Circuncónico e incónico

Sección cónica que pasa por los vértices de un triángulo o es tangente a sus lados.

En geometría euclidiana , una circuncónica es una sección cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo , ^[1] y una incónica es una sección cónica inscrita en los lados, posiblemente prolongados , de un triángulo. ^[2]

Supóngase que A, B, C son puntos distintos no colineales, y sea △ ABC el triángulo cuyos vértices son A, B, C. Siguiendo la práctica común, A no solo denota el vértice sino también el ángulo ∠ BAC en el vértice A , y de manera similar para B y C como ángulos en △ ABC . Sean las longitudes de los lados de △ ABC . ${\displaystyle a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|,}$

En coordenadas trilineales , la circuncónica general es el lugar geométrico de un punto variable que satisface una ecuación ${\displaystyle X=x:y:z}$

${\displaystyle uyz+vzx+wxy=0,}$

para algún punto u  : v  : w . El conjugado isogonal de cada punto X en la circuncónica, distinto de A, B, C , es un punto en la recta

${\displaystyle ux+vy+wz=0.}$

Esta línea corta el círculo circunscrito de △ ABC en 0, 1 o 2 puntos según que la circuncónica sea una elipse, una parábola o una hipérbola.

La incónica general es tangente a las tres líneas laterales de △ ABC y está dada por la ecuación

${\displaystyle u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0.}$

Centros y rectas tangentes

Circunconico

El centro de la circuncónica general es el punto

${\displaystyle u(-au+bv+cw):v(au-bv+cw):w(au+bv-cw).}$

Las rectas tangentes a la circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,

${\displaystyle {\begin{aligned}wv+vz&=0,\\uz+wx&=0,\\vx+uy&=0.\end{aligned}}}$

Inconico

El centro de la incónica general es el punto

${\displaystyle cv+bw:aw+cu:bu+av.}$

Las líneas tangentes a la cónica general son las líneas laterales de △ ABC , dadas por las ecuaciones x = 0 , y = 0 , z = 0 .

Otras características

Circunconico

• Cada cónica circunscrita no circular se encuentra con el círculo circunscrito de △ ABC en un punto distinto de A, B, C , a menudo llamado el cuarto punto de intersección , dado por coordenadas trilineales.

${\displaystyle (cx-az)(ay-bx):(ay-bx)(bz-cy):(bz-cy)(cx-az)}$

• Si es un punto en la circuncónica general, entonces la línea tangente a la cónica en P está dada por ${\displaystyle P=p:q:r}$

${\displaystyle (vr+wq)x+(wp+ur)y+(uq+vp)z=0.}$

• La circuncónica general se reduce a una parábola si y sólo si

${\displaystyle u^{2}a^{2}+v^{2}b^{2}+w^{2}c^{2}-2vwbc-2wuca-2uvab=0,}$

y a una hipérbola rectangular si y sólo si

${\displaystyle u\cos A+v\cos B+w\cos C=0.}$

• De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el baricentro del de mayor área coincide con el centro de la elipse. ^{[3] : p.147} La elipse dada, que pasa por los tres vértices de este triángulo y tiene como centro el baricentro del triángulo, se llama circunelipse de Steiner del triángulo .

Inconico

• La incónica general se reduce a una parábola si y sólo si

${\displaystyle ubc+vca+wab=0,}$

en cuyo caso es tangente externamente a uno de los lados del triángulo y es tangente a las extensiones de los otros dos lados .

• Supóngase que y son puntos ${\displaystyle p_{1}:q_{1}:r_{1}}$distintos , ${\displaystyle p_{2}:q_{2}:r_{2}}$ y sea

${\displaystyle X=(p_{1}+p_{2}t):(q_{1}+q_{2}t):(r_{1}+r_{2}t).}$

Como el parámetro t varía entre los números reales , el lugar geométrico de X es una línea. Definir

${\displaystyle X^{2}=(p_{1}+p_{2}t)^{2}:(q_{1}+q_{2}t)^{2}:(r_{1}+r_{2}t)^{2}.}$

El lugar geométrico de X ² es la cónica, necesariamente una elipse , dada por la ecuación

${\displaystyle L^{4}x^{2}+M^{4}y^{2}+N^{4}z^{2}-2M^{2}N^{2}yz-2N^{2}L^{2}zx-2L^{2}M^{2}xy=0,}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=q_{1}r_{2}-r_{1}q_{2},\\M&=r_{1}p_{2}-p_{1}r_{2},\\N&=p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}.\end{aligned}}}$

• Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del triángulo si y sólo si el punto se encuentra en el interior del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo original. ^{[3] : p.139} Para un punto dado dentro de ese triángulo medial , la inelipse con su centro en ese punto es única. ^{[3] : p.142}
• La inelipse con el área más grande es la inelipse de Steiner , también llamada inelipse de punto medio, con su centro en el baricentro del triángulo . ^{[3] : p.145} En general, la relación entre el área de la inelipse y el área del triángulo, en términos de las coordenadas baricéntricas de suma unitaria ( α, β, γ ) del centro de la inelipse, es ^{[3] : p.143}

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},}$

que se maximiza por las coordenadas baricéntricas del centroide α = β = γ = ⅓ .

• Las líneas que unen los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes. ^{[3] : p.148}

Extensión a cuadriláteros

Todos los centros de las inelipses de un cuadrilátero dado caen sobre el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero. ^{[3] : p.136}

Ejemplos

• Circunconica
  • Circunferencia circunscrita , el único círculo que pasa por los tres vértices de un triángulo.
  • Elipse circunscrita de Steiner , la única elipse que pasa por los tres vértices de un triángulo y está centrada en el centroide del triángulo.
  • Hipérbola de Kiepert , la única cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo, su centroide y su ortocentro.
  • Hipérbola de Jeřábek , una hipérbola rectangular centrada en el círculo de nueve puntos de un triángulo y que pasa por los tres vértices del triángulo, así como por su circuncentro , ortocentro y varios otros centros notables.
  • Hipérbola de Feuerbach , una hipérbola rectangular que pasa por el ortocentro de un triángulo, el punto Nagel y varios otros puntos notables, y tiene centro en el círculo de nueve puntos.
• Inconicos
  • Incírculo , el único círculo que es tangente internamente a los tres lados de un triángulo.
  • Elipse de Steiner , la única elipse que es tangente a los tres lados de un triángulo en sus puntos medios.
  • Elipse inelipse de Mandart , la única elipse tangente a los lados de un triángulo en los puntos de contacto de sus excírculos.
  • Parábola de Kiepert
  • Parábola Yff

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Circumconic". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html
2. Weisstein, Eric W. "Inconic". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.html
3. Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos, 1979.

Enlaces externos

• Circunconico en MathWorld
• Inconic en MathWorld