teorema de cantor

Cada conjunto es más pequeño que su conjunto potencia.

La cardinalidad del conjunto { x , y , z }, es tres, mientras que en su conjunto potencia hay ocho elementos (3 < 2 ³ = 8), aquí ordenados por inclusión .

En la teoría matemática de conjuntos , el teorema de Cantor es un resultado fundamental que establece que, para cualquier conjunto , el conjunto de todos los subconjuntos de conocido como conjunto potencia de tiene una cardinalidad estrictamente mayor que él mismo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$

Para conjuntos finitos , se puede considerar que el teorema de Cantor es verdadero mediante una simple enumeración del número de subconjuntos. Al contar el conjunto vacío como un subconjunto, un conjunto con elementos tiene un total de subconjuntos y el teorema se cumple porque para todos los números enteros no negativos . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}>n}$

Mucho más significativo es el descubrimiento por parte de Cantor de un argumento que es aplicable a cualquier conjunto y que muestra que el teorema también es válido para conjuntos infinitos . Como consecuencia, la cardinalidad de los números reales , que es la misma que la del conjunto potencia de los números enteros , es estrictamente mayor que la cardinalidad de los números enteros; consulte Cardinalidad del continuo para obtener más detalles.

El teorema lleva el nombre del matemático alemán Georg Cantor , quien lo afirmó y demostró por primera vez a finales del siglo XIX. El teorema de Cantor tuvo consecuencias inmediatas e importantes para la filosofía de las matemáticas . Por ejemplo, al tomar iterativamente el conjunto potencia de un conjunto infinito y aplicar el teorema de Cantor, obtenemos una jerarquía infinita de cardinales infinitos, cada uno estrictamente mayor que el anterior. En consecuencia, el teorema implica que no existe un número cardinal más grande (coloquialmente, "no existe un infinito más grande").

Prueba

El argumento de Cantor es elegante y notablemente simple. La prueba completa se presenta a continuación, con explicaciones detalladas a continuación.

Teorema (Cantor)  :  Sea una aplicación de un conjunto a su conjunto de potencias . Entonces no es sobreyectivo . Como consecuencia, es válido para cualquier conjunto . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle f:A\to {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle \operatorname {card} (A)<\operatorname {card} ({\mathcal {P}}(A))}$ ${\displaystyle A}$

Prueba

${\displaystyle B=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}}$existe a través del esquema axioma de especificación , y porque . Suponer es sobreyectivo. Entonces existe tal que . De   for all in , deducimos    mediante instanciación universal . La deducción anterior arroja una contradicción de la forma , ya que . Por tanto, no es sobreyectiva, vía reducción al absurdo . Sabemos que existen mapas inyectivos . Por ejemplo, una función tal que . Como consecuencia, . ∎ ${\displaystyle B\in {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$
${\displaystyle f}$
${\displaystyle \xi \in A}$ ${\displaystyle f(\xi )=B}$
${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\ [x\in B\iff x\notin f(x)]}$ ${\displaystyle \xi \in B\iff \xi \notin f(\xi )}$
${\displaystyle \varphi \Leftrightarrow \lnot \varphi }$ ${\displaystyle f(\xi )=B}$
${\displaystyle f}$
${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle g:A\to {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle g(x)=\{x\}}$
${\displaystyle \operatorname {card} (A)<\operatorname {card} ({\mathcal {P}}(A))}$

Por definición de cardinalidad, tenemos para dos conjuntos cualesquiera y si y solo si hay una función inyectiva pero no una función biyectiva de a . Basta demostrar que no hay sobreyección desde hasta . Este es el corazón del teorema de Cantor: no existe una función sobreyectiva de ningún conjunto a su conjunto potencia. Para establecer esto, basta con demostrar que ninguna función (que asigna elementos a subconjuntos de ) puede alcanzar todos los subconjuntos posibles, es decir, solo necesitamos demostrar la existencia de un subconjunto de que no es igual a para ninguno . Recordando que cada uno es un subconjunto de , dicho subconjunto viene dado por la siguiente construcción, a veces llamada conjunto diagonal de Cantor de : ^{[1] [2]} ${\displaystyle \operatorname {card} (X)<\operatorname {card} (Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle B=\{x\in A\mid x\not \in f(x)\}.}$

Esto significa, por definición, que para todos , si y sólo si . Para todos los conjuntos y no pueden ser iguales porque fueron construidos a partir de elementos de cuyas imágenes debajo no se incluían ellos mismos. Para todos ya sea o . Si entonces no puede ser igual porque por supuesto y por definición. Si entonces no puede ser igual porque por supuesto y por la definición de . ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle x\notin f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle x\notin f(x)}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle x\notin B}$ ${\displaystyle x\notin f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\notin f(x)}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle B}$

De manera equivalente, y un poco más formalmente, acabamos de demostrar que la existencia de tal cosa implica la siguiente contradicción : ${\displaystyle \xi \in A}$ ${\displaystyle f(\xi )=B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi \in B&\iff \xi \notin f(\xi )&&{\text{(by definition of }}B{\text{)}};\\\xi \in B&\iff \xi \in f(\xi )&&{\text{(by assumption that }}f(\xi )=B{\text{)}}.\\\end{aligned}}}$

Por tanto, por reducción al absurdo , el supuesto debe ser falso. ^[3] Por lo tanto, no existe tal que  ; en otras palabras, no es la imagen de ni se asigna a cada elemento del conjunto de potencias de , es decir, no es sobreyectivo. ${\displaystyle \xi \in A}$ ${\displaystyle f(\xi )=B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

Finalmente, para completar la demostración, necesitamos exhibir una función inyectiva desde su conjunto potencia. Encontrar una función de este tipo es trivial: simplemente asigne al conjunto singleton . El argumento ahora está completo y hemos establecido la desigualdad estricta para cualquier conjunto que . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {card} (A)<\operatorname {card} ({\mathcal {P}}(A))}$

Otra forma de pensar en la prueba es que , vacía o no, siempre está en el conjunto potencia de . Para estar en , algún elemento de debe asignarse a . Pero eso conduce a una contradicción: ningún elemento de puede asignarse a porque eso contradiría el criterio de pertenencia a , por lo tanto, el elemento asignado a no debe ser un elemento de significado que satisfaga el criterio de pertenencia a , otra contradicción. Entonces, la suposición de que un elemento de mapeo debe ser falsa; y no puedo estar en. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$

Debido a la doble aparición de en la expresión " ", este es un argumento diagonal . Para un conjunto contable (o finito), el argumento de la prueba dada anteriormente se puede ilustrar construyendo una tabla en la que cada fila esté etiquetada por un único origen , en este orden. Se supone que admite un orden lineal para que se pueda construir dicha tabla. Cada columna de la tabla está etiquetada con un valor único del conjunto de potencias de ; las columnas están ordenadas por el argumento to , es decir, las etiquetas de las columnas son ,..., en este orden. La intersección de cada fila y columna registra un bit verdadero/falso ya sea . Dado el orden elegido para las etiquetas de filas y columnas, la diagonal principal de esta tabla registra si para cada . El conjunto construido en los párrafos anteriores coincide con las etiquetas de fila para el subconjunto de entradas en esta diagonal principal donde la tabla registra que es falso. ^[3] Cada columna registra los valores de la función indicadora del conjunto correspondiente a la columna. La función indicadora de coincide con las entradas lógicamente negadas (intercambian "verdadero" y "falso") de la diagonal principal. Por lo tanto, la función indicadora de no concuerda con ninguna columna en al menos una entrada. En consecuencia, ninguna columna representa . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A=\{x_{1},x_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\in y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

A pesar de la simplicidad de la demostración anterior, es bastante difícil para un demostrador de teoremas automatizado producirla. La principal dificultad radica en el descubrimiento automatizado del conjunto diagonal de Cantor. Lawrence Paulson señaló en 1992 que Otter no podía hacerlo, mientras que Isabelle sí, aunque con cierta dirección en términos de tácticas que tal vez podrían considerarse trampa. ^[2]

CuandoAes contablemente infinito

Examinemos la prueba para el caso específico en el que es numerablemente infinito . Sin pérdida de generalidad , podemos tomar el conjunto de los números naturales . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$

Supongamos que es equinumero con su conjunto potencia . Veamos una muestra de cómo se ve: ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )=\{\varnothing ,\{1,2\},\{1,2,3\},\{4\},\{1,5\},\{3,4,6\},\{2,4,6,\dots \},\dots \}.}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$contiene infinitos subconjuntos de , por ejemplo, el conjunto de todos los números pares positivos , junto con el conjunto vacío . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{2,4,6,\ldots \}=\{2k:k\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Ahora que tenemos una idea de cuáles son los elementos de, intentemos emparejar cada elemento de con cada elemento de para mostrar que estos conjuntos infinitos son equinuméricos. En otras palabras, intentaremos emparejar cada elemento de con un elemento del conjunto infinito , de modo que ningún elemento de ninguno de los conjuntos infinitos quede sin emparejar. Un intento de emparejar elementos se vería así: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

${\displaystyle \mathbb {N} {\begin{Bmatrix}1&\longleftrightarrow &\{4,5\}\\2&\longleftrightarrow &\{1,2,3\}\\3&\longleftrightarrow &\{4,5,6\}\\4&\longleftrightarrow &\{1,3,5\}\\\vdots &\vdots &\vdots \end{Bmatrix}}{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ).}$

Dado tal emparejamiento, algunos números naturales se emparejan con subconjuntos que contienen el mismo número. Por ejemplo, en nuestro ejemplo, el número 2 está emparejado con el subconjunto {1, 2, 3}, que contiene 2 como miembro. Llamemos a esas cifras egoístas . Otros números naturales se emparejan con subconjuntos que no los contienen. Por ejemplo, en nuestro ejemplo, el número 1 está emparejado con el subconjunto {4, 5}, que no contiene el número 1. Llame a estos números no egoístas . Asimismo, 3 y 4 no son egoístas.

Usando esta idea, construyamos un conjunto especial de números naturales. Este conjunto proporcionará la contradicción que buscamos. Sea el conjunto de todos los números naturales no egoístas. Por definición, el conjunto potencia contiene todos los conjuntos de números naturales y, por tanto, contiene este conjunto como elemento. Si el mapeo es biyectivo, debe emparejarse con algún número natural, digamos . Sin embargo, esto causa un problema. Si está en , entonces es egoísta porque está en el conjunto correspondiente, lo que contradice la definición de . Si no está en , entonces no es egoísta y debería ser miembro de . Por lo tanto, no puede existir ningún elemento que se asigne . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$

Como no existe ningún número natural que pueda emparejarse con , hemos contradicho nuestra suposición original de que existe una biyección entre y . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

Tenga en cuenta que el conjunto puede estar vacío. Esto significaría que cada número natural se asigna a un subconjunto de números naturales que contiene . Luego, cada número se asigna a un conjunto no vacío y ningún número se asigna al conjunto vacío. Pero el conjunto vacío es miembro de , por lo que el mapeo aún no cubre . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

Mediante esta prueba por contradicción hemos demostrado que la cardinalidad de y no puede ser igual. También sabemos que la cardinalidad de no puede ser menor que la cardinalidad de porque contiene todos los singletons , por definición, y estos singletons forman una "copia" de dentro de . Por tanto, sólo queda una posibilidad, y es que la cardinalidad de sea estrictamente mayor que la cardinalidad de , demostrando el teorema de Cantor. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Paradojas relacionadas

El teorema de Cantor y su demostración están estrechamente relacionados con dos paradojas de la teoría de conjuntos .

La paradoja de Cantor es el nombre que se le da a una contradicción que surge del teorema de Cantor junto con el supuesto de que existe un conjunto que contiene todos los conjuntos, el conjunto universal . Para distinguir esta paradoja de la siguiente que se analiza a continuación, es importante señalar cuál es esta contradicción. Por el teorema de Cantor para cualquier conjunto . Por otro lado, todos los elementos de son conjuntos y, por tanto, están contenidos en , por lo tanto . ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|>|X|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(V)|\leq |V|}$

Se puede derivar otra paradoja de la prueba del teorema de Cantor instanciando la función f con la función identidad ; esto convierte el conjunto diagonal de Cantor en lo que a veces se llama el conjunto de Russell de un conjunto dado A : ^[1]

${\displaystyle R_{A}=\left\{\,x\in A:x\not \in x\,\right\}.}$

La prueba del teorema de Cantor se adapta directamente para mostrar que suponiendo que existe un conjunto de todos los conjuntos _U , entonces considerar su conjunto de Russell RU conduce a la contradicción:

${\displaystyle R_{U}\in R_{U}\iff R_{U}\notin R_{U}.}$

Este argumento se conoce como la paradoja de Russell . ^[1] Como cuestión de sutileza, la versión de la paradoja de Russell que hemos presentado aquí es en realidad un teorema de Zermelo ; ^[4] podemos concluir de la contradicción obtenida que debemos rechazar la hipótesis de que R _U ∈ U , refutando así la existencia de un conjunto que contenga todos los conjuntos. Esto fue posible porque hemos utilizado comprensión restringida (como aparece en ZFC ) en la definición de R _A anterior, lo que a su vez implicaba que

${\displaystyle R_{U}\in R_{U}\iff (R_{U}\in U\wedge R_{U}\notin R_{U}).}$

Si hubiéramos utilizado una comprensión ilimitada (como en el sistema de Frege , por ejemplo) definiendo el conjunto de Russell simplemente como , entonces el sistema de axiomas en sí habría implicado la contradicción, sin necesidad de más hipótesis. ^[4] ${\displaystyle R=\left\{\,x:x\not \in x\,\right\}}$

A pesar de las similitudes sintácticas entre el conjunto de Russell (en cualquiera de sus variantes) y el conjunto diagonal de Cantor, Alonzo Church enfatizó que la paradoja de Russell es independiente de consideraciones de cardinalidad y sus nociones subyacentes como la correspondencia uno a uno. ^[5]

Historia

Cantor dio esencialmente esta prueba en un artículo publicado en 1891 "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre", ^[6] donde también aparece por primera vez el argumento diagonal a favor de la incontabilidad de los reales (anteriormente había demostrado la incontabilidad de los reales mediante otros métodos ). . La versión de este argumento que dio en ese artículo estaba redactada en términos de funciones indicadoras en un conjunto en lugar de subconjuntos de un conjunto. ^[7] Demostró que si f es una función definida en X cuyos valores son funciones de 2 valores en X , entonces la función de 2 valores G ( x ) = 1 − f ( x )( x ) no está en el rango de F.​

Bertrand Russell tiene una prueba muy similar en Principios de Matemáticas (1903, sección 348), donde muestra que hay más funciones proposicionales que objetos. "Supongamos que se ha afectado una correlación de todos los objetos y algunas funciones proposicionales, y sea phi- x el correlato de x . Entonces "no-phi- x ( x ),", es decir, "phi- x no se cumple de x" . "es una función proposicional no contenida en esta correlación; porque es verdadera o falsa para x según que phi- x sea falsa o verdadera para x , y por lo tanto difiere de phi- x para cada valor de x ". Atribuye la idea detrás de la prueba a Cantor.

Ernst Zermelo tiene un teorema (al que llama "Teorema de Cantor") que es idéntico a la forma anterior en el artículo que se convirtió en la base de la teoría de conjuntos moderna ("Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I"), publicado en 1908. Véase Zermelo teoría de conjuntos .

Generalizaciones

El teorema del punto fijo de Lawvere proporciona una amplia generalización del teorema de Cantor a cualquier categoría con productos finitos de la siguiente manera: ^[8] sea dicha categoría y sea un objeto terminal en . Supongamos que es un objeto y que existe un endomorfismo que no tiene puntos fijos; es decir, no existe ningún morfismo que satisfaga . Entonces no existe ningún objeto tal que un morfismo pueda parametrizar todos los morfismos . En otras palabras, para cada objeto y cada morfismo , un intento de escribir mapas como mapas de la forma debe omitir al menos un mapa . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \alpha :Y\to Y}$ ${\displaystyle y:1\to Y}$ ${\displaystyle \alpha \circ y=y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f:T\times T\to Y}$ ${\displaystyle T\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f:T\times T\to Y}$ ${\displaystyle T\to Y}$ ${\displaystyle f(-,x):T\to Y}$ ${\displaystyle T\to Y}$

Ver también

• Teorema de Schröder-Bernstein
• La primera prueba de incontabilidad de Cantor
• Controversia sobre la teoría de Cantor

Referencias

1. Abhijit Dasgupta (2013). Teoría de conjuntos: con una introducción a los conjuntos de puntos reales . Medios de ciencia y negocios de Springer . págs. 362–363. ISBN 978-1-4614-8854-5.
2. Lawrence Paulson (1992). La teoría de conjuntos como lógica computacional (PDF) . Laboratorio de Computación de la Universidad de Cambridge. pag. 14.
3. Graham Priest (2002). Más allá de los límites del pensamiento . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 118-119. ISBN 978-0-19-925405-7.
4. Heinz-Dieter Ebbinghaus (2007). Ernst Zermelo: una aproximación a su vida y obra . Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 86–87. ISBN 978-3-540-49553-6.
5. Church, A. [1974] "Teoría de conjuntos con un conjunto universal". en Actas del Simposio Tarski. Actas de simposios de Matemática Pura XXV, ed. L. Henkin, Providence RI, Segunda impresión con adiciones 1979, págs. 297-308. ISBN 978-0-8218-7360-1 . También publicado en International Logic Review 15 págs. 11-23. 
6. Cantor, Georg (1891), "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigskeitslehre", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 1 : 75–78, también en Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , E. Zermelo, 1932.
7. A. Kanamori, "El conjunto vacío, el singleton y el par ordenado", p.276. Boletín de Lógica Simbólica vol. 9, núm. 3, (2003). Consultado el 21 de agosto de 2023.
8. F. William Lawvere; Stephen H. Schanuel (2009). Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías . Prensa de la Universidad de Cambridge. Sesión 29. ISBN 978-0-521-89485-2.

• Halmos, Paul , Teoría ingenua de conjuntos . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag , Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo).  
• Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos , Monografías de Springer en Matemáticas (edición del tercer milenio), Springer, ISBN 3-540-44085-2

enlaces externos

• "Teorema de Cantor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Cantor". MundoMatemático .