En matemáticas , más específicamente en teoría de grupos , se dice que un grupo es perfecto si es igual a su propio subgrupo conmutador , o equivalentemente, si el grupo no tiene cocientes abelianos no triviales (equivalentemente, su abelianización , que es el cociente abeliano universal, es trivial). En símbolos, un grupo perfecto es uno tal que G (1) = G (el subgrupo conmutador es igual al grupo), o equivalentemente uno tal que G ab = {1} (su abelianización es trivial).
El grupo perfecto más pequeño (no trivial) es el grupo alterno A 5 . En términos más generales, cualquier grupo simple no abeliano es perfecto ya que el subgrupo conmutador es un subgrupo normal con cociente abeliano. Por el contrario, un grupo perfecto no necesita ser simple; por ejemplo, el grupo lineal especial sobre el cuerpo con 5 elementos, SL(2,5) (o el grupo icosaédrico binario , que es isomorfo a él) es perfecto pero no simple (tiene un centro no trivial que contiene a ).
El producto directo de dos grupos simples no abelianos cualesquiera es perfecto pero no simple; el conmutador de dos elementos es [( a , b ),( c , d )] = ([ a , c ],[ b , d ]). Como los conmutadores de cada grupo simple forman un conjunto generador, los pares de conmutadores forman un conjunto generador del producto directo.
El grupo fundamental de es un grupo perfecto de orden 120. [1]
De manera más general, un grupo cuasisimple (una extensión central perfecta de un grupo simple) que es una extensión no trivial (y por lo tanto no un grupo simple en sí mismo) es perfecto pero no simple; esto incluye todos los grupos lineales especiales finitos no simples insolubles SL( n , q ) como extensiones del grupo lineal especial proyectivo PSL( n , q ) (SL(2,5) es una extensión de PSL(2,5), que es isomorfo a A 5 ). De manera similar, el grupo lineal especial sobre los números reales y complejos es perfecto, pero el grupo lineal general GL nunca es perfecto (excepto cuando es trivial o sobre , donde es igual al grupo lineal especial), ya que el determinante da una abelianización no trivial y, de hecho, el subgrupo conmutador es SL.
Sin embargo, un grupo perfecto no trivial no es necesariamente resoluble ; y 4 divide su orden (si es finito), además, si 8 no divide el orden, entonces 3 sí lo hace. [2]
Todo grupo acíclico es perfecto, pero la inversa no es cierta: A 5 es perfecto pero no acíclico (de hecho, ni siquiera superperfecto ), véase (Berrick & Hillman 2003). De hecho, para el grupo alternado es perfecto pero no superperfecto, con para .
Todo cociente de un grupo perfecto es perfecto. Un grupo perfecto finito no trivial que no sea simple debe ser entonces una extensión de al menos un grupo simple no abeliano más pequeño. Pero puede ser la extensión de más de un grupo simple. De hecho, el producto directo de grupos perfectos también es perfecto.
Todo grupo perfecto G determina otro grupo perfecto E (su extensión central universal ) junto con una sobreyección f : E → G cuyo núcleo está en el centro de E, de modo que f es universal con esta propiedad. El núcleo de f se llama multiplicador de Schur de G porque fue estudiado por primera vez por Issai Schur en 1904; es isomorfo al grupo de homología .
En la construcción positiva de la K-teoría algebraica , si consideramos el grupo de un anillo conmutativo , entonces el subgrupo de matrices elementales forma un subgrupo perfecto.
Como el subgrupo de conmutadores es generado por conmutadores, un grupo perfecto puede contener elementos que son productos de conmutadores pero no conmutadores en sí mismos. Øystein Ore demostró en 1951 que los grupos alternados en cinco o más elementos contenían solo conmutadores, y conjeturó que esto era así para todos los grupos simples no abelianos finitos. La conjetura de Ore fue finalmente demostrada en 2008. La prueba se basa en el teorema de clasificación . [3]
Un hecho básico sobre los grupos perfectos es la proposición de Otto Grün del lema de Grün (Grün 1935, Satz 4, [nota 1] p. 3): el cociente de un grupo perfecto por su centro no tiene centro (tiene centro trivial).
Demostración: Si G es un grupo perfecto, sean Z 1 y Z 2 los dos primeros términos de la serie central superior de G (es decir, Z 1 es el centro de G , y Z 2 / Z 1 es el centro de G / Z 1 ). Si H y K son subgrupos de G , denotemos el conmutador de H y K por [ H , K ] y observemos que [ Z 1 , G ] = 1 y [ Z 2 , G ] ⊆ Z 1 , y en consecuencia (se sigue la convención de que [ X , Y , Z ] = [[ X , Y ], Z ]):
Por el lema de los tres subgrupos (o equivalentemente, por la identidad de Hall-Witt ), se sigue que [ G , Z 2 ] = [[ G , G ], Z 2 ] = [ G , G , Z 2 ] = {1}. Por lo tanto, Z 2 ⊆ Z 1 = Z ( G ), y el centro del grupo cociente G / Z ( G ) es el grupo trivial .
Como consecuencia, todos los centros superiores (es decir, los términos superiores en la serie central superior ) de un grupo perfecto son iguales al centro.
En términos de homología de grupo , un grupo perfecto es precisamente aquel cuyo primer grupo de homología se anula: H 1 ( G , Z ) = 0, pues el primer grupo de homología de un grupo es exactamente la abelianización del grupo, y perfecto significa abelianización trivial. Una ventaja de esta definición es que admite fortalecimiento:
Especialmente en el campo de la K-teoría algebraica , se dice que un grupo es cuasi-perfecto si su subgrupo conmutador es perfecto; en símbolos, un grupo cuasi-perfecto es uno tal que G (1) = G (2) (el conmutador del subgrupo conmutador es el subgrupo conmutador), mientras que un grupo perfecto es uno tal que G (1) = G (el subgrupo conmutador es el grupo entero). Véase (Karoubi 1973, pp. 301–411) e (Inassaridze 1995, p. 76).
![{\displaystyle [Z_{2},G,G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ffe55c439afb2112997df3ea9bf2fed853b6cb9)
![{\displaystyle [G,Z_{2},G]=[[G,Z_{2}],G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0018f0b71cd9fc08b926f4481c741707baf30039)
