En geometría , el teorema de Brianchon es un teorema que establece que cuando un hexágono está circunscrito a una sección cónica , sus diagonales principales (las que conectan vértices opuestos) se encuentran en un único punto. Recibe su nombre en honor a Charles Julien Brianchon (1783–1864).
Sea un hexágono formado por seis rectas tangentes de una sección cónica . Entonces las rectas (diagonales prolongadas que unen cada una vértices opuestos) se cortan en un único punto , el punto de Brianchon . [1] : p. 218 [2]
El recíproco polar y el dual proyectivo de este teorema dan el teorema de Pascal .
En cuanto al teorema de Pascal, también existen degeneraciones para el teorema de Brianchon: supongamos que coinciden dos tangentes vecinas. Su punto de intersección se convierte en un punto de la cónica. En el diagrama coinciden tres pares de tangentes vecinas. Este procedimiento da como resultado un enunciado sobre las inelipses de los triángulos. Desde un punto de vista proyectivo, los dos triángulos y se encuentran en perspectiva con centro . Esto significa que existe una colineación central, que proyecta uno sobre el otro triángulo. Pero solo en casos especiales esta colineación es una escala afín. Por ejemplo, para una inelipse de Steiner, donde el punto de Brianchon es el baricentro.
El teorema de Brianchon es cierto tanto en el plano afín como en el plano proyectivo real . Sin embargo, su enunciado en el plano afín es en cierto sentido menos informativo y más complicado que en el plano proyectivo . Consideremos, por ejemplo, cinco rectas tangentes a una parábola . Estas pueden considerarse lados de un hexágono cuyo sexto lado es la recta en el infinito , pero no hay ninguna recta en el infinito en el plano afín. En dos casos, una recta desde un vértice (inexistente) hasta el vértice opuesto sería una recta paralela a una de las cinco rectas tangentes. Por lo tanto, el teorema de Brianchon enunciado solo para el plano afín tendría que enunciarse de forma diferente en tal situación.
El dual proyectivo del teorema de Brianchon tiene excepciones en el plano afín pero no en el plano proyectivo.
El teorema de Brianchon se puede demostrar mediante la idea de eje radical o reciprocidad. Para demostrarlo, se toma una longitud arbitraria (MN) y se la lleva sobre las tangentes que parten de los puntos de contacto: PL = RJ = QH = MN, etc. Se trazan los círculos a, b, c tangentes a los lados opuestos del hexágono en los puntos creados (H, W), (J, V) y (L, Y) respectivamente. Se ve fácilmente que las líneas concurrentes coinciden con los ejes radicales ab, bc, ca respectivamente, de los tres círculos tomados por pares. Por lo tanto, O coincide con el centro radical de estos tres círculos.
El teorema toma formas particulares en el caso de pentágonos circunscriptibles, por ejemplo, cuando R y Q tienden a coincidir con F, un caso en el que AFE se transforma en la tangente en F. Luego, tomando otra identificación similar de los puntos T, C y U, obtenemos un teorema correspondiente para cuadrángulos.
