Punto de Steiner (triángulo)

Tipo de centro de triangulo

En geometría de triángulos , el punto de Steiner es un punto particular asociado con un triángulo . ^[1] Es un centro de un triángulo ^[2] y se designa como el centro X(99) en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling . Jakob Steiner (1796-1863), matemático suizo, describió este punto en 1826. Joseph Neuberg le dio el nombre de Steiner al punto en 1886. ^{[2] [3]}

Definición

Construcción de la punta Steiner.

  Triángulo ABC

  Triángulo A'B'C' ( Triángulo de Brocard de ABC )

  Circunferencia del triángulo ABC , centrada en O

  Círculo de Brocard del triángulo ABC

Líneas que concurren en el punto de Steiner:

  L _A : línea que pasa por A paralela a B'C'

  L _B : línea que pasa por B paralela a C'A'

  L _C : línea que pasa por C paralela a A'B'

El punto de Steiner se define de la siguiente manera. (Esta no es la forma en que Steiner lo definió. ^[2] )

Sea ABC un triángulo cualquiera. Sea O el circuncentro y K el punto simediano del triángulo ABC . El círculo con diámetro OK es el círculo de Brocard del triángulo ABC . La línea que pasa por O perpendicular a la línea BC interseca el círculo de Brocard en otro punto A' . La línea que pasa por O perpendicular a la línea CA interseca el círculo de Brocard en otro punto B' . La línea que pasa por O perpendicular a la línea AB interseca el círculo de Brocard en otro punto C' . (El triángulo A'B'C' es el triángulo de Brocard del triángulo ABC .) Sea L _A la línea que pasa por A paralela a la línea B'C' , L _B la línea que pasa por B paralela a la línea C'A' y L _C la línea que pasa por C paralela a la línea A'B' . Entonces las tres líneas L _A , L _B y L _C son concurrentes . El punto de concurrencia es el punto de Steiner del triángulo ABC .

En la Enciclopedia de Centros de Triángulos, el punto Steiner se define de la siguiente manera:

Construcción alternativa del punto Steiner

Sea ABC un triángulo cualquiera. Sea O el circuncentro y K el punto simediano del triángulo ABC . Sea l _A la reflexión de la recta OK en la recta BC , l _B la reflexión de la recta OK en la recta CA y l _C la reflexión de la recta OK en la recta AB . Sean las rectas l _B y l _C intersecantes en A″ , las rectas l _C y l _A intersecantes en B″ y las rectas l _A y l _B intersecantes en C″ . Entonces las rectas AA″ , BB″ y CC″ son concurrentes. El punto de concurrencia es el punto de Steiner del triángulo ABC .

Coordenadas trilineales

Las coordenadas trilineales del punto Steiner se dan a continuación.

⁠ ⁠ ${\displaystyle bc/(b^{2}-c^{2}):ca/(c^{2}-a^{2}):ab/(a^{2}-b^{2})}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle =b^{2}c^{2}\csc(b-C):c^{2}a^{2}\csc(c-a):a^{2}b^{2}\csc(a-b)}$

Propiedades

1. La elipse circunscrita de Steiner del triángulo ABC , también llamada elipse de Steiner, es la elipse de menor área que pasa por los vértices A , B y C. El punto de Steiner del triángulo ABC se encuentra sobre la elipse circunscrita de Steiner del triángulo ABC .
2. El matemático canadiense Ross Honsberger enunció lo siguiente como una propiedad del punto de Steiner: El punto de Steiner de un triángulo es el centro de masas del sistema obtenido suspendiendo en cada vértice una masa igual a la magnitud del ángulo exterior en ese vértice. ^[4] El centro de masas de un sistema de este tipo no es, de hecho, el punto de Steiner, sino el centroide de curvatura de Steiner , que tiene las coordenadas trilineales . ^[5] Es el centro del triángulo designado como X(1115) en la Enciclopedia de centros de triángulos . ${\displaystyle \left({\frac {\pi -A}{a}}:{\frac {\pi -B}{b}}:{\frac {\pi -C}{c}}\right)}$
3. La línea de Simson del punto de Steiner de un triángulo ABC es paralela a la línea OK donde O es el circuncentro y K es el punto simediano del triángulo ABC .

Punto de alquitrán

La recta que pasa por A perpendicular a B'C' , la recta que pasa por B perpendicular a C'A' y la recta que pasa por C perpendicular a A'B' concurren en el punto de Tarry.

El punto de Tarry de un triángulo está estrechamente relacionado con el punto de Steiner del triángulo. Sea ABC un triángulo cualquiera. El punto de la circunferencia circunscrita del triángulo ABC diametralmente opuesto al punto de Steiner del triángulo ABC se denomina punto de Tarry del triángulo ABC . El punto de Tarry es un centro de un triángulo y se designa como el centro X(98) en la Enciclopedia de centros de triángulos . Las coordenadas trilineales del punto de Tarry se dan a continuación:

⁠ ⁠ ${\displaystyle \sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )=f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)}$

donde ω es el ángulo de Brocard del triángulo ABC

y ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(a,b,c)={\frac {bc}{b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}}}}$

De manera similar a la definición del punto Steiner, el punto de Tarry se puede definir de la siguiente manera:

Sea ABC un triángulo cualquiera. Sea A'B'C' el triángulo de Brocard del triángulo ABC . Sea L _A la recta que pasa por A perpendicular a la recta B'C' , L _B la recta que pasa por B perpendicular a la recta C'A' y L _C la recta que pasa por C perpendicular a la recta A'B' . Entonces las tres rectas L _A , L _B y L _C son concurrentes . El punto de concurrencia es el punto de Tarry del triángulo ABC .

Referencias

1. Paul E. Black. «Punto Steiner». Diccionario de algoritmos y estructuras de datos . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología de Estados Unidos . Consultado el 17 de mayo de 2012 .
2. Kimberling, Clark. "Steiner point" . Consultado el 17 de mayo de 2012 .
3. J. Neuberg (1886). "Sobre el punto de Steiner". Revista de matemáticas especiales : 29.
4. Honsberger, Ross (1965). Episodios de la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX . The Mathematical Association of America. págs. 119-124.
5. Eric W., Weisstein. "Centroide de curvatura de Steiner". MathWorld—A Wolfram Web Resource . Consultado el 17 de mayo de 2012 .