Linterna negra

Poliedro casi cilíndrico de gran área

Linterna Schwarz en exposición en el Museo Alemán de Tecnología de Berlín

En matemáticas, la linterna de Schwarz es una aproximación poliédrica a un cilindro , utilizada como un ejemplo patológico de la dificultad de definir el área de una superficie lisa (curva) como el límite de las áreas de los poliedros. Está formada por anillos apilados de triángulos isósceles , dispuestos dentro de cada anillo en el mismo patrón que un antiprisma . La forma resultante se puede doblar a partir de papel, y recibe su nombre en honor al matemático Hermann Schwarz y por su parecido con una linterna de papel cilíndrica . ^[1] También se la conoce como bota de Schwarz , ^[2] poliedro de Schwarz , ^[3] o linterna china . ^[4]

Como demostró Schwarz, para que el área de la superficie de un poliedro converja al área de la superficie de una superficie curva, no es suficiente simplemente aumentar el número de anillos y el número de triángulos isósceles por anillo. Dependiendo de la relación entre el número de anillos y el número de triángulos por anillo, el área de la linterna puede converger al área del cilindro, hasta un límite arbitrariamente mayor que el área del cilindro, o hasta el infinito; en otras palabras, el área puede divergir. La linterna de Schwarz demuestra que el muestreo de una superficie curva mediante puntos próximos entre sí y su conexión mediante pequeños triángulos es inadecuado para asegurar una aproximación precisa del área, en contraste con la aproximación precisa de la longitud del arco mediante cadenas poligonales inscritas .

El fenómeno por el cual puntos muestreados muy de cerca pueden llevar a aproximaciones inexactas del área se ha denominado paradoja de Schwarz . ^{[5] [6]} La linterna de Schwarz es un ejemplo instructivo en cálculo y resalta la necesidad de tener cuidado al elegir una triangulación para aplicaciones en gráficos de computadora y el método de elementos finitos .

Historia y motivación

La paradoja de la escalera : cadenas poligonales de longitud convergen en distancia a un segmento diagonal de longitud , sin converger a la misma longitud. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Arquímedes aproximó la circunferencia de los círculos por las longitudes de polígonos regulares inscritos o circunscritos. ^{[7] [8]} De manera más general, la longitud de cualquier curva suave o rectificable se puede definir como el supremo de las longitudes de las cadenas poligonales inscritas en ellas. ^[1] Sin embargo, para que esto funcione correctamente, los vértices de las cadenas poligonales deben estar en la curva dada, en lugar de simplemente cerca de ella. De lo contrario, en un contraejemplo a veces conocido como la paradoja de la escalera , las cadenas poligonales de segmentos de línea verticales y horizontales de longitud total pueden estar arbitrariamente cerca de un segmento de línea diagonal de longitud , convergiendo en distancia al segmento diagonal pero sin converger a la misma longitud. La linterna de Schwarz proporciona un contraejemplo para el área de superficie en lugar de la longitud, ^[9] y muestra que para el área, requerir que los vértices estén en la superficie aproximada no es suficiente para garantizar una aproximación precisa. ^[1] ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Hermann Schwarz

El matemático alemán Hermann Schwarz (1843-1921) ideó su construcción a finales del siglo XIX ^[a] como contraejemplo a la definición errónea del libro de JA Serret de 1868 Cours de calcul differentiel et integral , ^[12] que afirma incorrectamente que:

Soit una porción de superficie curva terminada por un contorno ; ${\displaystyle C}$ Nous nommerons aire de esta superficie la límite frente a laquelle tiende el aire de una superficie poliédrica inscrita en forma de caras triangulares y terminadas por un contorno poligonal que ayuda a limitar el contorno . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

Debe demostrar que el límite existe y que es independiente de la ley siguiente al descroissent las caras de la superficie poliédrica inscrita. ${\displaystyle S}$

Sea una porción de superficie curva limitada por un contorno ; definiremos el área de esta superficie como el límite al que tiende el área de una superficie poliédrica inscrita formada por caras triangulares y limitada por un contorno poligonal cuyo límite es el contorno . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle C}$

Hay que demostrar que el límite existe y que es independiente de la ley según la cual las caras de la superficie poliédrica inscrita se contraen. ${\displaystyle S}$

Independientemente de Schwarz, Giuseppe Peano encontró el mismo contraejemplo. ^[10] En ese momento, Peano era alumno de Angelo Genocchi , quien, por comunicación con Schwarz, ya sabía sobre la dificultad de definir el área de superficie. Genocchi informó a Charles Hermite , quien había estado usando la definición errónea de Serret en su curso. Hermite le pidió detalles a Schwarz, revisó su curso y publicó el ejemplo en la segunda edición de sus notas de clase (1883). ^[11] La nota original de Schwarz a Hermite no se publicó hasta la segunda edición de las obras completas de Schwarz en 1890. ^{[13] [14]}

Un ejemplo instructivo del valor de las definiciones cuidadosas en cálculo , ^[5] la linterna de Schwarz también resalta la necesidad de tener cuidado al elegir una triangulación para aplicaciones en gráficos de computadora y para el método de elementos finitos para simulaciones científicas y de ingeniería. ^{[6] [15]} En gráficos de computadora, las escenas a menudo se describen mediante superficies trianguladas, y la representación precisa de la iluminación de esas superficies depende de la dirección de las normales de la superficie . Una mala elección de triangulación, como en la linterna de Schwarz, puede producir una superficie tipo acordeón cuyas normales están lejos de las normales de la superficie aproximada, y los pliegues agudos muy espaciados de esta superficie también pueden causar problemas de aliasing . ^[6]

El fracaso de las linternas Schwarz para converger al área del cilindro sólo ocurre cuando incluyen triángulos muy obtusos, con ángulos cercanos a 180°. En clases restringidas de linternas Schwarz que utilizan ángulos acotados a partir de 180°, el área converge a la misma área que el cilindro a medida que el número de triángulos crece hasta el infinito. El método de elementos finitos , en su forma más básica, aproxima una función suave (a menudo, la solución a un problema de simulación física en ciencia o ingeniería) mediante una función lineal por partes en una triangulación. El ejemplo de la linterna Schwarz muestra que, incluso para funciones simples como la altura de un cilindro sobre un plano que pasa por su eje, e incluso cuando los valores de la función se calculan con precisión en los vértices de la triangulación, una triangulación con ángulos cercanos a 180° puede producir resultados de simulación altamente inexactos. Esto motiva métodos de generación de mallas para los que todos los ángulos están acotados a partir de 180°, como las mallas no obtusas . ^[15]

Construcción

Antiprisma basado en un 17-gono regular. Omitiendo las dos caras del 17-gono se obtiene una linterna Schwarz con parámetros y . Se pueden obtener otras linternas Schwarz con apilando copias de este antiprisma. ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=17}$ ${\displaystyle n=17}$ ${\displaystyle m}$

La aproximación poliédrica discreta considerada por Schwarz puede describirse mediante dos parámetros: , el número de anillos de triángulos en la linterna de Schwarz; y , la mitad del número de triángulos por anillo. ^{[16] [b]} Para un solo anillo ( ), la superficie resultante consiste en las caras triangulares de un antiprisma de orden . Para valores mayores de , la linterna de Schwarz se forma apilando estos antiprismas. ^[6] Para construir una linterna de Schwarz que se aproxime a un cilindro circular recto dado , el cilindro se corta mediante planos paralelos en anillos cilíndricos congruentes. Estos anillos tienen límites circulares: dos en los extremos del cilindro dado y más donde se cortó. En cada círculo, los vértices de la linterna de Schwarz están espaciados de manera uniforme, formando un polígono regular . Estos polígonos se rotan en un ángulo de de un círculo al siguiente, de modo que cada borde de un polígono regular y el vértice más cercano en el siguiente círculo forman la base y el vértice de un triángulo isósceles. Estos triángulos se unen borde con borde para formar la linterna de Schwarz, una superficie poliédrica que es topológicamente equivalente al cilindro. ^[16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi /n}$

Ignorando los vértices superior e inferior, cada vértice toca dos ángulos del vértice y cuatro ángulos de la base de triángulos isósceles congruentes, tal como lo haría en una teselación del plano por triángulos de la misma forma. Como consecuencia, la linterna de Schwarz se puede doblar a partir de una hoja de papel plana, con esta teselación como su patrón de pliegue . ^[18] Este patrón de pliegue se ha llamado el patrón de Yoshimura , ^[19] después del trabajo de Y. Yoshimura sobre el patrón de pandeo de Yoshimura de superficies cilíndricas bajo compresión axial, que puede ser similar en forma a la linterna de Schwarz. ^[20]

Área

El área de la linterna Schwarz, para cualquier cilindro y cualquier elección particular de los parámetros y , se puede calcular mediante una aplicación directa de trigonometría . Un cilindro de radio y longitud tiene un área . Para una linterna Schwarz con parámetros y , cada banda es un cilindro más corto de longitud , aproximado por triángulos isósceles . La longitud de la base de cada triángulo se puede encontrar a partir de la fórmula para la longitud del borde de un -gono regular, a saber ^[16] La altura de cada triángulo se puede encontrar aplicando el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo formado por el vértice del triángulo, el punto medio de la base y el punto medio del arco del círculo delimitado por los puntos finales de la base. Los dos lados de este triángulo rectángulo son la longitud de la banda cilíndrica y la sagitta del arco, ^[c] dando la fórmula ^[16] Combinando la fórmula para el área de cada triángulo a partir de su base y altura, y el número total de triángulos, se obtiene que la linterna Schwarz tiene un área total de ^[16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle 2\pi r\ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \ell /m}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle 2r\sin {\frac {\pi }{n}}.}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \ell /m}$ $${\displaystyle h^{2}=\left({\frac {\ell }{m}}\right)^{2}+\left(r\left(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\right)\right)^{2}.}$$ ${\displaystyle 2mn}$ $${\displaystyle A(m,n)=2mn\left(r\sin {\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {\left({\frac {\ell }{m}}\right)^{2}+r^{2}\left(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\right)^{2}}}.}$$

Límites

Animación de la convergencia de Schwarz-Linterna (o falta de ella) para varias relaciones entre sus dos parámetros

Las linternas de Schwarz, para valores grandes de ambos parámetros, convergen uniformemente al cilindro al que se aproximan. ^[21] Sin embargo, debido a que hay dos parámetros libres y , el área límite de la linterna de Schwarz, cuando ambos y se vuelven arbitrariamente grandes, se puede evaluar en diferentes órdenes, con diferentes resultados. Si es fijo mientras que crece, y el límite resultante se evalúa luego para elecciones arbitrariamente grandes de , se obtiene ^[16] el área correcta para el cilindro. En este caso, el límite interno ya converge al mismo valor, y el límite externo es superfluo. Geométricamente, sustituir cada banda cilíndrica por una banda de triángulos isósceles muy agudos aproxima con precisión su área. ^[16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }A(m,n)=2\pi r\ell ,}$$

Por otra parte, si se invierte el orden de los límites se obtiene ^[16] En este caso, para una elección fija de , a medida que crece y la longitud de cada banda cilíndrica se vuelve arbitrariamente pequeña, cada banda correspondiente de triángulos isósceles se vuelve casi plana. Cada triángulo se aproxima al triángulo formado por dos aristas consecutivas de un -gono regular, y el área de toda la banda de triángulos se aproxima a veces el área de uno de estos triángulos planos, un número finito. Sin embargo, el número de estas bandas crece arbitrariamente; debido a que el área de la linterna crece en proporción aproximada a , también se vuelve arbitrariamente grande. ^[16] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }A(m,n)=\infty .}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell /m}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

También es posible fijar una relación funcional entre y , y examinar el límite a medida que ambos parámetros crecen simultáneamente, manteniendo esta relación. Diferentes elecciones de esta relación pueden llevar a cualquiera de los dos comportamientos descritos anteriormente, convergencia al área correcta o divergencia al infinito. Por ejemplo, establecer (para una constante arbitraria ) y tomar el límite para grande lleva a la convergencia al área correcta, mientras que establecer lleva a la divergencia. Un tercer tipo de comportamiento límite se obtiene estableciendo . Para esta elección, En este caso, el área de la linterna Schwarz, parametrizada de esta manera, converge, pero a un valor mayor que el área del cilindro. Cualquier área mayor deseada se puede obtener haciendo una elección apropiada de la constante . ^[16] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=cn}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=cn^{3}}$ ${\displaystyle m=cn^{2}}$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A(cn^{2},n)=2\pi r{\sqrt {\ell ^{2}+{\frac {r^{2}\pi ^{4}c^{2}}{4}}}}.}$$ ${\displaystyle c}$

Véase también

• Kaleidocycle , una cadena de tetraedros unidos de borde a borde como una linterna Schwarz degenerada con ${\displaystyle n=2}$
• El fenómeno de Runge , otro ejemplo de fracaso de la convergencia

Notas

1. Gandon y Perrin (2009) sitúan la fecha con mayor precisión a principios de la década de 1890, ^[10] pero esto se contradice con el uso que hace Hermite de este ejemplo en 1883. Kennedy (1980) fecha la comunicación de Schwarz a Genocchi sobre este tema en 1880, y el redescubrimiento de Peano en 1882. ^[11]
2. Otras fuentes pueden utilizar parametrizaciones diferentes; por ejemplo, Dubrovsky (1991) utiliza en lugar de para indicar el número de cilindros. ^[17] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$
3. La sagitta de un arco circular es la distancia desde el punto medio del arco hasta el punto medio de su cuerda.

Referencias

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Enlaces externos

• Bogomolny, Alexander. "La linterna Schwarz explicada". Cortar el nudo .
• Marx, Jean-Pierre (17 de septiembre de 2016). “La linterna Schwarz”. Contraejemplos matemáticos .