Triángulo isósceles

Triángulo con al menos dos lados congruentes

En geometría , un triángulo isósceles ( / aɪˈsɒsəl iːz / ) es un triángulo que tiene dos lados de igual longitud . A veces se especifica que tiene exactamente dos lados de igual longitud, y a veces que tiene al menos dos lados de igual longitud, esta última versión incluye así al triángulo equilátero como un caso especial . Los ejemplos de triángulos isósceles incluyen el triángulo rectángulo isósceles , el triángulo áureo y las caras de las bipirámides y ciertos sólidos catalanes .

El estudio matemático de los triángulos isósceles se remonta a las matemáticas del antiguo Egipto y de Babilonia . Los triángulos isósceles se han utilizado como decoración desde tiempos incluso anteriores y aparecen con frecuencia en la arquitectura y el diseño, por ejemplo, en los frontones y hastiales de los edificios.

Los dos lados iguales se llaman catetos y el tercer lado se llama base del triángulo. Las demás dimensiones del triángulo, como su altura, área y perímetro, se pueden calcular mediante fórmulas sencillas a partir de las longitudes de los catetos y la base. Todo triángulo isósceles tiene un eje de simetría a lo largo de la mediatriz de su base. Los dos ángulos opuestos a los catetos son iguales y siempre agudos , por lo que la clasificación del triángulo como agudo, rectángulo u obtuso depende únicamente del ángulo entre sus dos catetos.

Terminología, clasificación y ejemplos

Euclides definió un triángulo isósceles como un triángulo con exactamente dos lados iguales, ^[1] pero los tratamientos modernos prefieren definir los triángulos isósceles como aquellos que tienen al menos dos lados iguales. La diferencia entre estas dos definiciones es que la versión moderna hace que los triángulos equiláteros (con tres lados iguales) sean un caso especial de triángulos isósceles. ^[2] Un triángulo que no es isósceles (que tiene tres lados desiguales) se llama escaleno . ^[3] "Isósceles" se forma a partir de las raíces griegas "isos" (igual) y "skelos" (cateto). La misma palabra se usa, por ejemplo, para los trapecios isósceles , trapecios con dos lados iguales, ^[4] y para los conjuntos isósceles , conjuntos de puntos cada tres de los cuales forman un triángulo isósceles. ^[5]

En un triángulo isósceles que tiene exactamente dos lados iguales, los lados iguales se llaman catetos y el tercer lado se llama base . El ángulo comprendido por los catetos se llama ángulo del vértice y los ángulos que tienen la base como uno de sus lados se llaman ángulos de la base . ^[6] El vértice opuesto a la base se llama vértice . ^[7] En el caso del triángulo equilátero, dado que todos los lados son iguales, cualquier lado puede llamarse base. ^[8]

Triángulos isósceles especiales

Sólidos catalanes con caras de triángulos isósceles

El que un triángulo isósceles sea agudo, recto u obtuso depende únicamente del ángulo en su vértice. En la geometría euclidiana , los ángulos de la base no pueden ser obtusos (mayores de 90°) o rectos (iguales a 90°) porque sus medidas sumarían al menos 180°, el total de todos los ángulos en cualquier triángulo euclidiano. ^[8] Dado que un triángulo es obtuso o recto si y solo si uno de sus ángulos es obtuso o recto, respectivamente, un triángulo isósceles es obtuso, recto o agudo si y solo si su ángulo del vértice es respectivamente obtuso, recto o agudo. ^[7] En el libro Flatland de Edwin Abbott , esta clasificación de formas se utilizó como una sátira de la jerarquía social : los triángulos isósceles representaban a la clase trabajadora , con triángulos isósceles agudos más arriba en la jerarquía que los triángulos isósceles rectángulos u obtusos. ^[9]

Además del triángulo rectángulo isósceles , se han estudiado otras formas específicas de triángulos isósceles. Estas incluyen el triángulo de Calabi (un triángulo con tres cuadrados inscritos congruentes), ^[10] el triángulo áureo y el gnomon áureo (dos triángulos isósceles cuyos lados y base están en la proporción áurea ), ^[11] el triángulo 80-80-20 que aparece en el rompecabezas de los ángulos adventicios de Langley , ^[12] y el triángulo 30-30-120 del mosaico triakis triangular . Cinco sólidos de Catalan , el triakis tetraedro , el triakis octaedro , el tetrakis hexaedro , el pentakis dodecaedro y el triakis icosaedro , tienen caras de triángulo isósceles, al igual que infinitas pirámides ^[8] y bipirámides . ^[13]

Fórmulas

Altura

Para cualquier triángulo isósceles, coinciden los siguientes seis segmentos de línea :

• la altitud , un segmento de línea desde el vértice perpendicular a la base, ^[14]
• la bisectriz del ángulo desde el vértice hasta la base, ^[14]
• la mediana desde el vértice hasta el punto medio de la base, ^[14]
• la bisectriz perpendicular de la base dentro del triángulo, ^[14]
• el segmento dentro del triángulo del eje único de simetría del triángulo, y ^[14]
• el segmento dentro del triángulo de la línea de Euler del triángulo, excepto cuando el triángulo es equilátero . ^[15]

Su longitud común es la altura del triángulo. Si el triángulo tiene lados iguales y una base de longitud , las fórmulas generales para las longitudes de estos segmentos se simplifican a ^[16] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}.}$

Esta fórmula también se puede derivar del teorema de Pitágoras utilizando el hecho de que la altitud divide la base en dos y divide el triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos congruentes. ^[17]

La línea de Euler de cualquier triángulo pasa por el ortocentro del triángulo (la intersección de sus tres alturas), su baricentro (la intersección de sus tres medianas) y su circuncentro (la intersección de las bisectrices perpendiculares de sus tres lados, que es también el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices). En un triángulo isósceles con exactamente dos lados iguales, estos tres puntos son distintos y (por simetría) todos se encuentran en el eje de simetría del triángulo, de lo que se deduce que la línea de Euler coincide con el eje de simetría. El incentro del triángulo también se encuentra en la línea de Euler, algo que no es cierto para otros triángulos. ^[15] Si dos de las bisectrices, medianas o alturas coinciden en un triángulo dado, ese triángulo debe ser isósceles. ^[18]

Área

El área de un triángulo isósceles se puede derivar de la fórmula para su altura y de la fórmula general para el área de un triángulo como la mitad del producto de la base por la altura: ^[16] ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}.}$

La misma fórmula del área también se puede derivar de la fórmula de Heron para el área de un triángulo a partir de sus tres lados. Sin embargo, la aplicación directa de la fórmula de Heron puede ser numéricamente inestable para triángulos isósceles con ángulos muy agudos, debido a la casi cancelación entre el semiperímetro y la longitud del lado en esos triángulos. ^[19]

Si se conocen el ángulo del vértice y las longitudes de los catetos de un triángulo isósceles, entonces el área de ese triángulo es: ^[20] ${\displaystyle (\theta )}$ ${\displaystyle (a)}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \theta .}$

Este es un caso especial de la fórmula general para el área de un triángulo como la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo incluido. ^[21]

Perímetro

El perímetro de un triángulo isósceles con lados y base iguales es simplemente ^[16] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle p=2a+b.}$

Como en cualquier triángulo, el área y el perímetro están relacionados por la desigualdad isoperimétrica ^[22] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p^{2}>12{\sqrt {3}}T.}$

Esta es una desigualdad estricta para triángulos isósceles con lados desiguales a la base, y se convierte en una igualdad para el triángulo equilátero. El área, el perímetro y la base también pueden relacionarse entre sí mediante la ecuación ^[23].

${\displaystyle 2pb^{3}-p^{2}b^{2}+16T^{2}=0.}$

Si la base y el perímetro son fijos, entonces esta fórmula determina el área del triángulo isósceles resultante, que es la máxima posible entre todos los triángulos con la misma base y perímetro. ^[24] Por otro lado, si el área y el perímetro son fijos, esta fórmula puede usarse para recuperar la longitud de la base, pero no de manera única: en general hay dos triángulos isósceles distintos con un área y un perímetro dados . Cuando la desigualdad isoperimétrica se convierte en una igualdad, solo hay un triángulo de este tipo, que es equilátero. ^[25] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p}$

Longitud de la bisectriz del ángulo

Si los dos lados iguales tienen longitud y el otro lado tiene longitud , entonces la bisectriz del ángulo interno de uno de los dos vértices de ángulos iguales satisface ^[26] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}>t>{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a+b}}}$

así como

${\displaystyle t<{\frac {4a}{3}};}$

y a la inversa, si se cumple la última condición, existe un triángulo isósceles parametrizado por y . ^[27] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t}$

El teorema de Steiner-Lehmus establece que todo triángulo con dos bisectrices de ángulos de longitudes iguales es isósceles. Fue formulado en 1840 por CL Lehmus . Su otro homónimo, Jakob Steiner , fue uno de los primeros en proporcionar una solución. ^[28] Aunque originalmente se formuló solo para bisectrices de ángulos internos, funciona para muchos casos (pero no todos) cuando, en cambio, dos bisectrices de ángulos externos son iguales. El triángulo isósceles 30-30-120 es un caso límite para esta variación del teorema, ya que tiene cuatro bisectrices de ángulos iguales (dos internas, dos externas). ^[29]

Radios

Triángulo isósceles que muestra su circuncentro (azul), centroide (rojo), incentro (verde) y eje de simetría (violeta)

Las fórmulas del inradio y del circunradio de un triángulo isósceles se pueden derivar de sus fórmulas para triángulos arbitrarios. ^[30] El radio del círculo inscrito de un triángulo isósceles con longitud de lado , base y altura es: ^[16] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {2ab-b^{2}}{4h}}.}$

El centro del círculo se encuentra en el eje de simetría del triángulo, esta distancia por encima de la base. Un triángulo isósceles tiene el círculo inscrito más grande posible entre los triángulos con la misma base y ángulo en el vértice, además de tener también el área y perímetro más grandes entre la misma clase de triángulos. ^[31]

El radio del círculo circunscrito es: ^[16]

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2h}}.}$

El centro del círculo se encuentra en el eje de simetría del triángulo, esta distancia está por debajo del vértice.

Cuadrado inscrito

Para cualquier triángulo isósceles, existe un único cuadrado con un lado colineal con la base del triángulo y los dos vértices opuestos en sus lados. El triángulo de Calabi es un triángulo isósceles especial con la propiedad de que los otros dos cuadrados inscritos, con lados colineales con los lados del triángulo, son del mismo tamaño que el cuadrado base. ^[10] Un teorema mucho más antiguo, conservado en las obras de Herón de Alejandría , establece que, para un triángulo isósceles con base y altura , la longitud del lado del cuadrado inscrito en la base del triángulo es ^[32] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {bh}{b+h}}.}$

Subdivisión isósceles de otras formas

Partición de un pentágono cíclico en triángulos isósceles por los radios de su circunferencia circunscrita

Para cualquier número entero , cualquier triángulo puede dividirse en triángulos isósceles. ^[33] En un triángulo rectángulo , la mediana desde la hipotenusa (es decir, el segmento de línea desde el punto medio de la hipotenusa hasta el vértice rectángulo) divide el triángulo rectángulo en dos triángulos isósceles. Esto se debe a que el punto medio de la hipotenusa es el centro del círculo circunscrito del triángulo rectángulo, y cada uno de los dos triángulos creados por la partición tiene dos radios iguales como dos de sus lados. ^[34] De manera similar, un triángulo agudo puede dividirse en tres triángulos isósceles por segmentos desde su circuncentro, ^[35] pero este método no funciona para triángulos obtusos, porque el circuncentro se encuentra fuera del triángulo. ^[30] ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle n}$

Generalizando la partición de un triángulo acutángulo, cualquier polígono cíclico que contenga el centro de su círculo circunscrito puede ser dividido en triángulos isósceles por los radios de este círculo a través de sus vértices. El hecho de que todos los radios de un círculo tengan la misma longitud implica que todos estos triángulos son isósceles. Esta partición puede usarse para derivar una fórmula para el área del polígono en función de las longitudes de sus lados, incluso para polígonos cíclicos que no contienen sus circuncentros. Esta fórmula generaliza la fórmula de Herón para triángulos y la fórmula de Brahmagupta para cuadriláteros cíclicos . ^[36]

Cualquiera de las diagonales de un rombo lo divide en dos triángulos isósceles congruentes . De manera similar, una de las dos diagonales de una cometa lo divide en dos triángulos isósceles, que no son congruentes excepto cuando la cometa es un rombo. ^[37]

Aplicaciones

En arquitectura y diseño

Los triángulos isósceles aparecen comúnmente en la arquitectura como formas de frontones y hastiales . En la arquitectura griega antigua y sus imitaciones posteriores, se utilizaba el triángulo isósceles obtuso; en la arquitectura gótica , este fue reemplazado por el triángulo isósceles agudo. ^[8]

En la arquitectura de la Edad Media , se hizo popular otra forma de triángulo isósceles: el triángulo isósceles egipcio. Se trata de un triángulo isósceles agudo, pero menos agudo que el triángulo equilátero; su altura es proporcional a 5/8 de su base. ^{[38] El arquitecto holandés} Hendrik Petrus Berlage volvió a utilizar el triángulo isósceles egipcio en la arquitectura moderna . ^[39]

Vista detallada de una armadura Warren modificada con verticales

Las estructuras de celosía de Warren , como los puentes, suelen estar dispuestas en triángulos isósceles, aunque a veces también se incluyen vigas verticales para una mayor resistencia. ^[40] Las superficies teseladas por triángulos isósceles obtusos se pueden utilizar para formar estructuras desplegables que tienen dos estados estables: un estado desplegado en el que la superficie se expande a una columna cilíndrica y un estado plegado en el que se pliega en una forma de prisma más compacta que se puede transportar más fácilmente. ^[41] El mismo patrón de teselación forma la base del pandeo de Yoshimura , un patrón que se forma cuando las superficies cilíndricas se comprimen axialmente, ^[42] y de la linterna de Schwarz , un ejemplo utilizado en matemáticas para demostrar que el área de una superficie lisa no siempre se puede aproximar con precisión mediante poliedros que convergen a la superficie. ^[43]

En el diseño gráfico y las artes decorativas , los triángulos isósceles han sido un elemento de diseño frecuente en culturas de todo el mundo desde al menos el Neolítico temprano ^[44] hasta los tiempos modernos. ^[45] Son un elemento de diseño común en banderas y heráldica , apareciendo prominentemente con una base vertical, por ejemplo, en la bandera de Guyana , o con una base horizontal en la bandera de Santa Lucía , donde forman una imagen estilizada de una isla montañosa. ^[46]

También se han utilizado en diseños con significado religioso o místico, por ejemplo en el Sri Yantra de la práctica meditativa hindú . ^[47]

En otras áreas de las matemáticas

Si una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces que no son todas números reales , entonces, cuando estas raíces se trazan en el plano complejo como un diagrama de Argand, forman vértices de un triángulo isósceles cuyo eje de simetría coincide con el eje horizontal (real). Esto se debe a que las raíces complejas son conjugadas complejas y, por lo tanto, son simétricas respecto del eje real. ^[48]

En mecánica celeste , el problema de los tres cuerpos se ha estudiado en el caso especial de que los tres cuerpos formen un triángulo isósceles, porque al suponer que los cuerpos están dispuestos de esta manera se reduce el número de grados de libertad del sistema sin reducirlo al caso puntual lagrangiano resuelto cuando los cuerpos forman un triángulo equilátero. Los primeros casos del problema de los tres cuerpos que demostraron tener oscilaciones ilimitadas fueron en el problema de los tres cuerpos isósceles. ^[49]

Historia y falacias

Mucho antes de que los matemáticos griegos antiguos estudiaran los triángulos isósceles , los matemáticos del Antiguo Egipto y de Babilonia sabían calcular su área. Problemas de este tipo están incluidos en el Papiro matemático de Moscú y el Papiro matemático de Rhind . ^[50]

El teorema de que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales aparece como Proposición I.5 en Euclides. ^[51] Este resultado se ha llamado pons asinorum (el puente de asnos) o teorema del triángulo isósceles. Las explicaciones rivales para este nombre incluyen la teoría de que se debe a que el diagrama utilizado por Euclides en su demostración del resultado se asemeja a un puente, o porque este es el primer resultado difícil de Euclides y actúa para separar a aquellos que pueden comprender la geometría de Euclides de aquellos que no pueden. ^[52]

Una falacia bien conocida es la prueba falsa de la afirmación de que todos los triángulos son isósceles , publicada por primera vez por WW Rouse Ball en 1892, ^[53] y luego republicada en el Lewis Carroll Picture Book póstumo de Lewis Carroll . ^[54] La falacia tiene su raíz en la falta de reconocimiento por parte de Euclides del concepto de intermediación y la ambigüedad resultante entre el interior y el exterior de las figuras. ^[55]

Notas

1. Heath (1926), pág. 187, Definición 20.
2. Stahl (2003), pág. 37.
3. Usiskin y Griffin (2008), pág. 4.
4. Usiskin y Griffin (2008), pág. 41.
5. Ionina (2009).
6. Jacobs (1974), pág. 144.
7. Gottschau, Haverkort y Matzke (2018).
8. Lardner (1840), pág. 46.
9. Barnes (2012).
10. Conway y Guy (1996).
11. Loeb (1992).
12. Langley (1922).
13. Montroll (2009).
14. Hadamard (2008), pág. 23.
15. Guinand (1984).
16. Harris y Stöcker (1998), pág. 78.
17. Salvadori y Wright (1998).
18. Hadamard (2008), Ejercicio 5, p. 29.
19. Katerina (2014).
20. Joven (2011), pág. 298.
21. Joven (2011), pág. 398.
22. Alsina y Nelsen (2009), pág. 71.
23. Baloglou y Helfgott (2008), Ecuación (1).
24. Villanueva (2012).
25. Baloglou y Helfgott (2008), Teorema 2.
26. Arslanagic.
27. Oxman (2005).
28. Gilbert y MacDonnell (1963).
29. Conway y Ryba (2014).
30. Harris y Stöcker (1998), pág. 75.
31. Alsina y Nelsen (2009), pág. 67.
32. Gandz (1940).
33. Lord (1982). Véase también Hadamard (2008, Ejercicio 340, pág. 270).
34. Posamentier y Lehmann (2012), pág. 24.
35. Bezdek y Bisztriczky (2015).
36. Robbins (1995).
37. Usiskin y Griffin (2008), pág. 51.
38. Lavedán (1947).
39. Padovan (2002).
40. Ketchum (1920).
41. Pellegrino (2002).
42. Yoshimura (1955).
43. Schwarz (1890).
44. Washburn (1984).
45. Jakway (1922).
46. Smith (2014).
47. Bolton, Nicol y Macleod (1977).
48. Bardell (2016).
49. Diacu y Holmes (1999).
50. Høyrup (2008). Aunque "muchos de los primeros egiptólogos" creían que los egipcios utilizaban una fórmula inexacta para el área, la mitad del producto de la base por el lado, Vasily Vasilievich Struve defendió la opinión de que utilizaban la fórmula correcta, la mitad del producto de la base por la altura (Clagett 1989). Esta cuestión se basa en la traducción de una de las palabras del papiro de Rhind, y con esta palabra traducida como altura (o más precisamente como la relación entre la altura y la base) la fórmula es correcta (Gunn y Peet 1929, pp. 173-174).
51. Heath (1926), pág. 251.
52. Venema (2006), pág. 89.
53. Ball y Coxeter (1987).
54. Carroll (1899). Véase también Wilson (2008).
55. Specht y otros (2015).

Referencias

• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009), Cuando menos es más: Visualización de desigualdades básicas , The Dolciani Mathematical Expositions, vol. 36, Mathematical Association of America, Washington, DC, ISBN 978-0-88385-342-9, Sr.  2498836
• Arslanagić, Šefket, "Problema η 44", Desigualdades propuestas en Crux Mathematicorum (PDF) , p. 151
• Ball, WW Rouse ; Coxeter, HSM (1987) [1892], Mathematical Recreations and Essays (13.ª ed.), Dover, nota al pie, pág. 77, ISBN 0-486-25357-0
• Baloglou, George; Helfgott, Michel (2008), "Ángulos, área y perímetro atrapados en una cúbica" (PDF) , Forum Geometricorum , 8 : 13–25, MR  2373294, archivado desde el original (PDF) el 2022-06-23 , consultado el 2018-06-03
• Bardell, Nicholas S. (2016), "Polinomios cúbicos con coeficientes reales o complejos: el panorama completo" (PDF) , Australian Senior Mathematics Journal , 30 (2): 5–26
• Barnes, John (2012), Gems of Geometry (2.ª edición ilustrada), Springer, pág. 27, ISBN 9783642309649
• Bezdek, András; Bisztriczky, Ted (2015), "Encontrar triangulaciones de igual diámetro en polígonos", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 56 (2): 541–549, doi :10.1007/s13366-014-0206-6, MR  3391189, S2CID  123507725
• Bolton, Nicholas J; Nicol, D.; Macleod, G. (marzo de 1977), "La geometría del Śrī-yantra", Religion , 7 (1): 66–85, doi :10.1016/0048-721x(77)90008-2
• Carroll, Lewis (1899), Collingwood, Stuart Dodgson (ed.), The Lewis Carroll Picture Book, Londres: T. Fisher Unwin, págs. 264-266
• Clagett, Marshall (1989), Ciencia del Antiguo Egipto: Matemáticas del Antiguo Egipto , American Philosophical Society, nota al pie 68, págs. 195-197, ISBN 9780871692320
• Conway, JH ; Guy, RK (1996), "El triángulo de Calabi", The Book of Numbers , Nueva York: Springer-Verlag, pág. 206
• Conway, John ; Ryba, Alex (julio de 2014), "El teorema de la bisectriz de un ángulo de Steiner-Lehmus", The Mathematical Gazette , 98 (542): 193–203, doi :10.1017/s0025557200001236, S2CID  124753764
• Diacu, Florin; Holmes, Philip (1999), Encuentros celestiales: los orígenes del caos y la estabilidad, Princeton Science Library, Princeton University Press, pág. 122, ISBN 9780691005454
• Gandz, Solomon (1940), "Estudios en matemáticas babilónicas. III. Problemas isoperimétricos y el origen de las ecuaciones cuadráticas", Isis , 32 : 101–115 (1947), doi :10.1086/347645, MR  0017683, S2CID  120267556. Véase en particular la pág. 111.
• Gilbert, G.; MacDonnell, D. (1963), "El teorema de Steiner-Lehmus", Apuntes para el aula, American Mathematical Monthly , 70 (1): 79–80, doi :10.2307/2312796, JSTOR  2312796, MR  1531983
• Gottschau, Marinus; Haverkort, Herman; Matzke, Kilian (2018), "Reptiles y curvas que llenan el espacio para triángulos agudos", Geometría discreta y computacional , 60 (1): 170–199, arXiv : 1603.01382 , doi :10.1007/s00454-017-9953-0, S2CID  14477196
• Guinand, Andrew P. (1984), "Líneas de Euler, centros tritangentes y sus triángulos", American Mathematical Monthly , 91 (5): 290–300, doi :10.2307/2322671, JSTOR  2322671, MR  0740243
• Gunn, Battiscombe; Peet, T. Eric (mayo de 1929), "Cuatro problemas geométricos del Papiro matemático de Moscú", The Journal of Egyptian Archaeology , 15 (1): 167–185, doi :10.1177/030751332901500130, JSTOR  3854111, S2CID  192278129
• Hadamard, Jacques (2008), Lecciones de geometría: geometría plana, traducido por Saul, Mark, American Mathematical Society, ISBN 9780821843673
• Harris, John W.; Stöcker, Horst (1998), Manual de matemáticas y ciencia computacional, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/978-1-4612-5317-4, ISBN 0-387-94746-9, Sr.  1621531
• Heath, Thomas L. (1926), Los trece libros de los elementos de Euclides, vol. 1 (2.ª ed.), Cambridge University Press; Reimpresión de Dover, 1956, SBN 486-60088-2 
• Høyrup, Jens (2008), "Geometría en Mesopotamia y Egipto", Enciclopedia de la historia de la ciencia, la tecnología y la medicina en culturas no occidentales , Springer Netherlands, pp. 1019–1023, Bibcode :2008ehst.book.....S, doi :10.1007/978-1-4020-4425-0_8619
• Ionin, Yury J. (2009), "Conjuntos isósceles", Revista electrónica de combinatoria , 16 (1): R141:1–R141:24, doi : 10.37236/230 , MR  2577309
• Jacobs, Harold R. (1974), Geometría , WH Freeman and Co., ISBN 0-7167-0456-0
• Jakway, Bernard C. (1922), Los principios de la decoración de interiores, Macmillan, pág. 48
• Kahan, W. (4 de septiembre de 2014), "Cálculo incorrecto del área y los ángulos de un triángulo con forma de aguja" (PDF) , Notas de clase para clases introductorias de análisis numérico , Universidad de California, Berkeley
• Ketchum, Milo Smith (1920), El diseño de puentes de carretera de acero, madera y hormigón, Nueva York: McGraw-Hill, pág. 107
• Langley, EM (1922), "Problema 644", The Mathematical Gazette , 11 : 173
• Lardner, Dionisio (1840), Tratado de geometría y su aplicación en las artes, The Cabinet Cyclopædia, Londres
• Lavedan, Pierre (1947), Arquitectura francesa, Penguin Books, pág. 44
• Loeb, Arthur (1992), Conceptos e imágenes: matemáticas visuales, Boston: Birkhäuser Boston, pág. 180, ISBN 0-8176-3620-X
• Lord, NJ (junio de 1982), "66.16 Subdivisiones isósceles de triángulos", The Mathematical Gazette , 66 (436): 136–137, doi :10.2307/3617750, JSTOR  3617750, S2CID  125411311
• Montroll, John (2009), Diseño de poliedros de origami , AK Peters, pág. 6, ISBN 9781439871065
• Oxman, Victor (2005), "Sobre la existencia de triángulos con longitudes dadas de un lado, el opuesto y una bisectrices de un ángulo adyacente" (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 21–22, MR  2141652, archivado desde el original (PDF) el 2018-04-22 , consultado el 2018-06-03
• Padovan, Richard (2002), Hacia la universalidad: Le Corbusier, Mies y De Stijl, Psychology Press, pág. 128, ISBN 9780415259620
• Pellegrino, S. (2002), Estructuras desplegables, CISM, Centro Internacional de Ciencias Mecánicas, vol. 412, Springer, págs. 99-100, ISBN 9783211836859
• Posamentier, Alfred S. ; Lehmann, Ingmar (2012), Los secretos de los triángulos: un viaje matemático , Amherst, NY: Prometheus Books, p. 387, ISBN 978-1-61614-587-3, Sr.  2963520
• Robbins, David P. (1995), "Áreas de polígonos inscritos en un círculo", American Mathematical Monthly , 102 (6): 523–530, doi :10.2307/2974766, JSTOR  2974766, MR  1336638
• Salvadori, Mario; Wright, Joseph P. (1998), Juegos de matemáticas para la escuela secundaria: desafíos y desarrollo de habilidades para estudiantes de todos los niveles, Chicago Review Press, págs. 70–71, ISBN 9781569767276
• Schwarz, HA (1890), Gesammelte Mathematische Abhandlungen von HA Schwarz , Verlag von Julius Springer, págs. 309–311
• Smith, Whitney (26 de junio de 2014), "Bandera de Santa Lucía", Encyclopædia Britannica , consultado el 12 de septiembre de 2018
• Specht, Edward John; Jones, Harold Trainer; Calkins, Keith G.; Rhoads, Donald H. (2015), Geometría euclidiana y sus subgeometrías, Springer, Cham, pág. 64, doi :10.1007/978-3-319-23775-6, ISBN 978-3-319-23774-9, Sr.  3445044
• Stahl, Saul (2003), Geometría desde Euclides hasta los nudos , Prentice-Hall, ISBN 0-13-032927-4
• Usiskin, Zalman ; Griffin, Jennifer (2008), La clasificación de cuadriláteros: un estudio sobre la definición , Investigación en educación matemática, Information Age Publishing, ISBN 9781607526001
• Venema, Gerard A. (2006), Fundamentos de geometría , Prentice-Hall, ISBN 0-13-143700-3
• Washburn, Dorothy K. (julio de 1984), "Un estudio de los diseños en rojo sobre crema y crema sobre rojo en cerámicas del Neolítico temprano de Nea Nikomedeia", American Journal of Archaeology , 88 (3): 305–324, doi :10.2307/504554, JSTOR  504554, S2CID  191374019
• Wickelgren, Wayne A. (2012), Cómo resolver problemas matemáticos, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, págs. 222–224, ISBN 9780486152684.
• Wilson, Robin (2008), Lewis Carroll en Numberland: Su fantástica vida lógica matemática, una agonía en ocho ataques , Penguin Books, págs. 169-170, ISBN 978-0-14-101610-8, Sr.  2455534
• Yoshimura, Yoshimaru (julio de 1955), Sobre el mecanismo de pandeo de una carcasa cilíndrica circular bajo compresión axial, Memorándum técnico 1390, Comité asesor nacional de aeronáutica
• Young, Cynthia Y. (2011), Trigonometría, John Wiley & Sons, ISBN 9780470648025

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Triángulo isósceles", MathWorld