Estructura metapléctica

En geometría diferencial , una estructura metapléctica es el análogo simpléctico de la estructura de espín en variedades de Riemann orientables . Una estructura metapléctica en una variedad simpléctica permite definir el fibrado espinoral simpléctico , que es el fibrado espacial de Hilbert asociado a la estructura metapléctica a través de la representación metapléctica, dando lugar a la noción de un campo espinoral simpléctico en geometría diferencial.

Las estructuras de espín simplécticas tienen amplias aplicaciones en la física matemática , en particular en la teoría cuántica de campos , donde son un ingrediente esencial para establecer la idea de que la geometría de espín simpléctica y los operadores de Dirac simplécticos pueden proporcionar herramientas valiosas en geometría simpléctica y topología simpléctica. También son de interés puramente matemático en geometría diferencial , topología algebraica y teoría K. Forman la base de la geometría de espín simpléctica.

Definición formal

Una estructura metapléctica ^[1] en una variedad simpléctica es una elevación equivariante del fibrado simpléctico con respecto al doble recubrimiento. En otras palabras, un par es una estructura metapléctica en el fibrado principal cuando ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\to M\,}$ ${\displaystyle \rho \colon {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })\to {\mathrm {Sp} }(n,{\mathbb {R} }).\,}$ ${\displaystyle ({\mathbf {P} },F_{\mathbf {P} })}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\to M\,}$

a) es un fibrado principal sobre , ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ ${\displaystyle {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle M}$

b) es un mapa de recubrimiento de pliegues equivariante tal que ${\displaystyle F_{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to {\mathbf {R} }\,}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\circ F_{\mathbf {P} }=\pi _{\mathbf {P} }}$y para todos y ${\displaystyle F_{\mathbf {P} }({\mathbf {p} }q)=F_{\mathbf {P} }({\mathbf {p} })\rho (q)}$ ${\displaystyle {\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} }}$ ${\displaystyle q\in {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} }).}$

El haz principal también se denomina haz de cuadros metaplécticos sobre . ${\displaystyle \pi _{\mathbf {P} }\colon {\mathbf {P} }\to M\,}$ ${\displaystyle M}$

Dos estructuras metaplécticas y en la misma variedad simpléctica se llaman equivalentes si existe una función -equivariante tal que ${\displaystyle ({\mathbf {P} _{1}},F_{\mathbf {P} _{1}})}$ ${\displaystyle ({\mathbf {P} _{2}},F_{\mathbf {P} _{2}})}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle f\colon {\mathbf {P} _{1}}\to {\mathbf {P} _{2}}}$

${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}\circ f=F_{\mathbf {P} _{1}}}$y para todos y ${\displaystyle f({\mathbf {p} }q)=f({\mathbf {p} })q}$ ${\displaystyle {\mathbf {p} }\in {\mathbf {P} _{1}}}$ ${\displaystyle q\in {\mathrm {Mp} }(n,{\mathbb {R} }).}$

Por supuesto, en este caso y son dos recubrimientos dobles equivalentes del fibrado simpléctico de la variedad simpléctica dada . ${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{1}}}$ ${\displaystyle F_{\mathbf {P} _{2}}}$ ${\displaystyle {\mathrm {Sp} }(n,{\mathbb {R} })}$ ${\displaystyle \pi _{\mathbf {R} }\colon {\mathbf {R} }\to M\,}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

Obstrucción

Puesto que cada variedad simpléctica es necesariamente de dimensión par y orientable , se puede demostrar que la obstrucción topológica a la existencia de estructuras metaplécticas es precisamente la misma que en la geometría de espín de Riemann . ^[2] En otras palabras, una variedad simpléctica admite estructuras metaplécticas si y solo si la segunda clase de Stiefel-Whitney de se desvanece. De hecho, la reducción módulo de la primera clase de Chern es la segunda clase de Stiefel-Whitney . Por lo tanto, admite estructuras metaplécticas si y solo si es par, es decir, si y solo si es cero. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle w_{2}(M)\in H^{2}(M,{\mathbb {Z} _{2}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle _{2}}$ ${\displaystyle c_{1}(M)\in H^{2}(M,{\mathbb {Z} })}$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle c_{1}(M)}$ ${\displaystyle w_{2}(M)}$

Si este es el caso, las clases de isomorfía de las estructuras metaplécticas en se clasifican por el primer grupo de cohomología de con coeficientes . ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle H^{1}(M,{\mathbb {Z} _{2}})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} _{2}}}$

Como se supone que la variedad está orientada, la primera clase de Stiefel-Whitney también desaparece. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle w_{1}(M)\in H^{1}(M,{\mathbb {Z} _{2}})}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

Variedades que admiten una estructura metapléctica

• Espacios de fases de cualquier variedad orientable. ${\displaystyle (T^{\ast }N,\theta )\,,}$ ${\displaystyle N}$
• Espacios proyectivos complejos Dado que es simplemente conexo, dicha estructura tiene que ser única. ${\displaystyle {\mathbb {P} }^{2k+1}{\mathbb {C} }\,,}$ ${\displaystyle \,k\in {\mathbb {N} }_{0}\,.}$ ${\displaystyle {\mathbb {P} }^{2k+1}{\mathbb {C} }\,}$
• Grassmaniano etc. ${\displaystyle Gr(2,4)\,,}$

Véase también

• Grupo metapléctico
• Paquete de marcos simplécticos
• Grupo simpléctico
• Fibro espinorial simpléctico

Notas

1. Habermann, Katharina; Habermann, Lutz (2006), Introducción a los operadores simplécticos de Dirac , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33420-0página 35
2. M. Forger, H. Hess (1979). "Estructuras metaplécticas universales y cuantificación geométrica" ​​(PDF) . Commun. Math. Phys . 64 : 269–278. doi :10.1007/bf01221734.

Referencias

• Habermann, Katharina; Habermann, Lutz (2006), Introducción a los operadores simplécticos de Dirac , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33420-0