Polígono convexo

Polígono que es el límite de un conjunto convexo.

Un ejemplo de polígono convexo: un pentágono regular .

En geometría , un polígono convexo es un polígono que es el límite de un conjunto convexo . Esto significa que el segmento de recta entre dos puntos del polígono está contenido en la unión del interior y el límite del polígono. En particular, es un polígono simple (que no se cruza a sí mismo ). ^[1] De manera equivalente, un polígono es convexo si cada línea que no contiene ningún borde corta el polígono en como máximo dos puntos.

Un polígono estrictamente convexo es un polígono convexo tal que ninguna línea contiene dos de sus aristas. En un polígono convexo, todos los ángulos interiores son menores o iguales a 180 grados, mientras que en un polígono estrictamente convexo todos los ángulos interiores son estrictamente menores de 180 grados.

Propiedades

Las siguientes propiedades de un polígono simple son todas equivalentes a la convexidad:

• Todo ángulo interno es menor o igual a 180 grados .
• Cada punto en cada segmento de línea entre dos puntos dentro o sobre el límite del polígono permanece dentro o sobre el límite.
• El polígono está enteramente contenido en un semiplano cerrado definido por cada una de sus aristas.
• Para cada arista, los puntos interiores están todos en el mismo lado de la línea que define la arista.
• El ángulo en cada vértice contiene todos los demás vértices en sus aristas e interior.
• El polígono es la cáscara convexa de sus aristas.

Las propiedades adicionales de los polígonos convexos incluyen:

• La intersección de dos polígonos convexos es un polígono convexo.
• Un polígono convexo se puede triangular en tiempo lineal mediante una triangulación en abanico , que consiste en sumar diagonales de un vértice a todos los demás vértices.
• Teorema de Helly : Para cada colección de al menos tres polígonos convexos: si todas las intersecciones de todos los polígonos excepto uno no están vacías, entonces la intersección de todos los polígonos no está vacía.
• Teorema de Krein-Milman : Un polígono convexo es la cáscara convexa de sus vértices. Por lo tanto, está completamente definido por el conjunto de sus vértices, y solo se necesitan las esquinas del polígono para recuperar toda la forma del polígono.
• Teorema de separación de hiperplanos : dos polígonos convexos cualesquiera sin puntos en común tienen una línea separadora. Si los polígonos son cerrados y al menos uno de ellos es compacto, entonces existen incluso dos líneas separadoras paralelas (con un espacio entre ellas).
• Propiedad del triángulo inscrito : De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo, existe un triángulo con un área máxima cuyos vértices son todos vértices de polígono. ^[2]
• Propiedad del triángulo inscriptor : todo polígono convexo con área puede inscribirse en un triángulo de área como máximo igual a . La igualdad se cumple (exclusivamente) para un paralelogramo . ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2A}$
• Propiedad de rectángulos inscritos/inscritos : Para cada cuerpo convexo en el plano, podemos inscribir un rectángulo de modo que una copia homotética de esté circunscrita y la relación de homotecia positiva sea como máximo 2 y . ^[4] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)}$
• El ancho medio de un polígono convexo es igual a su perímetro dividido por . Entonces su ancho es el diámetro de un círculo con el mismo perímetro que el polígono. ^[5] ${\displaystyle \pi }$

Cada polígono inscrito en un círculo (de modo que todos los vértices del polígono tocan el círculo), si no se intersecta a sí mismo , es convexo. Sin embargo, no todos los polígonos convexos pueden inscribirse en un círculo.

Convexidad estricta

Las siguientes propiedades de un polígono simple son todas equivalentes a una convexidad estricta:

• Todo ángulo interno mide estrictamente menos de 180 grados.
• Cada segmento de línea entre dos puntos en el interior, o entre dos puntos en el límite pero no en el mismo borde, es estrictamente interior al polígono (excepto en sus puntos finales si están en los bordes).
• Para cada arista, los puntos interiores y los puntos límite no contenidos en la arista están en el mismo lado de la línea que define la arista.
• El ángulo en cada vértice contiene todos los demás vértices en su interior (excepto el vértice dado y los dos vértices adyacentes).

Todo triángulo no degenerado es estrictamente convexo.

Ver también

• Curva convexa  – Tipo de curva plana
• Polígono cóncavo  : polígono simple que no es convexo.
• Politopo convexo  : casco convexo de un conjunto finito de puntos en un espacio euclidiano
• Polígono cíclico  : puntos en un círculo comúnPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Curva implícita § Aproximación suave de polígonos convexos
• Polígono tangencial  : polígono convexo que contiene un círculo inscrito.

Referencias

1. Definición y propiedades de polígonos convexos con animación interactiva.
2. Chandran, Sharat; Monte, David M. (1992). "Un algoritmo paralelo para triángulos encerrados y encerrados". Revista internacional de aplicaciones y geometría computacional . 2 (2): 191–214. doi :10.1142/S0218195992000123. SEÑOR  1168956.
3. Weisstein, Eric W. "Triángulo circunscrito". Mundo matemático Wolfram .
4. Lassak, M. (1993). "Aproximación de cuerpos convexos mediante rectángulos". Geometriae Dedicata . 47 : 111-117. doi :10.1007/BF01263495. S2CID  119508642.
5. Belk, Jim. "¿Cuál es el ancho medio de un polígono convexo?". Intercambio de pila de matemáticas .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Polígono convexo". MundoMatemático .
• http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
• Schorn, Peter; Fisher, Frederick (1994), "I.2 Prueba de la convexidad de un polígono", en Heckbert, Paul S. (ed.), Graphics Gems IV, Morgan Kaufmann (Academic Press), págs. 7-15, ISBN 9780123361554