Grupo hiperbólico

Concepto matemático

En teoría de grupos , más precisamente en teoría de grupos geométricos , un grupo hiperbólico , también conocido como grupo hiperbólico de palabras o grupo hiperbólico de Gromov , es un grupo finitamente generado equipado con una métrica de palabras que satisface ciertas propiedades abstraídas de la geometría hiperbólica clásica . La noción de grupo hiperbólico fue introducida y desarrollada por Mikhail Gromov  (1987). La inspiración provino de varias teorías matemáticas existentes: geometría hiperbólica pero también topología de baja dimensión (en particular los resultados de Max Dehn sobre el grupo fundamental de una superficie hiperbólica de Riemann y fenómenos más complejos en topología tridimensional ) y teoría de grupos combinatorios . En un capítulo muy influyente (más de 1000 citas ^[1] ) de 1987, Gromov propuso un programa de investigación de amplio alcance. Las ideas y el material fundamental en la teoría de los grupos hiperbólicos también provienen del trabajo de George Mostow , William Thurston , James W. Cannon , Eliyahu Rips y muchos otros.

Definición

Sea un grupo finitamente generado, y sea su grafo de Cayley con respecto a algún conjunto finito de generadores. El conjunto está dotado de su métrica de grafo (en la que las aristas tienen longitud uno y la distancia entre dos vértices es el número mínimo de aristas en un camino que los conecta) que lo convierte en un espacio de longitud . Se dice entonces que el grupo es hiperbólico si es un espacio hiperbólico en el sentido de Gromov. En pocas palabras, esto significa que existe un tal que cualquier triángulo geodésico en es -delgado, como se ilustra en la figura de la derecha (se dice entonces que el espacio es -hiperbólico). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

A priori, esta definición depende de la elección de un conjunto generador finito . Que esto no es así se desprende de los dos hechos siguientes: ${\displaystyle S}$

• Los grafos de Cayley correspondientes a dos conjuntos generadores finitos son siempre cuasi isométricos entre sí;
• cualquier espacio geodésico que sea cuasi isométrico a un espacio geodésico Gromov-hiperbólico es en sí mismo Gromov-hiperbólico.

De este modo, podemos hablar legítimamente de un grupo finitamente generado como hiperbólico sin hacer referencia a un conjunto generador. Por otra parte, un espacio que es cuasi-isométrico a un espacio -hiperbólico es en sí mismo -hiperbólico para algunos , pero este último depende tanto del original como de la cuasi-isometría, por lo que no tiene sentido hablar de ser -hiperbólico. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '>0}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \delta }$

Observaciones

El lema de Švarc–Milnor ^[2] establece que si un grupo actúa de manera discontinua y con cociente compacto (esta acción se suele llamar geométrica ) en un espacio de longitud propia , entonces es finitamente generado y cualquier grafo de Cayley para es cuasi-isométrico a . Por lo tanto, un grupo es (finitamente generado e) hiperbólico si y solo si tiene una acción geométrica en un espacio hiperbólico propio. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$

Si es un subgrupo con índice finito (es decir, el conjunto es finito), entonces la inclusión induce una cuasi-isometría en los vértices de cualquier grafo de Cayley localmente finito de en cualquier grafo de Cayley localmente finito de . Por lo tanto , es hiperbólico si y solo si él mismo es. De manera más general, si dos grupos son conmensurables , entonces uno es hiperbólico si y solo si el otro lo es. ${\displaystyle G'\subset G}$ ${\displaystyle G/G'}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplos

Grupos hiperbólicos elementales

Los ejemplos más simples de grupos hiperbólicos son los grupos finitos (cuyos grafos de Cayley son de diámetro finito, por lo tanto -hiperbólicos con igual a este diámetro). ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

Otro ejemplo sencillo lo da el grupo cíclico infinito : el gráfico de Cayley de con respecto al conjunto generador es una línea, por lo que todos los triángulos son segmentos de línea y el gráfico es -hiperbólico. De ello se deduce que cualquier grupo que sea virtualmente cíclico (contenga una copia de de índice finito) también es hiperbólico, por ejemplo el grupo diedro infinito . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los miembros de esta clase de grupos a menudo se denominan grupos hiperbólicos elementales (la terminología es una adaptación de la de acciones en el plano hiperbólico).

Grupos libres y grupos que actúan sobre los árboles

Sea un conjunto finito y sea el grupo libre con conjunto generador . Entonces el grafo de Cayley de con respecto a es un árbol localmente finito y, por lo tanto, un espacio 0-hiperbólico. Por lo tanto, es un grupo hiperbólico. ${\displaystyle S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F}$

De manera más general, vemos que cualquier grupo que actúa de manera propiamente discontinua sobre un árbol localmente finito (en este contexto, esto significa exactamente que los estabilizadores en los vértices son finitos) es hiperbólico. De hecho, esto se deduce del hecho de que tiene un subárbol invariante sobre el que actúa con cociente compacto y del lema de Svarc-Milnor. De hecho, tales grupos son virtualmente libres (es decir, contienen un subgrupo libre finitamente generado de índice finito), lo que da otra prueba de su hiperbolicidad. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Un ejemplo interesante es el grupo modular : actúa sobre el árbol dado por el 1-esqueleto de la teselación asociada del plano hiperbólico y tiene un subgrupo libre de índice finito (sobre dos generadores) de índice 6 (por ejemplo, el conjunto de matrices en las que se reduce a la identidad módulo 2 es un grupo de este tipo). Nótese una característica interesante de este ejemplo: actúa propiamente de forma discontinua sobre un espacio hiperbólico (el plano hiperbólico ) pero la acción no es cocompacta (y de hecho no es cuasi-isométrica al plano hiperbólico). ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Grupos fucsias

Generalizando el ejemplo del grupo modular, un grupo fuchsiano es un grupo que admite una acción propiamente discontinua en el plano hiperbólico (equivalentemente, un subgrupo discreto de ). El plano hiperbólico es un espacio -hiperbólico y, por lo tanto, el lema de Svarc-Milnor nos dice que los grupos fuchsianos cocompactos son hiperbólicos. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \delta }$

Ejemplos de ello son los grupos fundamentales de superficies cerradas de característica de Euler negativa . De hecho, estas superficies pueden obtenerse como cocientes del plano hiperbólico, como lo implica el teorema de uniformización de Poincaré-Koebe .

Otra familia de ejemplos de grupos fuchsianos cocompactos está dada por los grupos triangulares : todos, salvo un número finito, son hiperbólicos.

Curvatura negativa

Generalizando el ejemplo de las superficies cerradas, los grupos fundamentales de variedades compactas de Riemann con curvatura seccional estrictamente negativa son hiperbólicos. Por ejemplo, las redes cocompactas en el grupo ortogonal o unitario que conservan una forma de firma son hiperbólicas. ${\displaystyle (n,1)}$

Una generalización adicional la dan los grupos que admiten una acción geométrica sobre un espacio CAT(k) , cuando es cualquier número negativo. ^{[3] Existen ejemplos que no son conmensurables con ninguna de las construcciones anteriores (por ejemplo, grupos que actúan geométricamente sobre} edificios hiperbólicos ). ${\displaystyle k}$

Grupos de cancelación pequeños

Los grupos que tienen presentaciones que satisfacen condiciones de cancelación pequeña son hiperbólicos. Esto proporciona una fuente de ejemplos que no tienen un origen geométrico como los que se dieron anteriormente. De hecho, una de las motivaciones para el desarrollo inicial de los grupos hiperbólicos fue dar una interpretación más geométrica de la cancelación pequeña.

Grupos aleatorios

En cierto sentido, la "mayoría" de los grupos finitos con relaciones definitorias grandes son hiperbólicos. Para una explicación cuantitativa de lo que esto significa, véase Grupo aleatorio .

No-ejemplos

• El ejemplo más simple de un grupo que no es hiperbólico es el grupo abeliano de rango libre 2. De hecho, es cuasi isométrico al plano euclidiano , que se ve fácilmente que no es hiperbólico (por ejemplo, debido a la existencia de homotecias ). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• En términos más generales, cualquier grupo que contenga como subgrupo no es hiperbólico. ^{[4] [5]} En particular, las redes en grupos de Lie semisimples de rango superior y los grupos fundamentales de complementos de nudos no triviales caen en esta categoría y, por lo tanto, no son hiperbólicos. Este también es el caso de los grupos de clases de mapeo de superficies hiperbólicas cerradas. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus K)}$
• Los grupos Baumslag-Solitar B ( m , n ) y cualquier grupo que contenga un subgrupo isomorfo a algún B ( m , n ) no son hiperbólicos (ya que B (1,1) = , esto generaliza el ejemplo anterior). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• Una red no uniforme en un grupo de Lie simple de rango 1 es hiperbólica si y solo si el grupo es isógeno a (equivalentemente, el espacio simétrico asociado es el plano hiperbólico). Un ejemplo de esto lo dan los grupos de nudos hiperbólicos . Otro son los grupos de Bianchi , por ejemplo . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}({\sqrt {-1}})}$

Propiedades

Propiedades algebraicas

• Los grupos hiperbólicos satisfacen la alternativa de Tits : o bien son virtualmente solubles (esta posibilidad sólo la satisfacen los grupos hiperbólicos elementales) o bien tienen un subgrupo isomorfo a un grupo libre no abeliano.
• Los grupos hiperbólicos no elementales no son simples en un sentido muy fuerte: si es hiperbólico no elemental entonces existe un subgrupo infinito tal que y son ambos infinitos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\triangleleft G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$
• No se sabe si existe un grupo hiperbólico que no sea residualmente finito .

Propiedades geométricas

• Los grupos hiperbólicos no elementales (infinitos y no virtualmente cíclicos) siempre tienen una tasa de crecimiento exponencial (esto es una consecuencia de la alternativa de Tits).
• Los grupos hiperbólicos satisfacen una desigualdad isoperimétrica lineal . ^[6]

Propiedades homológicas

• Los grupos hiperbólicos siempre se presentan finitamente . De hecho, se puede construir explícitamente un complejo (el complejo de Rips ) que sea contráctil y sobre el cual el grupo actúe geométricamente ^[7], por lo que es de tipo F _∞ . Cuando el grupo no presenta torsión, la acción es libre, lo que demuestra que el grupo tiene una dimensión cohomológica finita .
• En 2002, I. Mineyev demostró que los grupos hiperbólicos son exactamente aquellos grupos finitamente generados para los cuales el mapa de comparación entre la cohomología acotada y la cohomología ordinaria es sobreyectiva en todos los grados o, equivalentemente, en el grado 2. ^[8]

Propiedades algorítmicas

• Los grupos hiperbólicos tienen un problema de palabras solucionable . Son biautomáticos y automáticos . ^[9] De hecho, son fuertemente geodésicamente automáticos , es decir, existe una estructura automática en el grupo, donde el lenguaje aceptado por el aceptor de palabras es el conjunto de todas las palabras geodésicas.
• En 2010 se demostró que los grupos hiperbólicos tienen un problema de isomorfismo marcado decidible . ^[10] Es notable que esto significa que el problema de isomorfismo, los problemas de órbita (en particular el problema de conjugación) y el problema de Whitehead son todos decidibles.
• Cannon y Swenson han demostrado que los grupos hiperbólicos con una 2-esfera en el infinito tienen una regla de subdivisión natural . ^[11] Esto está relacionado con la conjetura de Cannon .

Generalizaciones

Grupos relativamente hiperbólicos

Los grupos relativamente hiperbólicos son una clase que generaliza los grupos hiperbólicos. A grandes rasgos, ^[12] es hiperbólico en relación con una colección de subgrupos si admite una acción propiamente discontinua ( no necesariamente cocompacta ) sobre un espacio hiperbólico propio que es "agradable" en el límite de y tal que los estabilizadores en de los puntos en el límite son subgrupos en . Esto es interesante cuando tanto y la acción de sobre no son elementales (en particular es infinita: por ejemplo, ¡cada grupo es hiperbólico en relación con sí mismo a través de su acción sobre un único punto!). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos interesantes en esta clase incluyen en particular redes no uniformes en grupos de Lie semisimples de rango 1 , por ejemplo, grupos fundamentales de variedades hiperbólicas no compactas de volumen finito. No ejemplos son redes en grupos de Lie de rango superior y grupos de clases de mapeo.

Grupos hiperbólicos acilíndricos

Una noción aún más general es la de un grupo hiperbólico acilíndrico. ^[13] La acilinaje de una acción de un grupo en un espacio métrico es un debilitamiento de la discontinuidad propia de la acción. ^[14] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Se dice que un grupo es acilíndricamente hiperbólico si admite una acción acilíndrica no elemental en un espacio Gromov-hiperbólico ( no necesariamente propio ). Esta noción incluye la aplicación de grupos de clases a través de sus acciones en complejos de curvas . Las redes en grupos de Lie de rango superior (¡todavía!) no son acilíndricamente hiperbólicas.

Grupos CAT(0)

En otra dirección, se puede debilitar la suposición sobre la curvatura en los ejemplos anteriores: un grupo CAT(0) es un grupo que admite una acción geométrica en un espacio CAT(0) . Esto incluye grupos cristalográficos euclidianos y redes uniformes en grupos de Lie de rango superior.

No se sabe si existe un grupo hiperbólico que no sea CAT(0). ^[15]

Notas

1. Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos". En Gersten, SM (ed.). Ensayos sobre teoría de grupos. Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas, vol. 8. Nueva York, NY: Springer. págs. 75–263.
2. Bowditch 2006, Teorema 3.6.
3. Para una prueba de que esto incluye los ejemplos anteriores, consulte https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/
4. Ghys y de la Harpe 1990, cap. 8, jue. 37.
5. Bridson y Haefliger 1999, Capítulo 3.Γ, Corolario 3.10.
6. Bowditch 2006, (F4) en el párrafo 6.11.2.
7. Ghys y de la Harpe 1990, capítulo 4.
8. Mineyev 2002.
9. Charney 1992.
10. Dahmani y Guirardel 2011.
11. Cannon y Swenson 1998.
12. Bowditch 2012.
13. Osin 2016.
14. Con cierto detalle: pide que para cada existan tales que para cada dos puntos que estén al menos separados haya como máximo elementos que satisfagan y . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle R,N>0}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle d(x,gx)<\varepsilon }$ ${\displaystyle d(y,gy)<\varepsilon }$
15. "¿Son todos los grupos δ-hiperbólicos CAT(0)?". Stack Exchange . 10 de febrero de 2015.

Referencias

• Bridson, Martín R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. vol. 319. Berlín: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 3-540-64324-9.Señor 1744486  .

• Bowditch, Brian (2006). Un curso sobre teoría de grupos geométricos (PDF) . MSJ Memoirs. Vol. 16. Tokio: Sociedad Matemática de Japón . doi :10.1142/e003. ISBN. 4-931469-35-3.Señor 2243589  .

• Bowditch, Brian (2012). "Grupos relativamente hiperbólicos" (PDF) . Revista Internacional de Álgebra y Computación . 22 (3): 1250016, 66 pp. doi :10.1142/S0218196712500166. MR  2922380. S2CID  261118194.

• Cannon, James W. ; Swenson, Eric L. (1998). "Reconocimiento de grupos discretos de curvatura constante en dimensión 3". Transactions of the American Mathematical Society . 350 (2): 809–849. doi : 10.1090/S0002-9947-98-02107-2 . MR  1458317.
• Charney, Ruth (1992). "Los grupos de Artin de tipo finito son biautomáticos". Mathematische Annalen . 292 (4): 671–683. doi :10.1007/BF01444642. MR  1157320. S2CID  120654588.
• Dahmani, François; Guirardel, Vincent (2011). "El problema del isomorfismo para todos los grupos hiperbólicos". Análisis geométrico y funcional . 21 (2): 223–300. arXiv : 1002.2590 . doi :10.1007/s00039-011-0120-0. S2CID  115165062.
• Ghys, Étienne ; de la Harpe, Pierre, eds. (1990). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov [ Grupos hiperbólicos en la teoría de Mikhael Gromov ]. Progreso en Matemáticas (en francés). vol. 83. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. doi :10.1007/978-1-4684-9167-8. ISBN 0-8176-3508-4.Señor 1086648  .
• Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos". En Gersten, Steve M. (ed.). Ensayos sobre teoría de grupos . Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas. Vol. 8. Nueva York: Springer. págs. 75–263. doi :10.1007/978-1-4613-9586-7_3. ISBN 0-387-96618-8.Sr .  0919829.
• Mineyev, Igor (2002). "La cohomología acotada caracteriza a los grupos hiperbólicos". Quarterly Journal of Mathematics . 53 (1): 59–73. doi :10.1093/qjmath/53.1.59. MR  1887670.
• Osin, Denis (2016). "Grupos hiperbólicos acilíndricos". Transacciones de la American Mathematical Society . 368 (2): 851–888. arXiv : 1304.1246 . doi :10.1090/tran/6343. MR  3430352. S2CID  21624534.

Lectura adicional

• Coornaert, Michel; Delzant, Thomas; Papadopoulos, Athanase (1990). Géométrie et théorie des groupes: les groupes hyperboliques de Gromov [ Geometría y teoría de grupos: grupos hiperbólicos de Gromov ]. Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 1441. Berlín: Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0084913. ISBN 3-540-52977-2.Sr. 1075994  .
• Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Dinámica simbólica y grupos hiperbólicos . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1539. Berlín: Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0092577. ISBN. 3-540-56499-3.Señor 1222644  .
• "Espacio hiperbólico de Gromov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]