Teorema del punto fijo de Lawvere

Teorema en la teoría de categorías

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Lawvere es un resultado importante en la teoría de categorías . ^[1] Es una generalización abstracta amplia de muchos argumentos diagonales en matemáticas y lógica, como el argumento diagonal de Cantor , la paradoja de Russell , el primer teorema de incompletitud de Gödel y la solución de Turing al Entscheidungsproblem . ^[2]

Fue demostrado por primera vez por William Lawvere en 1969. ^{[3] [4]}

Declaración

El teorema de Lawvere establece que, para cualquier categoría cartesiana cerrada y dado un objeto en ella, si existe un morfismo débilmente puntual-sobreyectivo desde algún objeto hasta el objeto exponencial , entonces todo endomorfismo tiene un punto fijo. Es decir, existe un morfismo (donde es un objeto terminal en ) tal que . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{A}}$ ${\displaystyle g:B\rightarrow B}$ ${\displaystyle b:1\rightarrow B}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle g\circ b=b}$

Aplicaciones

El contrapositivo del teorema es particularmente útil para demostrar muchos resultados. Afirma que si hay un objeto en la categoría tal que hay un endomorfismo que no tiene puntos fijos, entonces no hay ningún objeto con una función débilmente sobreyectiva de puntos . Algunos corolarios importantes de esto son: ^[2] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g:B\rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow B^{A}}$

• Teorema de Cantor
• El argumento diagonal de Cantor
• Lema diagonal
• La paradoja de Russell
• Primer teorema de incompletitud de Gödel
• Teorema de indefinibilidad de Tarski
• La prueba de Turing
• La paradoja de Löb
• Teorema del punto fijo de Roger
• Teorema de Rice

Referencias

1. Soto-Andrade, Jorge; J. Varela, Francisco (1984). "Autorreferencia y puntos fijos: una discusión y una extensión del teorema de Lawvere". Acta Applicandae Mathematicae . 2 . doi :10.1007/BF01405490.
2. Yanofsky, Noson (septiembre de 2003). "Un enfoque universal para las paradojas autorreferenciales, la incompletitud y los puntos fijos". The Bulletin of Symbolic Logic . 9 (3): 362–386. arXiv : math/0305282 . doi :10.2178/bsl/1058448677.
3. Lawvere, Francis William (1969). "Argumentos diagonales y categorías cerradas cartesianas". Teoría de categorías, teoría de homología y sus aplicaciones II (Lecture Notes in Mathematics, vol. 92). Berlín: Springer.
4. Lawvere, William (2006). "Argumentos diagonales y categorías cartesianas cerradas con comentarios del autor". Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de categorías (15): 1–13.