En geometría , el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien , [1] llamado así en honor a William Wallace , Farkas Bolyai y P. Gerwien, es un teorema relacionado con las disecciones de polígonos . Responde a la pregunta de cuándo se puede formar un polígono a partir de otro cortándolo en un número finito de piezas y recomponiéndolas mediante traslaciones y rotaciones . El teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que esto se puede hacer si y sólo si dos polígonos tienen la misma área .
Wallace ya había demostrado el mismo resultado en 1807.
Según otras fuentes, Bolyai y Gerwien habían demostrado el teorema de forma independiente en 1833 y 1835, respectivamente.
Hay varias formas en que se puede formular este teorema. La versión más común utiliza el concepto de "equidescomponibilidad" de los polígonos: dos polígonos son equidescomponibles si se pueden dividir en un número finito de triángulos que sólo difieren por alguna isometría (de hecho, sólo por una combinación de una traslación y una rotación). En este caso, el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que dos polígonos son equidecomponibles si y sólo si tienen la misma área.
Otra formulación es en términos de congruencia de tijera : dos polígonos son congruentes en tijera si se pueden descomponer en un número finito de polígonos que sean congruentes por pares . La congruencia en tijera es una relación de equivalencia . En este caso, el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que las clases de equivalencia de esta relación contienen precisamente aquellos polígonos que tienen la misma área.
El teorema se puede entender en unos pocos pasos. En primer lugar, cada polígono se puede cortar en triángulos. Existen algunos métodos para esto. Para los polígonos convexos se puede cortar cada vértice por turno, mientras que para los polígonos cóncavos esto requiere más cuidado. Un enfoque general que también funciona para polígonos no simples sería elegir una línea que no sea paralela a ninguno de los lados del polígono y dibujar una línea paralela a ésta a través de cada uno de los vértices del polígono. Esto dividirá el polígono en triángulos y trapecios , que a su vez se pueden convertir en triángulos.
En segundo lugar, cada uno de estos triángulos se puede transformar en un triángulo rectángulo y posteriormente en un rectángulo con un lado de longitud 1. Alternativamente, un triángulo se puede transformar en uno de esos rectángulos convirtiéndolo primero en un paralelogramo y luego convirtiéndolo en un rectángulo de este tipo. rectángulo. Al hacer esto para cada triángulo, el polígono se puede descomponer en un rectángulo con unidades de ancho y alto iguales a su área.
Dado que esto se puede hacer para dos polígonos cualesquiera, una "subdivisión común" del rectángulo intermedio demuestra el teorema. Es decir, cortar el rectángulo común (de tamaño 1 por su área) según ambos polígonos será un intermedio entre ambos polígonos.
En primer lugar, esta prueba requiere un polígono intermedio. En la formulación del teorema que utiliza la congruencia de tijera, el uso de este intermedio se puede reformular utilizando el hecho de que las congruencias de tijera son transitivas. Dado que tanto el primer polígono como el segundo polígono son congruentes en tijera con el intermedio, son congruentes en tijera entre sí.
La demostración de este teorema es constructiva y no requiere el axioma de elección , aunque algunos otros problemas de disección (por ejemplo, el problema del círculo cuadrado de Tarski ) sí lo necesitan. En este caso, la descomposición y el reensamblaje se pueden realizar "físicamente": las piezas, en teoría, se pueden cortar de papel con tijeras y volver a ensamblar a mano.
Sin embargo, el número de piezas necesarias para componer un polígono a partir de otro utilizando este procedimiento generalmente supera con creces el número mínimo de polígonos necesarios. [2]
Considere dos polígonos equidecomponibles P y Q. El número mínimo n de piezas necesarias para componer un polígono Q a partir de otro polígono P se denota por σ( P , Q ).
Dependiendo de los polígonos, es posible estimar los límites superior e inferior de σ( P , Q ). Por ejemplo, Alfred Tarski demostró que si P es convexo y los diámetros de P y Q están dados respectivamente por d( P ) y d( Q ), entonces [3]
Si P x es un rectángulo de lados a · x y a · (1/ x ) y Q es un rectángulo de tamaño a , entonces P x y Q son equidecomponibles para todo x > 0. Un límite superior para σ( P x , Q ) viene dado por [3]
Como σ( P x , Q ) = σ( P (1/ x ) , Q ), también tenemos que
La afirmación análoga sobre los poliedros en tres dimensiones, conocida como el tercer problema de Hilbert , es falsa, como lo demostró Max Dehn en 1900. El problema también se ha considerado en algunas geometrías no euclidianas . En geometría bidimensional hiperbólica y esférica , el teorema se cumple. Sin embargo, el problema sigue abierto para estas geometrías en tres dimensiones.
