En geometría , un polígono estrella es un tipo de polígono no convexo . Se han estudiado en profundidad los polígonos de estrellas regulares ; Si bien los polígonos de estrella en general parecen no haber sido definidos formalmente, algunos notables pueden surgir mediante operaciones de truncamiento en polígonos de estrella o simples regulares.
Branko Grünbaum identificó dos usos principales de esta terminología por parte de Johannes Kepler , uno correspondiente a los polígonos estelares regulares con aristas que se cruzan y que no generan nuevos vértices, y el otro a los polígonos simples cóncavos isotoxales . [1]
Los poligramas incluyen polígonos como el pentagrama , pero también figuras compuestas como el hexagrama .
Una definición de polígono estrella , utilizada en los gráficos de tortugas , es un polígono que tiene q ≥ 2 vueltas ( q se llama número de vueltas o densidad ), como en los espirolaterales . [2]
Los nombres de polígonos estrella combinan un prefijo numérico , como penta- , con el sufijo griego -grama (generando en este caso la palabra pentagrama ). El prefijo es normalmente un cardenal griego , pero existen sinónimos que utilizan otros prefijos. Por ejemplo, un polígono o eneagrama de nueve puntas también se conoce como nonagrama , utilizando el ordinal nona del latín . [ cita necesaria ] El sufijo -gram deriva de γραμμή ( grammḗ ), que significa una línea. [3] El nombre de polígono estelar refleja el parecido de estas formas con los picos de difracción de estrellas reales.
Un polígono estrella regular es un polígono que se interseca a sí mismo, es equilátero y equiangular .
Un polígono estrella regular se denota por su símbolo de Schläfli { p / q }, donde p (el número de vértices) y q (la densidad ) son primos relativos (no comparten factores) y donde q ≥ 2. La densidad de un polígono También se le puede llamar número de giro : la suma de los ángulos de giro de todos los vértices, dividida por 360°.
El grupo de simetría de { p / q } es el grupo diédrico D p , de orden 2 p , independiente de q .
Los polígonos de estrellas regulares fueron estudiados sistemáticamente por primera vez por Thomas Bradwardine y más tarde por Johannes Kepler . [4]
Los polígonos en estrella regulares se pueden crear conectando un vértice de un polígono simple regular de lados p a otro vértice, no adyacente al primero, y continuando el proceso hasta que se alcance nuevamente el vértice original. [5] Alternativamente, para números enteros pyq , se puede considerar que se construye conectando cada q -ésimo punto de p puntos regularmente espaciados en una ubicación circular. [6] Por ejemplo, en un pentágono regular, se puede obtener una estrella de cinco puntas trazando una línea desde el 1º al 3º vértice, desde el 3º al 5º vértice, desde el 5º al 2º vértice, desde el 2º al 4º vértice, y del 4º al 1º vértice.
Si q ≥ p /2, entonces la construcción de { p / q } dará como resultado el mismo polígono que { p /( p − q )}; conectar cada tercer vértice del pentágono producirá un resultado idéntico al de conectar cada segundo vértice. Sin embargo, los vértices se alcanzarán en la dirección opuesta, lo que marca la diferencia cuando se incorporan polígonos retrógrados en politopos de dimensiones superiores. Por ejemplo, un antiprisma formado a partir de un pentagrama progrado {5/2} da como resultado un antiprisma pentagramático ; la construcción análoga de un "pentagrama cruzado" retrógrado {5/3} da como resultado un antiprisma cruzado pentagramático . Otro ejemplo es el tetrahemihexaedro , que puede verse como un "triángulo cruzado" {3/2} cuploide .
Si p y q no son coprimos, resultará un polígono degenerado con vértices y aristas coincidentes. Por ejemplo, {6/2} aparecerá como un triángulo, pero se puede etiquetar con dos conjuntos de vértices: 1-3 y 4-6. Esto no debe verse como dos triángulos superpuestos, sino como un hexágono unicursal único de doble vuelta. [7] [8]
Alternativamente, también se puede obtener un polígono estelar regular como una secuencia de estelaciones de un polígono central regular convexo . Las construcciones basadas en estelación también permiten obtener compuestos poligonales regulares en los casos en que la densidad q y la cantidad p de los vértices no son coprimos. Sin embargo, al construir polígonos estelares a partir de la estelación, si q > p /2, las líneas divergirán infinitamente, y si q = p /2, las líneas serán paralelas, y ambas no darán como resultado más intersecciones en el espacio euclidiano. Sin embargo, puede ser posible construir algunos de estos polígonos en el espacio esférico, de manera similar al monógono y al digono ; estos polígonos aún no parecen haber sido estudiados en detalle.
Cuando los segmentos de línea que se cruzan se eliminan de una estrella regular n -gon, la figura resultante ya no es regular, sino que puede verse como un 2 n -gon simple cóncavo isotoxal , que alterna vértices en dos radios diferentes. Branko Grünbaum , en Mosaicos y patrones , representa una estrella que coincide con el contorno de un poligrama regular { n / d } como | n / d |, o más generalmente con { n 𝛼 }, que denota una estrella isotoxal de n puntas, cóncava o no.
Estos polígonos se ven a menudo en patrones de mosaico. El ángulo paramétrico 𝛼 (en grados o radianes) se puede elegir para que coincida con los ángulos internos de los polígonos vecinos en un patrón de teselación. En su obra de 1619 Harmonices Mundi , entre los mosaicos periódicos, Johannes Kepler incluye mosaicos no periódicos, como aquel con tres pentágonos regulares y un pentágono en estrella regular que se ajusta alrededor de ciertos vértices, 5.5.5.5/2, y está relacionado con los mosaicos modernos de Penrose . [9]
El interior de un polígono estrella puede tratarse de diferentes maneras. Se ilustran tres de estos tratamientos para un pentagrama. Branko Grünbaum y Geoffrey Shephard consideran dos de ellos, como estrellas n -gons regulares y como 2 n -gons simples cóncavos isotoxales . [9]
Estos tres tratamientos son:
Cuando se calcula el área del polígono, cada uno de estos enfoques produce un resultado diferente.
Los polígonos estelares ocupan un lugar destacado en el arte y la cultura. Estos polígonos pueden ser regulares o no , pero siempre son muy simétricos . Ejemplos incluyen: