En geometría , un polígono en forma de estrella es una región poligonal en el plano que es un dominio estelar , es decir, un polígono que contiene un punto desde el cual es visible todo el límite del polígono .
Formalmente, un polígono P tiene forma de estrella si existe un punto z tal que para cada punto p de P el segmento se encuentre completamente dentro de P. [1] El conjunto de todos los puntos z con esta propiedad (es decir, el conjunto de puntos desde los cuales todo P es visible) se llama núcleo de P.
Si un polígono en forma de estrella es convexo , la distancia de enlace entre dos de sus puntos (el número mínimo de segmentos de línea secuenciales suficientes para conectar esos puntos) es 1, por lo que el diámetro de enlace del polígono (la distancia máxima de enlace sobre todos los pares de puntos) es 1. Si un polígono en forma de estrella no es convexo, la distancia de enlace entre un punto en el núcleo y cualquier otro punto en el polígono es 1, mientras que la distancia de enlace entre dos puntos cualesquiera que están en el polígono pero fuera del el núcleo es 1 o 2; en este caso la distancia máxima del enlace es 2.
Los polígonos convexos tienen forma de estrella y un polígono convexo coincide con su propio núcleo.
Los polígonos de estrella regulares tienen forma de estrella y su centro siempre está en el núcleo.
Los antiparalelogramos y los hexágonos de Lemoine que se cruzan entre sí tienen forma de estrella y el núcleo consta de un solo punto.
Los polígonos de visibilidad tienen forma de estrella ya que, por definición, cada punto dentro de ellos debe ser visible desde el centro.
Probar si un polígono tiene forma de estrella y encontrar un único punto en el núcleo se puede resolver en tiempo lineal formulando el problema como un programa lineal y aplicando técnicas de programación lineal de baja dimensión (ver http://www.inf .ethz.ch/personal/emo/PublFiles/SubexLinProg_ALG16_96.pdf, página 16).
Cada arista de un polígono define un semiplano interior , el semiplano cuyo límite se encuentra en la línea que contiene el borde y que contiene los puntos del polígono en una vecindad de cualquier punto interior del borde. El núcleo de un polígono es la intersección de todos sus semiplanos interiores. La intersección de un conjunto arbitrario de N semiplanos se puede encontrar en el tiempo Θ ( N log N ) utilizando el enfoque de divide y vencerás . [1] Sin embargo, para el caso de núcleos de polígonos, es posible un método más rápido: Lee & Preparata (1979) [2] presentaron un algoritmo para construir el núcleo en tiempo lineal.
