El teorema fue mencionado por primera vez en 1840 en una carta de CL Lehmus a C. Sturm , en la que le pedía una prueba puramente geométrica. Sturm transmitió la solicitud a otros matemáticos y Steiner fue uno de los primeros en proporcionar una solución. El teorema se convirtió en un tema bastante popular en la geometría elemental desde entonces, con una publicación bastante regular de artículos sobre él. [1] [2] [3]
Pruebas directas
El teorema de Steiner-Lehmus se puede demostrar usando geometría elemental demostrando el enunciado contrapositivo : si un triángulo no es isósceles, entonces no tiene dos bisectrices de ángulos de igual longitud.
Existe cierta controversia sobre si es posible una prueba "directa"; supuestamente se han publicado pruebas "directas", pero no todo el mundo está de acuerdo en que estas pruebas sean "directas". Por ejemplo, existen expresiones algebraicas simples para las bisectrices de los ángulos en términos de los lados del triángulo. Igualando dos de estas expresiones y manipulando algebraicamente la ecuación se obtiene un producto de dos factores que son iguales a 0, pero solo uno de ellos ( a − b ) puede ser igual a 0 y el otro debe ser positivo. Por lo tanto, a = b . Pero esto no puede considerarse directo ya que primero se debe argumentar por qué el otro factor no puede ser 0. John Conway [4]
ha argumentado que no puede haber una prueba "que persiga la igualdad" porque el teorema (enunciado algebraicamente) no se cumple sobre un cuerpo arbitrario , o incluso cuando se permiten números reales negativos como parámetros. Victor Pambuccian [5] proporcionó una definición precisa de una "prueba directa" tanto en la lógica clásica como en la lógica intuicionista ,
y demostró, sin presentar pruebas directas, que deben existir pruebas directas tanto en el contexto de la lógica clásica como en el de la lógica intuicionista. Ariel Kellison proporcionó posteriormente una prueba directa [6] .
Notas
^ Coxeter, HSM y Greitzer, SL "El teorema de Steiner-Lehmus". §1.5 en Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., págs. 14-16, 1967.
^ Diane y Roy Dowling: El legado perdurable de Ludolph Lehmus. Manitoba Math Links – Volumen II – Número 3, primavera de 2002
^ Barbara, Roy (2007). "91.66 Steiner-Lehmus, revisitado". The Mathematical Gazette . 91 (522): 528–529. doi :10.1017/S0025557200182233. JSTOR 40378432. S2CID 125997695.
^ Supuesta imposibilidad de una prueba "directa" del teorema de Steiner-Lehmus
^ Pambuccian, Victor (2018), "Demostración libre de negación y contradicción del teorema de Steiner-Lehmus", Notre Dame Journal of Formal Logic , 59 : 75–90, doi :10.1215/00294527-2017-0019.
^ Kellison, Ariel (2021), "Una prueba directa comprobada por máquina del teorema de Steiner-Lehmus", arXiv : 2112.11182 [cs.LO].
Referencias y lecturas adicionales
John Horton Conway , Alex Ryba: El teorema de la bisectriz de un ángulo de Steiner-Lehmus . En: Mircea Pitici (Eds.): The Best Writing on Mathematics 2015. Princeton University Press, 2016, ISBN 9781400873371 , págs. 154-166.
Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: La geometría a través de su historia. Springer, 2012, págs. 224-225
Beran, David (1992). "SSA y el teorema de Steiner-Lehmus". El profesor de matemáticas . 85 (5): 381–383. doi :10.5951/MT.85.5.0381. JSTOR 27967647.
Parry, CF (1978). "Una variación sobre el tema de Steiner-Lehmus". The Mathematical Gazette . 62 (420): 89–94. doi :10.2307/3617662. JSTOR 3617662. S2CID 125461255.
Lewin, Mordechai (1974). "Sobre el teorema de Steiner-Lehmus". Revista de Matemáticas . 47 (2): 87–89. doi :10.1080/0025570X.1974.11976361. JSTOR 2688873.
S. Abu-Saymeh, M. Hajja, HA ShahAli: Otra variación sobre el tema de Steiner-Lehmus. Forum Geometricorum 8, 2008, págs. 131-140
Pambucciano, Víctor; Struve, Horst; Struve, Rolf (2016). "El teorema de Steiner-Lehmus y" los triángulos con medianas congruentes son isósceles "se mantienen en geometrías débiles". Beiträge zur Algebra und Geometrie . 57 (2): 483–497. arXiv : 1501.01857 . doi :10.1007/s13366-015-0278-y. S2CID 256110198.
