En lógica matemática , el axioma de Cantor-Dedekind es la tesis de que los números reales son isomorfos en orden al continuo lineal de la geometría . En otras palabras, el axioma establece que existe una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una línea.
Este axioma se convirtió en un teorema demostrado por Emil Artin en su libro Álgebra geométrica . Más precisamente, los espacios euclidianos definidos sobre el cuerpo de los números reales satisfacen los axiomas de la geometría euclidiana y, a partir de los axiomas de la geometría euclidiana, se puede construir un cuerpo que sea isomorfo a los números reales.
La geometría analítica se desarrolló a partir del sistema de coordenadas cartesiano introducido por René Descartes . Supuso implícitamente este axioma al combinar los conceptos distintos de números reales y puntos en una línea, a veces denominada línea de números reales . La prueba de Artin no solo hace esta combinación explícitamente, sino que también demuestra que la geometría analítica es estrictamente equivalente a la geometría sintética tradicional , en el sentido de que se pueden demostrar exactamente los mismos teoremas en los dos marcos.
Otra consecuencia es que la prueba de Alfred Tarski de la decidibilidad de las teorías de primer orden de los números reales podría verse como un algoritmo para resolver cualquier problema de primer orden en geometría euclidiana .