En geometría , un politopo (p. ej., un polígono o poliedro ) o un mosaico es isogonal o transitivo de vértices si todos sus vértices son equivalentes bajo las simetrías de la figura. Esto implica que cada vértice está rodeado por los mismos tipos de caras en el mismo orden o en orden inverso, y con los mismos ángulos entre las caras correspondientes.
Técnicamente, se dice que para dos vértices cualesquiera existe una simetría del politopo que mapea el primero isométricamente sobre el segundo. Otras formas de decir esto son que el grupo de automorfismos del politopo actúa transitivamente sobre sus vértices, o que los vértices se encuentran dentro de una única órbita de simetría .
Todos los vértices de una figura isogonal finita de n dimensiones existen en una ( n −1) -esfera . [ cita necesaria ]
El término isogonal se ha utilizado durante mucho tiempo para los poliedros. Transitivo de vértice es un sinónimo tomado de ideas modernas como los grupos de simetría y la teoría de grafos .
El pseudorombicuboctaedro , que no es isogonal, demuestra que simplemente afirmar que "todos los vértices tienen el mismo aspecto" no es tan restrictivo como la definición utilizada aquí, que involucra el grupo de isometrías que preservan el poliedro o mosaico.
Todos los polígonos regulares , apeirógonos y polígonos regulares en forma de estrella son isogonales . El dual de un polígono isogonal es un polígono isotoxal .
Algunos polígonos y apeirógonos de lados pares que alternan dos longitudes de aristas, por ejemplo un rectángulo , son isogonales .
Todos los 2 n -gónos isogonales planos tienen simetría diédrica (D n , n = 2, 3, ...) con líneas de reflexión a través de los puntos del borde medio.
Un poliedro isogonal y un mosaico 2D tienen un solo tipo de vértice. Un poliedro isogonal con todas las caras regulares también es un poliedro uniforme y puede representarse mediante una notación de configuración de vértices que secuencia las caras alrededor de cada vértice. A las variaciones geométricamente distorsionadas de poliedros y mosaicos uniformes también se les puede dar la configuración de vértice.
Los poliedros isogonales y los mosaicos 2D se pueden clasificar además:
Estas definiciones pueden extenderse a politopos y teselaciones de dimensiones superiores . Todos los politopos uniformes son isogonales , por ejemplo, los 4 politopos uniformes y los panales uniformes convexos .
El dual de un politopo isogonal es una figura isoédrica , que es transitiva en sus facetas .
Un politopo o mosaico puede denominarse k -isogonal si sus vértices forman k clases de transitividad. Un término más restrictivo, k -uniforme , se define como una figura k-isogonal construida únicamente a partir de polígonos regulares . Se pueden representar visualmente con colores mediante diferentes coloraciones uniformes .