El teorema de Viviani , llamado así en honor a Vincenzo Viviani , establece que la suma de las distancias más cortas desde cualquier punto interior a los lados de un triángulo equilátero es igual a la longitud de la altura del triángulo . [1] Es un teorema comúnmente empleado en varias competiciones de matemáticas, exámenes de matemáticas de la escuela secundaria y tiene una amplia aplicabilidad a muchos problemas en el mundo real.
Esta prueba depende de la proposición fácilmente demostrable de que el área de un triángulo es la mitad de su base por su altura, es decir, la mitad del producto de un lado por la altura de ese lado. [2]
Sea ABC un triángulo equilátero cuya altura es h y cuyo lado es a .
Sea P un punto cualquiera dentro del triángulo y s, t, u las distancias perpendiculares de P a los lados. Traza una línea desde P hasta cada uno de A, B y C, formando tres triángulos PAB, PBC y PCA.
Ahora bien, las áreas de estos triángulos son , , y . Ocupan exactamente el triángulo que los encierra, por lo que la suma de estas áreas es igual al área del triángulo que los encierra. Por lo tanto, podemos escribir:
y por lo tanto
QED
También se cumple lo inverso: si la suma de las distancias desde un punto interior de un triángulo a los lados es independiente de la ubicación del punto, el triángulo es equilátero. [3]
El teorema de Viviani significa que las líneas paralelas a los lados de un triángulo equilátero dan coordenadas para hacer gráficos ternarios , como diagramas de inflamabilidad .
De manera más general, permiten dar coordenadas en un símplex regular de la misma manera.
La suma de las distancias desde cualquier punto interior de un paralelogramo hasta los lados es independiente de la ubicación del punto. La inversa también es válida: si la suma de las distancias desde un punto en el interior de un cuadrilátero hasta los lados es independiente de la ubicación del punto, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. [3]
El resultado se generaliza a cualquier 2 n -gono con lados opuestos paralelos. Como la suma de las distancias entre cualquier par de lados opuestos paralelos es constante, se deduce que la suma de todas las sumas por pares entre los pares de lados paralelos también es constante. En general, lo inverso no es cierto, ya que el resultado es válido para un hexágono equilátero , que no necesariamente tiene lados opuestos paralelos.
Si un polígono es regular (tanto equiángulo como equilátero ), la suma de las distancias a los lados desde un punto interior es independiente de la ubicación del punto. En concreto, es igual a n por la apotema , donde n es el número de lados y la apotema es la distancia desde el centro hasta un lado. [3] [4] Sin embargo, la inversa no se cumple; el paralelogramo no cuadrado es un contraejemplo . [3]
La suma de las distancias desde un punto interior a los lados de un polígono equiangular no depende de la ubicación del punto. [1]
Una condición necesaria y suficiente para que un polígono convexo tenga una suma constante de distancias desde cualquier punto interior a los lados es que existan tres puntos interiores no colineales con sumas de distancias iguales. [1]
La suma de las distancias desde cualquier punto del interior de un poliedro regular hasta los lados es independiente de la posición del punto. Sin embargo, la inversa no se cumple, ni siquiera para los tetraedros . [3]
