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Líneas concurrentes

Las líneas A, B y C son concurrentes en Y.

En geometría , las líneas en un plano o espacio de dimensiones superiores son concurrentes si se intersecan en un solo punto .

El conjunto de todas las rectas que pasan por un punto se llama lápiz , y su intersección común se llama vértice del lápiz.

En cualquier espacio afín (incluido un espacio euclidiano ) el conjunto de líneas paralelas a una línea dada (que comparten la misma dirección ) también se llama lápiz , y el vértice de cada lápiz de líneas paralelas es un punto distinto en el infinito ; incluir estos puntos da como resultado un espacio proyectivo en el que cada par de líneas tiene una intersección.

Ejemplos

Triángulos

En un triángulo , cuatro tipos básicos de conjuntos de líneas concurrentes son alturas , bisectrices de ángulos , medianas y bisectrices perpendiculares :

Otros conjuntos de líneas asociadas a un triángulo también son concurrentes. Por ejemplo:

Cuadriláteros

Hexágonos

Polígonos regulares

Círculos

Elipses

Hipérbolas

Tetraedros

Álgebra

Según el teorema de Rouché-Capelli , un sistema de ecuaciones es consistente si y solo si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz aumentada (la matriz de coeficientes aumentada con una columna de términos de intersección), y el sistema tiene una solución única si y solo si ese rango común es igual al número de variables. Por lo tanto, con dos variables, las k líneas en el plano, asociadas con un conjunto de k ecuaciones, son concurrentes si y solo si el rango de la matriz de coeficientes k × 2 y el rango de la matriz aumentada k × 3 son ambos 2. En ese caso, solo dos de las k ecuaciones son independientes , y el punto de concurrencia se puede encontrar resolviendo simultáneamente dos ecuaciones cualesquiera mutuamente independientes para las dos variables.

Geometría proyectiva

En geometría proyectiva , en dos dimensiones la concurrencia es el dual de la colinealidad ; en tres dimensiones, la concurrencia es el dual de la coplanaridad .

Referencias

  1. ^ Dunn, JA, y Pretty, JE, "Dividir un triángulo en dos", Mathematical Gazette 56, mayo de 1972, 105-108.
  2. ^ Kodokostas, Dimitrios, "Ecualizadores de triángulos", Mathematics Magazine 83, abril de 2010, págs. 141-146.
  3. ^ ab Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], Geometría universitaria: Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2.ª ed.), Courier Dover, págs. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC  78063045
  4. ^ Andreescu, Titu y Enescu, Bogdan, Tesoros de la Olimpíada de Matemáticas , Birkhäuser, 2006, págs.
  5. ^ Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cuadriláteros cíclicos", Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX , New Mathematical Library, vol. 37, Cambridge University Press, págs. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Maltitud". MundoMatemático .
  7. ^ Cartensen, Jens, "Acerca de los hexágonos", Mathematical Spectrum 33(2) (2000-2001), 37-40.
  8. ^ Nikolaos Dergiades, "Teorema de Dao sobre seis circuncentros asociados a un hexágono cíclico", Forum Geometricorum 14, 2014, 243--246. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html
  9. ^ Leung, Kam-tim; y Suen, Suk-nam; "Vectores, matrices y geometría", Hong Kong University Press, 1994, págs. 53-54

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