Punto de Longchamps

Ortocentro del triángulo anticomplementario de un triángulo

El punto de Longchamps L del triángulo △ ABC , formado como la reflexión del ortocentro H sobre el circuncentro O o como el ortocentro del triángulo anticomplementario △ A'B'C'

En geometría , el punto de Longchamps de un triángulo es un centro de triángulo que lleva el nombre del matemático francés Gaston Albert Gohierre de Longchamps . Es la reflexión del ortocentro del triángulo respecto del circuncentro . ^[1]

Definición

Deje que el triángulo dado tenga vértices , y , opuestos a los lados respectivos , y , como es la notación estándar en geometría de triángulos. En el artículo de 1886 en el que introdujo este punto, de Longchamps lo definió inicialmente como el centro de un círculo ortogonal a los tres círculos , y , donde está centrado en con radio y los otros dos círculos están definidos simétricamente. Luego, De Longchamps también demostró que el mismo punto, ahora conocido como punto de Longchamps, puede definirse de manera equivalente como el ortocentro del triángulo anticomplementario de , y que es el reflejo del ortocentro de alrededor del circuncentro. ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta _{a}}$ ${\displaystyle \Delta _{b}}$ ${\displaystyle \Delta _{c}}$ ${\displaystyle \Delta _{a}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABC}$

El círculo de Steiner de un triángulo es concéntrico con el círculo de nueve puntos y tiene un radio de 3/2 del circunradio del triángulo; el punto de Longchamps es el centro homotético del círculo de Steiner y del circuncírculo. ^[3]

Propiedades adicionales

Como reflejo del ortocentro alrededor del circuncentro, el punto de Longchamps pertenece a la línea que pasa por ambos puntos, que es la línea de Euler del triángulo dado. Por tanto, es colineal con todos los demás centros de triángulos sobre la recta de Euler, que junto con el ortocentro y el circuncentro incluyen el centroide y el centro del círculo de nueve puntos . ^{[1] [3] [4]}

El punto de Longchamp también es colineal, a lo largo de una recta diferente, con el incentro y el punto de Gergonne de su triángulo. ^{[1] [5]} Los tres círculos centrados en , y , con radios , y respectivamente (donde está el semiperímetro ) son mutuamente tangentes, y hay dos círculos más tangentes a los tres, los círculos de Soddy interior y exterior. ; Los centros de estos dos círculos también se encuentran en la misma línea que el punto de Longchamp y el incentro. ^{[1] [3]} El punto de Longchamp es el punto de concurrencia de esta recta con la recta de Euler y con otras tres rectas definidas de forma similar a la recta que pasa por el incentro, pero utilizando en su lugar los tres excentros del triángulo. ^{[3] [5]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle s-a}$ ${\displaystyle s-b}$ ${\displaystyle s-c}$ ${\displaystyle s}$

La cúbica de Darboux puede definirse a partir del punto de Longchamps, como el lugar geométrico de puntos tales que , el conjugado isogonal de y el punto de Longchamps son colineales. Es la única curva cúbica invariante de un triángulo que es a la vez isogonalmente autoconjugada y centralmente simétrica; su centro de simetría es el circuncentro del triángulo. ^[6] El propio punto de Longchamps se encuentra en esta curva, al igual que su reflejo en el ortocentro. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Referencias

1. Kimberling, Clark , "X (20) = punto de Longchamps", Enciclopedia de centros de triángulos.
2. de Longchamps, G. (1886), "Sur un nouveau cercle remarquable du plan du Triangle", Journal de Mathématiques spéciales , 2. Sér. (en francés), 5 : 57–60. Véase especialmente la sección 4, "détermination du centre de Δ", págs. 58 y 59.
3. Vandeghen, A. (1964), "Notas matemáticas: los círculos de Soddy y el punto de un triángulo de De Longchamps", The American Mathematical Monthly , 71 (2): 176–179, doi :10.2307/2311750, JSTOR  2311750, SEÑOR  1532529.
4. Coxeter, HSM (1995), "Algunas aplicaciones de coordenadas trilineales", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 226/228: 375–388, doi : 10.1016/0024-3795(95)00169-R , MR  1344576. Véase en particular la Sección 5, "Seis puntos notables de la línea de Euler", págs. 380-383.
5. Longuet-Higgins, Michael (2000), "Un cuádruple punto de concurrencia en la línea de Euler de un triángulo", The Mathematical Intelligencer , 22 (1): 54–59, doi :10.1007/BF03024448, MR  1745563, S2CID  123022896.
6. Gibert, Bernard, "K004 Darboux cúbico = pK(X6,X20)", Cúbicos en el plano del triángulo , consultado el 6 de septiembre de 2012.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Punto de Longchamps". MundoMatemático .