Inelipse

Elipse tangente a todos los lados de un triángulo

Ejemplo de una inelipse

En geometría de triángulos , una elipse inscrita es una elipse que toca los tres lados de un triángulo . El ejemplo más simple es la circunferencia inscrita . Otras elipses inscritas importantes son la elipse inscrita de Steiner , que toca el triángulo en los puntos medios de sus lados, la elipse inscrita de Mandart y la elipse inscrita de Brocard (ver la sección de ejemplos). Para cualquier triángulo existe un número infinito de elipses inscritas.

La inelipse de Steiner juega un papel especial: su área es la mayor de todas las inelipses.

Como una sección cónica no degenerada está determinada de forma única por cinco elementos de los conjuntos de vértices y tangentes, en un triángulo cuyos tres lados se dan como tangentes, se pueden especificar únicamente los puntos de contacto de dos lados. El tercer punto de contacto queda entonces determinado de forma única.

Representaciones paramétricas, centro, diámetros conjugados

La elipse de un triángulo está determinada únicamente por los vértices del triángulo y dos puntos de contacto . ${\displaystyle U,V}$

La elipse del triángulo con vértices

${\displaystyle O=(0,0),\;A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2})}$

y puntos de contacto

${\displaystyle U=(u_{1},u_{2}),\;V=(v_{1},v_{2})}$

en y respectivamente pueden describirse mediante la representación paramétrica racional ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle OB}$

• ${\displaystyle \left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ ,}$

donde están determinados únicamente por la elección de los puntos de contacto: ${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle a={\frac {1}{s-1}},\ u_{i}=sa_{i},\quad b={\frac {1}{t-1}},\ v_{i}=tb_{i}\;,\ 0<s,t<1\;.}$

El tercer punto de contacto es

${\displaystyle W=\left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\right)\;.}$

El centro de la elipse es

${\displaystyle M={\frac {ab}{ab-1}}\left({\frac {u_{1}+v_{1}}{2}},{\frac {u_{2}+v_{2}}{2}}\right)\;.}$

Los vectores

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {ab}{ab-1}}}\;(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;}$

son dos semidiámetros conjugados y la inelipse tiene la representación paramétrica trigonométrica más común

• ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {OM}}+{\vec {f}}_{1}\cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\sin \varphi \;.}$

Punta Brianchon ${\displaystyle K}$

El punto de Brianchon de la inelipse (punto común de las líneas ) es ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\overline {AV}},{\overline {BU}},{\overline {OW}}}$

${\displaystyle K:\left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+1}}\right)\ .}$

Variar es una opción fácil para prescribir los dos puntos de contacto . Los límites dados para garantizan que los puntos de contacto se encuentran en los lados del triángulo. Proporcionan los límites . ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle -\infty <a,b<-1}$

Observación: Los parámetros no son los semiejes de la elipse ni las longitudes de los dos lados. ${\displaystyle a,b}$

Ejemplos

Mandart en elipse

Elipse de Steiner

Porque los puntos de contacto son los puntos medios de los lados y la inelipse es la inelipse de Steiner (su centro es el baricentro del triángulo). ${\displaystyle s=t={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle U,V,W}$

En círculo

Para obtener el incírculo del triángulo con centro ${\displaystyle s={\tfrac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|}},\;t={\tfrac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OB|}}}$

${\displaystyle {\vec {OM}}={\frac {|OB|{\vec {OA}}+|OA|{\vec {OB}}}{|OA|+|OB|+|AB|}}\;.}$

Mandart en elipse

La elipse invertida es la elipse invertida de Mandart del triángulo. Toca los lados en los puntos de contacto de las circunferencias exvertidas (ver diagrama). ${\displaystyle s={\tfrac {|OA|-|OB|+|AB|}{2|OA|}},\;t={\tfrac {-|OA|+|OB|+|AB|}{2|OB|}}}$

Brocard en elipse

Brocard en elipse

Se obtiene la inelipse de Brocard , que está determinada únicamente por su punto de Brianchon dado en coordenadas trilineales . ${\displaystyle \ s={\tfrac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|AB|^{2}}}\;,\quad t={\tfrac {|OA|^{2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;}$ ${\displaystyle \ K:(|OB|:|OA|:|AB|)\ }$

Derivaciones de los enunciados

Determinación de la inelipse mediante la solución del problema para una hipérbola en un plano - y una transformación adicional de la solución en el plano x - y . es el centro de la inelipse buscada y dos diámetros conjugados. En ambos planos los puntos esenciales se asignan con los mismos símbolos. es la recta en el infinito del plano x - y . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D_{1}D_{2},\;E_{1}E_{2}}$ ${\displaystyle g_{\infty }}$

Nuevas coordenadas

Para demostrar los enunciados se considera la tarea de manera proyectiva e introducen nuevas coordenadas no homogéneas convenientes de modo que la sección cónica buscada aparezca como una hipérbola y los puntos se conviertan en los puntos en el infinito de los nuevos ejes de coordenadas. Los puntos se describirán en el nuevo sistema de coordenadas por y la línea correspondiente tiene la ecuación . (A continuación se verá que tienen de hecho el mismo significado introducido en el enunciado anterior.) Ahora se busca una hipérbola con los ejes de coordenadas como asíntotas, que toque la línea . Esta es una tarea fácil. Mediante un cálculo simple se obtiene la hipérbola con la ecuación . Toca la línea en el punto . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2})}$ ${\displaystyle A=[a,0],B=[0,b]}$ ${\displaystyle {\frac {\xi }{a}}+{\frac {\eta }{b}}=1}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle \eta ={\frac {ab}{4\xi }}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle W=[{\tfrac {a}{2}},{\tfrac {b}{2}}]}$

Transformación de coordenadas

La transformación de la solución en el plano x - y se realizará utilizando coordenadas homogéneas y la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&0\\u_{2}&v_{2}&0\\1&1&1\end{bmatrix}}\quad }$.

Se asigna un punto a ${\displaystyle [x_{1},x_{2},x_{3}]}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&0\\u_{2}&v_{2}&0\\1&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}x_{1}+v_{1}x_{2}\\u_{2}x_{1}+v_{2}x_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}\end{pmatrix}}\rightarrow \left({\frac {u_{1}x_{1}+v_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\;,\;{\frac {u_{2}x_{1}+v_{2}x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\right),\quad {\text{if }}x_{1}+x_{2}+x_{3}\neq 0.}$

Un punto del plano - se representa mediante el vector columna (ver coordenadas homogéneas ). Un punto en el infinito se representa mediante . ${\displaystyle [\xi ,\eta ]}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle [\xi ,\eta ,1]^{T}}$ ${\displaystyle [\cdots ,\cdots ,0]^{T}}$

Transformación de coordenadas de puntos esenciales

${\displaystyle U:\ [1,0,0]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1},u_{2})\ ,\quad V:\ [0,1,0]^{T}\ \rightarrow \ (v_{1},v_{2})\ ,}$

${\displaystyle O:\ [0,0]\ \rightarrow \ (0,0)\ ,\quad A:\ [a,0]\rightarrow \ (a_{1},a_{2})\ ,\quad B:\ [0,b]\rightarrow \ (b_{1},b_{2})\ ,}$

(Se debe tener en cuenta: ver arriba.) ${\displaystyle \ a={\tfrac {1}{s-1}},\ u_{i}=sa_{i},\quad b={\tfrac {1}{t-1}},\ v_{i}=tb_{i}\;}$

${\displaystyle g_{\infty }:\xi +\eta +1=0\ }$es la ecuación de la recta en el infinito del plano x - y ; su punto en el infinito es . ${\displaystyle [1,-1,0]^{T}}$

${\displaystyle [1,-1,{\color {red}0}]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2},{\color {red}0})^{T}}$

Por lo tanto, el punto en el infinito de (en el plano - ) se proyecta sobre un punto en el infinito del plano x - y . Esto significa: Las dos tangentes de la hipérbola, que son paralelas a , también son paralelas en el plano x - y . Sus puntos de contacto son ${\displaystyle g_{\infty }}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle g_{\infty }}$

${\displaystyle D_{i}:\left[{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}},{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}}\right]\ \rightarrow \ {\frac {1}{2}}{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{1\pm {\sqrt {ab}}}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}),\;}$

Como las tangentes de la elipse en los puntos son paralelas, la cuerda es un diámetro y su punto medio es el centro de la elipse. ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ ${\displaystyle D_{1}D_{2}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M:\ {\frac {1}{2}}{\frac {ab}{ab-1}}\left(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}\right)\;.}$

Se puede comprobar fácilmente que tiene las coordenadas - ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \ M:\;\left[{\frac {-ab}{2}},{\frac {-ab}{2}}\right]\;.}$

Para determinar el diámetro de la elipse, que es conjugada a , en el plano - hay que determinar los puntos comunes de la hipérbola con la recta que pasa paralela a las tangentes (su ecuación es ). Se obtiene . Y en coordenadas x - y : ${\displaystyle D_{1}D_{2}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle E_{1},E_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi +\eta +ab=0}$ ${\displaystyle E_{i}:\left[{\tfrac {-ab\pm {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}},{\tfrac {-ab\mp {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}}\right]}$

${\displaystyle \ E_{i}={\frac {1}{2}}{\frac {ab}{ab-1}}\left(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}\right)\pm {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab(ab-1)}}{ab-1}}\left(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2}\right)\;,}$

A partir de los dos diámetros conjugados se pueden obtener los dos semidiámetros conjugados vectoriales ${\displaystyle D_{1}D_{2},E_{1}E_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {f}}_{1}&={\vec {MD_{1}}}={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})\\[6pt]{\vec {f}}_{2}&={\vec {ME_{1}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {ab}{ab-1}}}\;(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;\end{aligned}}}$

y al menos la representación paramétrica trigonométrica de la inelipse:

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {OM}}+{\vec {f}}_{1}\cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\sin \varphi \;.}$

De manera análoga al caso de una elipse de Steiner, se pueden determinar los semiejes, la excentricidad, los vértices, una ecuación en coordenadas x - y y el área de la inelipse.

El tercer punto de contacto es : ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle AB}$

${\displaystyle W:\left[{\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\right)\;.}$

El punto de Brianchon de la inelipse es el punto común de las tres rectas . En el plano - estas rectas tienen las ecuaciones: . Por lo tanto el punto tiene las coordenadas: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\overline {AV}},{\overline {BU}},{\overline {OW}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi =a\;,\;\eta =b\;,\;a\eta -b\xi =0}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K:\ [a,b]\ \rightarrow \ \left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+1}}\right)\ .}$

La transformación de la hipérbola produce la representación paramétrica racional de la inelipse: ${\displaystyle \ \eta ={\frac {ab}{4\xi }}}$

${\displaystyle \left[\xi ,{\frac {ab}{4\xi }}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ .}$

En círculo

Circunferencia inscrita de un triangulo

Para el círculo inscrito existe , que es equivalente a ${\displaystyle |OU|=|OV|}$

(1) Adicionalmente ${\displaystyle \;s|OA|=t|OB|\;.\ }$

(2) . (ver diagrama) ${\displaystyle \;(1-s)|OA|+(1-t)|OB|=|AB|}$

Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene ${\displaystyle s,t}$

(3) ${\displaystyle \;s={\frac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|}},\;t={\frac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OB|}}\;.}$

Para obtener las coordenadas del centro primero se calcula utilizando (1) y (3)

${\displaystyle 1-{\frac {1}{ab}}=1-(s-1)(t-1)=-st+s+t=\cdots ={\frac {s}{2(|OB|}}(|OA|+|OB|+|AB|)\;.}$

Por eso

${\displaystyle {\vec {OM}}={\frac {|OB|}{s(|OA|+|OB|+|AB|)}}\;(s{\vec {OA}}+t{\vec {OB}})=\cdots ={\frac {|OB|{\vec {OA}}+|OA|{\vec {OB}}}{|OA|+|OB|+|AB|}}\;.}$

Mandart en elipse

Los parámetros para la elipse de Mandart se pueden recuperar de las propiedades de los puntos de contacto (ver de: Ankreis). ${\displaystyle s,t}$

Brocard en elipse

La inelipse de Brocard de un triángulo está determinada únicamente por su punto de Brianchon dado en coordenadas trilineales . ^[1] Cambiando las coordenadas trilineales a la representación más conveniente (ver coordenadas trilineales ) se obtiene . Por otro lado, si se dan los parámetros de una inelipse, se calcula a partir de la fórmula anterior para : . Igualando ambas expresiones para y resolviendo para se obtiene ${\displaystyle \ K:(|OB|:|OA|:|AB|)\ }$ ${\displaystyle \ K:k_{1}{\vec {OA}}+k_{2}{\vec {OB}}\ }$ ${\displaystyle \ k_{1}={\tfrac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}},\;k_{2}={\tfrac {|OA|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\ }$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ k_{1}={\tfrac {s(t-1)}{st-1}},\;k_{2}={\tfrac {t(s-1)}{st-1}}\ }$ ${\displaystyle k_{1},k_{2}}$ ${\displaystyle s,t}$

${\displaystyle s={\frac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|AB|^{2}}}\;,\quad t={\frac {|OA|^{2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;.}$

Inelipse con el área mayor

• La inelipse de Steiner tiene la mayor área de todas las inelipses de un triángulo.

Prueba

Del teorema de Apolonio sobre las propiedades de los semidiámetros conjugados de una elipse se obtiene: ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$

${\displaystyle F=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|\quad }$(ver artículo sobre la elipse de Steiner ).

Para la inelipse con parámetros se obtiene ${\displaystyle s,t}$

${\displaystyle \det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})={\frac {1}{4}}{\frac {ab}{(ab-1)^{3/2}}}\det(s{\vec {a}}+t{\vec {b}},s{\vec {a}}-t{\vec {b}})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {s{\sqrt {s-1}}\;t{\sqrt {t-1}}}{(1-(s-1)(t-1))^{3/2}}}\det({\vec {b}},{\vec {a}})\;,}$

donde . Para omitir las raíces, basta investigar los extremos de la función : ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),\;{\vec {b}}=(b_{1},b_{2}),\;{\vec {u}}=(u_{1},u_{2}),{\vec {v}}=(v_{1},v_{2}),\;{\vec {u}}=s{\vec {a}},\;{\vec {v}}=t{\vec {b}}}$
${\displaystyle G(s,t)={\tfrac {s^{2}(s-1)\;t^{2}(t-1)}{(1-(s-1)(t-1))^{3}}}}$

${\displaystyle G_{s}=0\ \rightarrow \ 3s-2+2(s-1)(t-1)=0\;.}$

Porque del intercambio de s y t se obtiene : ${\displaystyle G(s,t)=G(t,s)}$

${\displaystyle G_{t}=0\ \rightarrow \ 3t-2+2(s-1)(t-1)=0\;.}$

Resolviendo ambas ecuaciones para s y t obtenemos

${\displaystyle s=t={\frac {1}{2}}\;,\quad }$cuales son los parámetros de la inelipse de Steiner.

Tres elipses de un triángulo que se tocan entre sí

Véase también

• Circuncónico e incónico

Referencias

1. Imre Juhász: Representación basada en puntos de control de elipses de triángulos , Annales Mathematicae et Informaticae 40 (2012) págs. 37–46, p.44

Enlaces externos

• Darij Grinberg: Über einige Sätze und Aufgaben aus der Dreiecksgeometrie
• Circunconico en MathWorld
• Inconic en MathWorld