {n}{k}}k^{n-k}}$lo que da el número idempotente .
• ${\displaystyle B_{n,k}(\alpha \beta x_{1},\alpha \beta ^{2}x_{2},\ldots ,\alpha \beta ^{n-k+1}x_{n-k+1})=\alpha ^{k}\beta ^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})}$.
• Los polinomios de Bell completos satisfacen la relación de tipo binomial:

  ${\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}),}$

  ${\displaystyle B_{n,k}{\Bigl (}{\frac {x_{q+1}}{\binom {q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}}{\binom {q+2}{q}}},\ldots {\Bigr )}={\frac {n!(q!)^{k}}{(n+qk)!}}B_{n+qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots ).}$

Esto corrige la omisión del factor en el libro de Comtet. ^[7] ${\displaystyle (q!)^{k}}$

• Cuando , ${\displaystyle 1\leq a<n}$

  ${\displaystyle B_{n,n-a}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}x_{1}^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.}$

• Casos especiales de polinomios de Bell parciales:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,1}(x_{1},\ldots ,x_{n})={}&x_{n}\\B_{n,2}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})={}&{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x_{k}x_{n-k}\\B_{n,n}(x_{1})={}&x_{1}^{n}\\B_{n,n-1}(x_{1},x_{2})={}&{\binom {n}{2}}x_{1}^{n-2}x_{2}\\B_{n,n-2}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&{\binom {n}{3}}x_{1}^{n-3}x_{3}+3{\binom {n}{4}}x_{1}^{n-4}x_{2}^{2}\\B_{n,n-3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&{\binom {n}{4}}x_{1}^{n-4}x_{4}+10{\binom {n}{5}}x_{1}^{n-5}x_{2}x_{3}+15{\binom {n}{6}}x_{1}^{n-6}x_{2}^{3}\\B_{n,n-4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&{\binom {n}{5}}x_{1}^{n-5}x_{5}+5{\binom {n}{6}}x_{1}^{n-6}(3x_{2}x_{4}+2x_{3}^{2})+105{\binom {n}{7}}x_{1}^{n-7}x_{2}^{2}x_{3}\\&+105{\binom {n}{8}}x_{1}^{n-8}x_{2}^{4}.\end{aligned}}}$

Ejemplos

Los primeros polinomios de Bell completos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}={}&1,\\[8pt]B_{1}(x_{1})={}&x_{1},\\[8pt]B_{2}(x_{1},x_{2})={}&x_{1}^{2}+x_{2},\\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2}+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&x_{1}^{5}+10x_{2}x_{1}^{3}+15x_{2}^{2}x_{1}+10x_{3}x_{1}^{2}+10x_{3}x_{2}+5x_{4}x_{1}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={}&x_{1}^{6}+15x_{2}x_{1}^{4}+20x_{3}x_{1}^{3}+45x_{2}^{2}x_{1}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{3}x_{2}x_{1}\\&{}+15x_{4}x_{1}^{2}+10x_{3}^{2}+15x_{4}x_{2}+6x_{5}x_{1}+x_{6},\\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})={}&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2}+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&{}+210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+105x_{1}x_{2}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+105x_{1}x_{2}x_{4}\\&{}+70x_{1}x_{3}^{2}+105x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2}x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{aligned}}}$

Aplicaciones

La fórmula de Faà di Bruno

La fórmula de Faà di Bruno se puede expresar en términos de polinomios de Bell de la siguiente manera:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

De manera similar, una versión en series de potencias de la fórmula de Faà di Bruno se puede expresar utilizando polinomios de Bell de la siguiente manera. Suponer

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}\qquad {\text{and}}\qquad g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}.}$

Entonces

${\displaystyle g(f(x))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sum _{k=0}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})}{n!}}x^{n}.}$

En particular, los polinomios de Bell completos aparecen en la exponencial de una serie de potencias formales :

${\displaystyle \exp \left(\sum _{i=1}^{\infty }{a_{i} \over i!}x^{i}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n}) \over n!}x^{n},}$

que también representa la función generadora exponencial de los polinomios de Bell completos en una secuencia fija de argumentos . ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$

Reversión de serie

Sean dos funciones f y g expresadas en series de potencias formales como

${\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}$

tal que g es la inversa composicional de f definida por g ( f ( w )) = w o f ( g ( z )) = z . Si f ₀ = 0 y f ₁ ≠ 0, entonces se puede dar una forma explícita de los coeficientes de la inversa en términos de polinomios de Bell como ^[8]

${\displaystyle g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{\bar {k}}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\qquad n\geq 2,}$

con y es el factorial ascendente, y ${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},}$ ${\displaystyle n^{\bar {k}}=n(n+1)\cdots (n+k-1)}$ ${\displaystyle g_{1}={\frac {1}{f_{1}}}.}$

Expansión asintótica de integrales de tipo Laplace

Considere la integral de la forma

${\displaystyle I(\lambda )=\int _{a}^{b}e^{-\lambda f(x)}g(x)\,\mathrm {d} x,}$

donde ( a , b ) es un intervalo real (finito o infinito), λ es un parámetro positivo grande y las funciones f y g son continuas. Sea f un mínimo único en [ a , b ] que ocurre en x  =  a . Supongamos que cuando x  →  a ⁺ ,

${\displaystyle f(x)\sim f(a)+\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(x-a)^{k+\alpha },}$

${\displaystyle g(x)\sim \sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(x-a)^{k+\beta -1},}$

con α > 0, Re( β ) > 0; y que la expansión de f puede diferenciarse por términos. Entonces, el teorema de Laplace-Erdelyi establece que la expansión asintótica de la integral I ( λ ) viene dada por

${\displaystyle I(\lambda )\sim e^{-\lambda f(a)}\sum _{n=0}^{\infty }\Gamma {\Big (}{\frac {n+\beta }{\alpha }}{\Big )}{\frac {c_{n}}{\lambda ^{(n+\beta )/\alpha }}}\qquad {\text{as}}\quad \lambda \rightarrow \infty ,}$

donde los coeficientes c _n son expresables en términos de a _n y b _n utilizando polinomios de Bell ordinarios parciales, según lo indicado por la fórmula Campbell-Froman-Walles-Wojdylo:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{\alpha a_{0}^{(n+\beta )/\alpha }}}\sum _{k=0}^{n}b_{n-k}\sum _{j=0}^{k}{\binom {-{\frac {n+\beta }{\alpha }}}{j}}{\frac {1}{a_{0}^{j}}}{\hat {B}}_{k,j}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k-j+1}).}$

Polinomios simétricos

El polinomio simétrico elemental y el polinomio simétrico de suma de potencias se pueden relacionar entre sí utilizando polinomios de Bell como: ${\displaystyle e_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}&={\frac {1}{n!}}\;B_{n}(p_{1},-1!p_{2},2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!p_{n})\\&={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\;B_{n}(-p_{1},-1!p_{2},-2!p_{3},-3!p_{4},\ldots ,-(n-1)!p_{n}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&={\frac {(-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!\;B_{n,k}(e_{1},2!e_{2},3!e_{3},\ldots ,(n-k+1)!e_{n-k+1})\\&=(-1)^{n}\;n\;\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\;{\hat {B}}_{n,k}(-e_{1},\dots ,-e_{n-k+1}).\end{aligned}}}$

Estas fórmulas permiten expresar los coeficientes de polinomios mónicos en términos de los polinomios de Bell de sus ceros. Por ejemplo, junto con el teorema de Cayley-Hamilton, conducen a la expresión del determinante de una matriz cuadrada A de n × n en términos de las trazas de sus potencias:

${\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),~\qquad {\text{where }}s_{k}=-(k-1)!\operatorname {tr} (A^{k}).}$

Índice de ciclo de grupos simétricos.

El índice de ciclo del grupo simétrico se puede expresar en términos de polinomios de Bell completos de la siguiente manera: ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.}$

Momentos y cumulantes

La suma

${\displaystyle \mu _{n}'=B_{n}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{n-k+1})}$

es el n ésimo momento bruto de una distribución de probabilidad cuyos primeros n cumulantes son κ ₁ , ..., κ _n . En otras palabras, el n- ésimo momento es el n- ésimo polinomio de Bell completo evaluado en los primeros n cumulantes. Asimismo, el enésimo acumulante se puede dar en términos de los momentos como

${\displaystyle \kappa _{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(\mu '_{1},\ldots ,\mu '_{n-k+1}).}$

Polinomios de Hermite

Los polinomios de Hermite se pueden expresar en términos de polinomios de Bell como

${\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}$

donde x _i = 0 para todo i > 2; permitiendo así una interpretación combinatoria de los coeficientes de los polinomios de Hermite. Esto se puede ver comparando la función generadora de los polinomios de Hermite.

${\displaystyle \exp \left(xt-{\frac {t^{2}}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$

con el de los polinomios de Bell.

Representación de secuencias polinomiales de tipo binomial.

Para cualquier secuencia a ₁ , a ₂ ,…, an _de escalares, sea

${\displaystyle p_{n}(x)=B_{n}(a_{1}x,\ldots ,a_{n}x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}.}$

Entonces esta secuencia polinomial es de tipo binomial , es decir, satisface la identidad binomial

${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)p_{n-k}(y).}$

Ejemplo: Para a ₁ = … = a _n = 1, los polinomios representan polinomios de Touchard . ${\displaystyle p_{n}(x)}$

De manera más general, tenemos este resultado:

Teorema: Todas las secuencias polinómicas de tipo binomial tienen esta forma.

Si definimos una serie de potencias formales

${\displaystyle h(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}x^{k},}$

entonces para todo n ,

${\displaystyle h^{-1}\left({d \over dx}\right)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).}$

Software

Los polinomios de Bell se implementan en:

• Mathematica como BellY
• Arce como incompletoBellB
• SageMath como bell_polynomial

Ver también

• matriz de campana
• Fórmula exponencial

Notas

1. Comtet 1974.
2. Cvijović 2011.
3. Alexeev, Pologova y Alekseyev 2017, secc. 4.2.
4. Bell 1934, identidad (5.1) en la p. 266.
5. Chou, WS-S.; Hsu, Leetsch C.; Shiue, Peter J.-S. (1 de junio de 2006). "Aplicación de la fórmula de Faà di Bruno en la caracterización de relaciones inversas". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 190 (1–2): 151–169. doi : 10.1016/j.cam.2004.12.041 .
6. Chu, Wenchang (19 de noviembre de 2021). "Polinomios de Bell y relaciones inversas no lineales". La Revista Electrónica de Combinatoria . 28 (4). doi : 10.37236/10390 . ISSN  1077-8926.
7. Comtet 1974, identidad [3l"] en la p. 136.
8. Charalambides 2002, pag. 437, ecuación (11.43).

Referencias

• Abbas, M.; Bouroubi, S. (2005). "Sobre nuevas identidades para el polinomio de Bell". Matemáticas discretas . 293 (1–3): 5–10. doi : 10.1016/j.disc.2004.08.023 . SEÑOR  2136048.
• Alexeev, N.; Pologova, A.; Alekseyev, MA (2017). "Números de Hultman generalizados y estructuras de ciclos de gráficos de puntos de interrupción". Revista de biología computacional . 24 (2): 93-105. arXiv : 1503.05285 . doi :10.1089/cmb.2016.0190. PMID  28045556. S2CID  9678733.
• Andrews, GE (1998). La teoría de las particiones . Biblioteca de Matemáticas de Cambridge (1ª ed. pbk). Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 204-211. ISBN 0-521-63766-X.
• Bell, et (1927-1928). "Polinomios de partición". Anales de Matemáticas . 29 (1/4): 38–46. doi :10.2307/1967979. JSTOR  1967979. SEÑOR  1502817.
• Bell, et al. (1934). "Polinomios exponenciales". Anales de Matemáticas . 35 (2): 258–277. doi :10.2307/1968431. JSTOR  1968431. SEÑOR  1503161.
• Boyadzhiev, KN (2009). "Polinomios exponenciales, números de Stirling y evaluación de algunas integrales gamma". Análisis abstracto y aplicado . 2009 : 1–18. arXiv : 0909.0979 . Código Bib : 2009AbApA2009....1B. doi : 10.1155/2009/168672 . S2CID  1608664.(contiene también una revisión elemental del concepto Polinomios de Bell)
• Charalambides, CA (2002). Combinatoria enumerativa . Chapman y Hall/CRC. pag. 632.ISBN​ 9781584882909.
• Comtet, L. (1974). Combinatoria avanzada: el arte de las expansiones finitas e infinitas. Dordrecht, Holanda / Boston, Estados Unidos: Reidel Publishing Company. Archivado desde el original el 1 de junio de 2017 . Consultado el 2 de julio de 2019 .
• Cvijović, D. (2011). "Nuevas identidades para los polinomios parciales de Bell" (PDF) . Letras de Matemática Aplicada . 24 (9): 1544-1547. doi :10.1016/j.aml.2011.03.043. S2CID  45311678. Archivado (PDF) desde el original el 9 de marzo de 2020 . Consultado el 5 de junio de 2020 .
• Griffiths, M. (2012). "Familias de secuencias de una clase de sumas multinomiales". Diario de secuencias enteras . 15 : Artículo 12.1.8. SEÑOR  2872465. Archivado desde el original el 2 de mayo de 2014 . Consultado el 27 de junio de 2012 .
• Kruchinin, VV (2011). "Derivación de polinomios de Bell de segundo tipo". arXiv : 1104.5065 [matemáticas.CO].
• Noschese, S.; Ricci, PE (2003). "Diferenciación de funciones compuestas multivariables y polinomios de Bell". Revista de análisis y aplicaciones computacionales . 5 (3): 333–340. doi :10.1023/A:1023227705558. S2CID  118361207.
• Romano, S. (2013). El cálculo umbral . Publicaciones de Dover . pag. 208.ISBN​ 9780486153421.
• Voinov, VG; Nikulin, MS (1994). "Sobre series de potencias, polinomios de Bell, problema de Hardy-Ramanujan-Rademacher y sus aplicaciones estadísticas". Kybernética . 30 (3): 343–358. ISSN  0023-5954.