Grupo metapléctico

En matemáticas , el grupo metapléctico Mp _{2 n} es una doble cobertura del grupo simpléctico Sp _{2 n} . Puede definirse sobre números reales o p -ádicos . La construcción cubre de manera más general el caso de un cuerpo local o finito arbitrario , e incluso el anillo de Adeles .

El grupo metapléctico tiene una representación lineal de dimensión infinita particularmente significativa , la representación de Weil . ^[1] Fue utilizada por André Weil para dar una interpretación teórica de la representación de las funciones theta , y es importante en la teoría de formas modulares de peso semiintegral y la correspondencia theta .

Definición

El grupo fundamental del grupo de Lie simpléctico Sp _2n ( R ) es cíclico infinito , por lo que tiene una única cubierta doble conexa, que se denota Mp _{2 n} ( R ) y se llama grupo metapléctico .

El grupo metapléctico Mp ₂ ( R ) no es un grupo matricial : no tiene representaciones fieles de dimensión finita . Por lo tanto, la cuestión de su realización explícita no es trivial. Tiene representaciones fieles de dimensión infinita irreducibles, como la representación de Weil que se describe a continuación.

Se puede demostrar que si F es cualquier cuerpo local distinto de C , entonces el grupo simpléctico Sp _{2 n} ( F ) admite una única extensión central perfecta con núcleo Z /2 Z , el grupo cíclico de orden 2, que se llama grupo metapléctico sobre F . Sirve como reemplazo algebraico de la noción topológica de recubrimiento 2-fold utilizada cuando F = R . El enfoque a través de la noción de extensión central es útil incluso en el caso de un grupo metapléctico real, porque permite una descripción de la operación del grupo a través de un cierto cociclo .

Construcción explícita paranorte= 1

En el caso n = 1 , el grupo simpléctico coincide con el grupo lineal especial SL ₂ ( R ) . Este grupo actúa biholomórficamente sobre el semiplano superior complejo mediante transformaciones lineales fraccionarias, como la transformación de Möbius ,

${\displaystyle g\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}}$

dónde

${\displaystyle g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$

es una matriz real de 2 por 2 con el determinante unitario y z está en el semiplano superior, y esta acción se puede utilizar para construir explícitamente la cubierta metapléctica de SL ₂ ( R ).

Los elementos del grupo metapléctico Mp ₂ ( R ) son los pares ( g , ε ), donde y ε es una función holomorfa en el semiplano superior tal que . La ley de multiplicación se define por: ${\displaystyle g\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \epsilon (z)^{2}=cz+d=j(g,z)}$

${\displaystyle (g_{1},\epsilon _{1})\cdot (g_{2},\epsilon _{2})=(g_{1}g_{2},\epsilon ),}$ dónde ${\displaystyle \epsilon (z)=\epsilon _{1}(g_{2}\cdot z)\epsilon _{2}(z).}$

Que este producto está bien definido se desprende de la relación de cociclo . El mapa ${\displaystyle j(g_{1}g_{2},z)=j(g_{1},g_{2}\cdot z)j(g_{2},z)}$

${\displaystyle (g,\epsilon )\mapsto g}$

es una sobreyección de Mp ₂ ( R ) a SL ₂ ( R ) que no admite una sección continua. Por lo tanto, hemos construido una cubierta doble no trivial del último grupo.

Construcción de la representación de Weil

Primero damos una razón bastante abstracta de por qué existe la representación de Weil. El grupo de Heisenberg tiene una representación unitaria irreducible en un espacio de Hilbert , es decir, ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \rho :\mathbb {H} (V)\longrightarrow U({\mathcal {H}})}$

con el centro actuando como una constante dada distinta de cero. El teorema de Stone-von Neumann establece que esta representación es esencialmente única: si es otra representación similar, existe un automorfismo. ${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \psi \in U({\mathcal {H}})}$de tal manera que . ${\displaystyle \rho '=\operatorname {Ad} _{\psi }(\rho )}$

y el automorfismo conjugante es proyectivamente único, es decir, hasta una constante multiplicativa de módulo 1. Por lo tanto, cualquier automorfismo del grupo de Heisenberg, que induce la identidad en el centro, actúa sobre esta representación —para ser precisos, la acción solo está bien definida hasta la multiplicación por una constante distinta de cero. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Los automorfismos del grupo de Heisenberg (que fijan su centro) forman el grupo simpléctico , por lo que a primera vista esto parece dar una acción del grupo simpléctico sobre . Sin embargo, la acción solo está definida hasta la multiplicación por una constante distinta de cero, en otras palabras, solo se puede aplicar el automorfismo del grupo a la clase . Por lo tanto, solo obtenemos un homomorfismo del grupo simpléctico al grupo unitario proyectivo de ; en otras palabras, una representación proyectiva . La teoría general de las representaciones proyectivas se aplica entonces, para dar una acción de alguna extensión central del grupo simpléctico sobre . Un cálculo muestra que esta extensión central puede tomarse como una doble cobertura, y esta doble cobertura es el grupo metapléctico. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle [\psi ]\in \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Ahora damos una construcción más concreta en el caso más simple de Mp ₂ ( R ). El espacio de Hilbert H es entonces el espacio de todas las funciones L ² sobre los reales. El grupo de Heisenberg se genera por traslaciones y por multiplicación por las funciones e ^ixy de x , para y real. Luego la acción del grupo metapléctico sobre H se genera por la transformada de Fourier y la multiplicación por las funciones exp( ix ² y ) de x , para y real.

Generalizaciones

Weil mostró cómo extender la teoría anterior reemplazando por cualquier grupo abeliano localmente compacto G , que por la dualidad de Pontryagin es isomorfo a su dual (el grupo de caracteres). El espacio de Hilbert H es entonces el espacio de todas las funciones L ² en G . El (análogo de) el grupo de Heisenberg se genera por traslaciones por elementos de G , y multiplicación por elementos del grupo dual (considerados como funciones de G al círculo unitario). Hay un análogo del grupo simpléctico que actúa sobre el grupo de Heisenberg, y esta acción se eleva a una representación proyectiva en H . La extensión central correspondiente del grupo simpléctico se llama grupo metapléctico. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Algunos ejemplos importantes de esta construcción los damos:

• G es un espacio vectorial sobre los números reales de dimensión n . Esto da un grupo metapléctico que es una doble cobertura del grupo simpléctico Sp _{2 n} ( R ).
• De manera más general, G puede ser un espacio vectorial sobre cualquier cuerpo local F de dimensión n . Esto da un grupo metapléctico que es una doble cobertura del grupo simpléctico Sp _{2 n} ( F ).
• G es un espacio vectorial sobre los adeles de un cuerpo numérico (o cuerpo global ). Este caso se utiliza en el enfoque teórico de la representación para las formas automórficas .
• G es un grupo finito. El grupo metapléctico correspondiente es entonces también finito, y la cobertura central es trivial. Este caso se utiliza en la teoría de funciones theta de redes, donde típicamente G será el grupo discriminante de una red par .
• David Kazhdan propuso un punto de vista moderno sobre la existencia de la representación de Weil lineal (no proyectiva) sobre un cuerpo finito, a saber, que admite una realización canónica del espacio de Hilbert . Utilizando la noción de operadores entrelazados canónicos sugerida por Joseph Bernstein , Gurevich-Hadani construyó una realización de este tipo. ^[2]

Véase también

• Grupo de Heisenberg
• Representación del oscilador
• Estructura metapléctica
• Par dual reductivo
• Grupo Spin , otra doble portada
• Grupo simpléctico
• Función theta

Notas

1. Weil, A. (1964). "Sur ciertos grupos de operadores unitarios". Acta Matemáticas . 111 : 143–211. doi : 10.1007/BF02391012 .
2. Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (31 de mayo de 2007). "Cuantización de espacios vectoriales simplécticos sobre cuerpos finitos". arXiv : 0705.4556 [math.RT].

Referencias

• Howe, Roger; Tan, Eng-Chye (1992), Análisis armónico no abeliano. Aplicaciones de SL(2, R ) , Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97768-3
• Lion, Gerard; Vergne, Michele (1980), La representación de Weil, índice de Maslov y serie theta , Progress in Mathematics, vol. 6, Boston: Birkhäuser
• Weil, André (1964), "Sur ciertos grupos de operadores unitarios", Acta Math. , 111 : 143–211, doi : 10.1007/BF02391012
• Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (2006), "La representación geométrica de Weil", Selecta Mathematica , Nueva serie, arXiv : math/0610818 , Bibcode :2006math.....10818G
• Gurevich, Shamgar; Hadani, Ronny (2005), Cuantización canónica de espacios vectoriales simplécticos sobre campos finitos , arXiv : 0705.4556

Enlaces externos

• Weissman, Martin H. (mayo de 2023). "¿Qué es... un grupo metapléctico?" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 70 (5): 806–811. doi : 10.1090/noti2687 .