En la teoría del orden , se dice que un conjunto X parcialmente ordenado satisface la condición de cadena contable , o es ccc , si cada anticadena fuerte en X es contable .
En realidad, existen dos condiciones: las condiciones de la cadena contable hacia arriba y hacia abajo . Estos no son equivalentes. La condición de cadena contable significa la condición de cadena contable hacia abajo; en otras palabras, no hay dos elementos que tengan un límite inferior común.
Esto se denomina "condición de cadena contable" en lugar del término más lógico "condición de anticadena contable" por razones históricas relacionadas con ciertas cadenas de conjuntos abiertos en espacios topológicos y cadenas en álgebras booleanas completas, donde las condiciones de cadena a veces resultan ser equivalentes a anticadena. condiciones. Por ejemplo, si κ es un cardinal, entonces en un álgebra booleana completa cada anticadena tiene un tamaño menor que κ si y solo si no hay una secuencia κ descendente de elementos, por lo que las condiciones de la cadena son equivalentes a las condiciones de la anticadena.
En el enunciado del axioma de Martin se utilizan órdenes parciales y espacios que satisfacen el ccc .
En la teoría del forzamiento , se utilizan órdenes parciales ccc porque el forzamiento con cualquier conjunto genérico sobre dicho orden preserva los cardinales y las cofinalidades. Además, la propiedad ccc se conserva mediante iteraciones de soporte finitas (ver forzado iterado ). Para obtener más información sobre ccc en el contexto del forzamiento, consulte Forzamiento (teoría de conjuntos) § La condición de la cadena contable .
De manera más general, si κ es cardinal, entonces se dice que un poset satisface la condición de la cadena κ si cada anticadena tiene un tamaño menor que κ. La condición de cadena contable es la condición de cadena ℵ 1 .
Se dice que un espacio topológico satisface la condición de cadena contable, o condición de Suslin , si el conjunto parcialmente ordenado de subconjuntos abiertos no vacíos de X satisface la condición de cadena contable, es decir, cada colección disjunta por pares de subconjuntos abiertos no vacíos de X es contable. . El nombre proviene del problema de Suslin .
