Extensión de grupo

Grupo para el cual un grupo determinado es un subgrupo normal

En matemáticas , una extensión de grupo es un medio general de describir un grupo en términos de un subgrupo normal particular y un grupo de cocientes . Si y son dos grupos, entonces es una extensión de by si hay una secuencia exacta corta ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle 1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1.}$

Si es una extensión de by , entonces es un grupo, es un subgrupo normal de y el grupo cociente es isomorfo al grupo . Las extensiones de grupo surgen en el contexto del problema de extensión , donde se conocen los grupos y y se deben determinar las propiedades de. Tenga en cuenta que algunos también utilizan la frase " es una extensión de por ". ^[1] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \iota (N)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/\iota (N)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q}$

Dado que cualquier grupo finito posee un subgrupo normal máximo con un grupo de factores simples , todos los grupos finitos pueden construirse como una serie de extensiones con grupos finitos simples . Este hecho fue una motivación para completar la clasificación de grupos finitos simples . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Una extensión se llama extensión central si el subgrupo se encuentra en el centro de . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Extensiones en general

Una extensión, el producto directo , resulta inmediatamente obvia. Si se requiere que y sean grupos abelianos , entonces el conjunto de clases de isomorfismo de extensiones de por un grupo dado (abeliano) es de hecho un grupo, que es isomorfo a ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(Q,N);}$

cf. el funtor externo . Se conocen varias otras clases generales de extensiones, pero no existe ninguna teoría que trate todas las extensiones posibles al mismo tiempo. La extensión del grupo suele describirse como un problema difícil; se denomina problema de extensión .

Para considerar algunos ejemplos, si , entonces es una extensión de ambos y . De manera más general, si es un producto semidirecto de y , escrito como , entonces es una extensión de by , por lo que productos como el producto corona proporcionan más ejemplos de extensiones. ${\displaystyle G=K\times H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G=K\rtimes H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$

Problema de extensión

La cuestión de qué grupos son extensiones de by se denomina problema de extensión y se ha estudiado intensamente desde finales del siglo XIX. En cuanto a su motivación, considere que la serie de composición de un grupo finito es una secuencia finita de subgrupos , donde cada uno es una extensión de algún grupo simple . La clasificación de grupos finitos simples nos da una lista completa de grupos finitos simples; entonces la solución al problema de extensión nos daría suficiente información para construir y clasificar todos los grupos finitos en general. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ ${\displaystyle \{A_{i+1}\}}$ ${\displaystyle \{A_{i}\}}$

Clasificación de extensiones

Resolver el problema de la extensión equivale a clasificar todas las extensiones de H por K ; o más prácticamente, expresando todas esas extensiones en términos de objetos matemáticos que sean más fáciles de entender y calcular. En general, este problema es muy difícil y todos los resultados más útiles clasifican extensiones que satisfacen alguna condición adicional.

Figura 1

Es importante saber cuándo dos extensiones son equivalentes o congruentes. Decimos que las extensiones

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}H\to 1}$

y

${\displaystyle 1\to K{\stackrel {i'}{{}\to {}}}G'{\stackrel {\pi '}{{}\to {}}}H\to 1}$

son equivalentes (o congruentes) si existe un isomorfismo de grupo que haga conmutativo el diagrama de la Figura 1. De hecho es suficiente tener un homomorfismo de grupo; Debido a la supuesta conmutatividad del diagrama, el lema corto de cinco obliga al mapa a ser un isomorfismo . ${\displaystyle T:G\to G'}$ ${\displaystyle T}$

Advertencia

Puede suceder que las extensiones y no sean equivalentes pero G y G' sean isomorfos como grupos. Por ejemplo, hay extensiones no equivalentes del grupo de cuatro de Klein por , ^[2] pero, hasta el isomorfismo de grupo, solo hay cuatro grupos de orden que contienen un subgrupo normal de orden con un grupo cociente isomorfo al grupo de cuatro de Klein . ${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$ ${\displaystyle 1\to K\to G^{\prime }\to H\to 1}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle 2}$

Extensiones triviales

Una extensión trivial es una extensión.

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

eso es equivalente a la extensión

${\displaystyle 1\to K\to K\times H\to H\to 1}$

donde las flechas izquierda y derecha son respectivamente la inclusión y la proyección de cada factor de . ${\displaystyle K\times H}$

Clasificación de extensiones divididas

Una extensión dividida es una extensión.

${\displaystyle 1\to K\to G\to H\to 1}$

con un homomorfismo tal que pasar de H a G por s y luego regresar a H mediante el mapa de cociente de la secuencia exacta corta induce el mapa de identidad en H , es decir, . En esta situación, generalmente se dice que s divide la secuencia exacta anterior . ${\displaystyle s\colon H\to G}$ ${\displaystyle \pi \circ s=\mathrm {id} _{H}}$

Las extensiones divididas son muy fáciles de clasificar , porque una extensión se divide si y sólo si el grupo G es un producto semidirecto de K y H. Los productos semidirectos en sí mismos son fáciles de clasificar, porque están en correspondencia uno a uno con homomorfismos de , donde Aut( K ) es el grupo de automorfismos de K . Para obtener una explicación completa de por qué esto es cierto, consulte producto semidirecto . ${\displaystyle H\to \operatorname {Aut} (K)}$

Advertencia sobre la terminología

En general, en matemáticas, una extensión de una estructura K suele considerarse como una estructura L de la cual K es una subestructura. Véase, por ejemplo, extensión de campo . Sin embargo, en la teoría de grupos se ha introducido la terminología opuesta, en parte debido a la notación , que se lee fácilmente como extensiones de Q por N , y la atención se centra en el grupo Q. ${\displaystyle \operatorname {Ext} (Q,N)}$

Un artículo de Ronald Brown y Timothy Porter sobre la teoría de las extensiones nobelianas de Otto Schreier utiliza la terminología de que una extensión de K proporciona una estructura más grande. ^[3]

Ampliación central

Una extensión central de un grupo G es una secuencia corta y exacta de grupos.

${\displaystyle 1\to A\to E\to G\to 1}$

tal que A está incluido en el centro del grupo E. El conjunto de clases de isomorfismo de extensiones centrales de G por A está en correspondencia uno a uno con el grupo de cohomología . ${\displaystyle Z(E)}$ ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$

Se pueden construir ejemplos de extensiones centrales tomando cualquier grupo G y cualquier grupo abeliano A , y estableciendo E como . Este tipo de ejemplo de división corresponde al elemento 0 en la correspondencia anterior. Se da otro ejemplo de división para un subgrupo normal A con E establecido en el producto semidirecto . Se encuentran ejemplos más serios en la teoría de las representaciones proyectivas , en los casos en los que la representación proyectiva no puede elevarse a una representación lineal ordinaria . ${\displaystyle A\times G}$ ${\displaystyle H^{2}(G,A)}$ ${\displaystyle A\rtimes G}$

En el caso de grupos perfectos finitos , existe una extensión central perfecta universal .

De manera similar, la extensión central de un álgebra de Lie es una secuencia exacta ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {a}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

tal que está en el centro de . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}}$

Existe una teoría general de las extensiones centrales en las variedades Maltsev . ^[4]

Generalización a extensiones generales.

Existe una clasificación similar de todas las extensiones de G por A en términos de homomorfismos de , una condición de existencia tediosa pero explícitamente verificable que involucra y el grupo de cohomología . ^[5] ${\displaystyle G\to \operatorname {Out} (A)}$ ${\displaystyle H^{3}(G,Z(A))}$ ${\displaystyle H^{2}(G,Z(A))}$

grupos de mentiras

En la teoría de grupos de Lie , las extensiones centrales surgen en relación con la topología algebraica . En términos generales, las extensiones centrales de grupos de Lie por grupos discretos son lo mismo que los grupos de cobertura . Más precisamente, un espacio de cobertura conectado G ^∗ de un grupo de Lie conectado G es naturalmente una extensión central de G , de tal manera que la proyección

${\displaystyle \pi \colon G^{*}\to G}$

es un homomorfismo de grupo y sobreyectivo. (La estructura de grupo en G ^∗ depende de la elección de un elemento de identidad que se corresponda con la identidad en G .) Por ejemplo, cuando G ^∗ es la cobertura universal de G , el núcleo de π es el grupo fundamental de G , que se conoce ser abeliano (ver espacio H ). Por el contrario, dado un grupo de Lie G y un subgrupo central discreto Z , el cociente G / Z es un grupo de Lie y G es un espacio que lo cubre.

De manera más general, cuando los grupos A , E y G que ocurren en una extensión central son grupos de Lie, y las aplicaciones entre ellos son homomorfismos de grupos de Lie, entonces si el álgebra de Lie de G es g , la de A es a y la de E es e , entonces e es una extensión central del álgebra de Lie de g por a . En la terminología de la física teórica , los generadores de a se denominan cargas centrales . Estos generadores están en el centro de e ; Según el teorema de Noether , los generadores de grupos de simetría corresponden a cantidades conservadas, denominadas cargas .

Los ejemplos básicos de extensiones centrales como grupos de cobertura son:

• los grupos de espín , que cubren doblemente los grupos ortogonales especiales , que (en dimensión par) cubren doblemente el grupo ortogonal proyectivo .
• los grupos metaplécticos , que cubren doblemente a los grupos simplécticos .

El caso de SL ₂ ( R ) implica un grupo fundamental que es cíclico infinito . Aquí la extensión central involucrada es bien conocida en la teoría de formas modulares , en el caso de formas de peso ½ . Una representación proyectiva que corresponde es la representación de Weil , construida a partir de la transformada de Fourier , en este caso sobre la recta real . Los grupos metaplécticos también ocurren en la mecánica cuántica .

Ver también

• Extensión de álgebra de mentiras
• Álgebra de Virasoro
• Extensión HNN
• Contracción del grupo
• Extensión de un grupo topológico

Referencias

1. grupo+extensión#Definición en el n Lab Observación 2.2.
2. página no. 830, Dummit, David S., Foote, Richard M., Álgebra abstracta (tercera edición), John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, Nueva Jersey (2004).
3. Marrón, Ronald ; Porter, Timoteo (1996). "Sobre la teoría de Schreier de extensiones no abelianas: generalizaciones y cálculos". Actas de la Sección A de la Real Academia Irlandesa . 96 (2): 213–227. SEÑOR  1641218.
4. Janelidze, George; Kelly, Gregory Maxwell (2000). "Extensiones centrales en variedades Malt'sev". Teoría y Aplicaciones de Categorías . 7 (10): 219–226. SEÑOR  1774075.
5. PJ Morandi, Extensiones de grupo y H3 Archivado el 17 de mayo de 2018 en Wayback Machine . De su colección de notas matemáticas breves.

• Mac Lane, Saunders (1975), Homología , Clásicos de las matemáticas, Springer Verlag , ISBN 3-540-58662-8
• RL Taylor, Cubriendo grupos de grupos topológicos no conectados, Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , vol. 5 (1954), 753–768.
• R. Brown y O. Mucuk, Revisión de grupos de cobertura de grupos topológicos no conectados, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 115 (1994), 97-110.