La relación de Legendre

En matemáticas, la relación de Legendre se puede expresar en cualquiera de dos formas: como una relación entre integrales elípticas completas , o como una relación entre períodos y cuasiperíodos de funciones elípticas . Las dos formas son equivalentes ya que los períodos y cuasiperíodos se pueden expresar en términos de integrales elípticas completas. Fue introducido (para integrales elípticas completas) por AM Legendre  (1811, 1825, p. 61).

Integrales elípticas completas

La relación de Legendre expresada usando integrales elípticas completas es

${\displaystyle K'E+KE'-KK'={\frac {\pi }{2}}}$

donde K y K ′ son las integrales elípticas completas del primer tipo para valores que satisfacen k ² + k ′ ² = 1 , y E y E ′ son las integrales elípticas completas del segundo tipo.

Esta forma de relación de Legendre expresa el hecho de que el Wronskiano de las integrales elípticas completas (consideradas como soluciones de una ecuación diferencial) es una constante.

Funciones elípticas

La relación de Legendre expresada usando funciones elípticas es

${\displaystyle \omega _{2}\eta _{1}-\omega _{1}\eta _{2}=2\pi i\,}$

donde ω ₁ y ω ₂ son los períodos de la función elíptica de Weierstrass , y η ₁ y η ₂ son los cuasi períodos de la función zeta de Weierstrass . Algunos autores los normalizan de una manera diferente, difiriendo por factores de 2, en cuyo caso el lado derecho de la relación de Legendre es π i o  π i  / 2. Esta relación se puede probar integrando la función zeta de Weierstrass sobre el límite de un región fundamental y aplicando el teorema del residuo de Cauchy .

Prueba

Prueba del caso lemniscatico

El arco seno lemniscatico y el arcoseno lemniscatico complementario se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (r)=\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} ^{*}(r)=\int _{0}^{r}{\frac {1+\rho ^{2}}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\sqrt {2}}\,E{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr ]}}$

Y estas derivadas son válidas:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatorname {arcsl} (r)={\frac {1}{\sqrt {1-r^{4}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatorname {arcsl} ^{*}(r)={\frac {1+r^{2}}{\sqrt {1-r^{4}}}}={\biggl (}{\frac {1+r^{2}}{1-r^{2}}}{\biggr )}^{1/2}}$

El caso lemniscático de la identidad de Legendre se puede mostrar de esta manera:

Se da la siguiente fórmula, que utiliza las funciones del arco lemniscático como antiderivadas:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\operatorname {arcsl} ^{*}(x)-{\frac {1-x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\operatorname {arcsl} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}$

Al construir la antiderivada original con relación a x, aparece esta fórmula:

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (x){\bigl [}\operatorname {arcsl} ^{*}(x)-\operatorname {arcsl} (x){\bigr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}{\biggl [}\operatorname {artanh} (y^{2})-\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y}$

Al poner el valor en esa fórmula, se genera el siguiente resultado: ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (1){\bigl [}\operatorname {arcsl} ^{*}(1)-\operatorname {arcsl} (1){\bigr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}}$

Debido a las identidades de las funciones K, F y E, esta fórmula se puede deducir directamente de ese resultado:

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl [}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr ]}={\frac {\pi }{2}}}$

Prueba del caso general.

Según la derivación que se acaba de realizar, el resultado anterior es válido y se muestra aquí de forma resumida:

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

Ahora el caso general modular se demostrará a continuación. Para ello se derivan las derivadas de las integrales elípticas completas. Y luego se determina la derivación del equilibrio de identidad de Legendre.

Prueba de la derivada de la integral elíptica de primer tipo:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon (1-2x^{2}+\varepsilon ^{2}x^{4})}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}E(\varepsilon )-{\frac {1}{\varepsilon }}K(\varepsilon )-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\varepsilon x{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}$

Prueba de la derivada de la integral elíptica de segunda especie:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}}$

Para los contramódulos pitagóricos y según la regla de la cadena esta relación es válida:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

Porque la derivada de la función circular es el producto negativo de la llamada función idéntica y el recíproco de la función circular. La relación de Legendre siempre incluye productos de dos integrales elípticas completas. Para derivar el lado de la función a partir de la escala de la ecuación de la identidad de Legendre, ahora se aplica la regla del producto de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

De estas tres ecuaciones, sumar las dos ecuaciones superiores y restar la ecuación inferior da este resultado:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0}$

En relación con ε, la balanza da constantemente el valor cero.

El resultado previamente determinado se aplica al módulo de esta manera: ${\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

La combinación de las dos últimas fórmulas da el siguiente resultado:

${\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\pi }{2}}}$

Porque si la derivada de una función continua toma constantemente el valor cero, entonces la función en cuestión es una función constante. Esto significa que esta función da como resultado el mismo valor de función para cada valor de abscisa ε y, por lo tanto, el gráfico de función asociado es una línea recta horizontal.

Referencias

• Duren, Peter (1991), "La relación de Legendre para integrales elípticas", en Ewing, John H.; Gehring, FW (eds.), Paul Halmos. Celebrando 50 años de matemáticas, Nueva York: Springer-Verlag, págs. 305-315, doi :10.1007/978-1-4612-0967-6_32, ISBN 0-387-97509-8, señor  1113282
• Karatsuba, EA; Vuorinen, M. (2001), "Sobre funciones hipergeométricas y generalizaciones de la relación de Legendre", J. Math. Anal. Aplica. , 260 (2): 623–640, SEÑOR  1845572
• Legendre, AM (1811), Ejercicios de cálculo integral sur divers ordres de trascendentantes et sur les quadratures , vol. Yo, París
• Legendre, AM (1825), Traité des fonctions elliptiques et des integrales eulériennes , vol. Yo, París