La teoría del orden es una rama de las matemáticas que investiga la noción intuitiva de orden utilizando relaciones binarias . Proporciona un marco formal para describir afirmaciones como "esto es menor que aquello" o "esto precede a aquello". Este artículo presenta el campo y proporciona definiciones básicas. Puede encontrar una lista de términos de teoría del orden en el glosario de teoría del orden .
Los órdenes están por todas partes en matemáticas y campos relacionados como la informática . El primer orden que se suele discutir en la escuela primaria es el orden estándar de los números naturales , por ejemplo, "2 es menor que 3", "10 es mayor que 5" o "¿Tom tiene menos galletas que Sally?". Este concepto intuitivo se puede extender a órdenes de otros conjuntos de números , como los enteros y los reales . La idea de ser mayor o menor que otro número es una de las intuiciones básicas de los sistemas numéricos (compárese con los sistemas numéricos ) en general (aunque normalmente también nos interesa la diferencia real de dos números, que no viene dada por el orden ). Otros ejemplos familiares de ordenamiento son el orden alfabético de las palabras en un diccionario y la propiedad genealógica de descendencia lineal dentro de un grupo de personas.
La noción de orden es muy general y se extiende más allá de los contextos que tienen una sensación inmediata e intuitiva de secuencia o cantidad relativa. En otros contextos, las órdenes pueden captar nociones de contención o especialización. De manera abstracta, este tipo de orden equivale a la relación de subconjunto , por ejemplo, " Los pediatras son médicos " y " Los círculos son simplemente elipses de casos especiales ".
Algunos órdenes, como "menor que" en los números naturales y el orden alfabético de las palabras, tienen una propiedad especial: cada elemento se puede comparar con cualquier otro elemento, es decir, es menor (antes) que, mayor (después) que, o idéntico a. Sin embargo, muchas otras órdenes no lo hacen. Consideremos, por ejemplo, el orden de los subconjuntos de una colección de conjuntos : aunque el conjunto de pájaros y el conjunto de perros son ambos subconjuntos del conjunto de animales, ni los pájaros ni los perros constituyen un subconjunto del otro. Aquellos órdenes como la relación "subconjunto de" para los cuales existen elementos incomparables se denominan órdenes parciales ; Los pedidos para los cuales cada par de elementos son comparables son pedidos totales .
La teoría del orden captura la intuición de órdenes que surge de tales ejemplos en un entorno general. Esto se logra especificando propiedades que una relación ≤ debe tener para ser un orden matemático. Este enfoque más abstracto tiene mucho sentido, porque se pueden derivar numerosos teoremas en el marco general, sin centrarse en los detalles de ningún orden particular. Estos conocimientos pueden luego transferirse fácilmente a muchas aplicaciones menos abstractas.
Impulsado por el amplio uso práctico de los órdenes, se han definido numerosos tipos especiales de conjuntos ordenados, algunos de los cuales se han convertido en campos matemáticos propios. Además, la teoría del orden no se limita a las diversas clases de relaciones de orden, sino que también considera funciones apropiadas entre ellas. Un ejemplo simple de una propiedad teórica de orden para funciones proviene del análisis donde se encuentran con frecuencia funciones monótonas .
Esta sección presenta los conjuntos ordenados basándose en los conceptos de teoría de conjuntos , aritmética y relaciones binarias .
Los pedidos son relaciones binarias especiales. Supongamos que P es un conjunto y que ≤ es una relación sobre P (se entiende que 'relación sobre un conjunto' significa 'relación entre sus habitantes', es decir, ≤ es un subconjunto del producto cartesiano P x P ). Entonces ≤ es un orden parcial si es reflexivo , antisimétrico y transitivo , es decir, si para todo a , b y c en P , tenemos que:
Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado , poset o conjunto simplemente ordenado si el significado previsto es claro. Al verificar estas propiedades, se ve inmediatamente que los órdenes bien conocidos de los números naturales , enteros , racionales y reales son todos órdenes en el sentido anterior. Sin embargo, estos ejemplos tienen la propiedad adicional de que dos elementos cualesquiera son comparables, es decir, para todo a y b en P , tenemos que:
Un orden parcial con esta propiedad se llama orden total . Estas órdenes también pueden denominarse órdenes lineales o cadenas . Si bien muchos órdenes conocidos son lineales, el orden de los subconjuntos en conjuntos proporciona un ejemplo en el que este no es el caso. Otro ejemplo lo da la relación de divisibilidad (o "es-un- factor -de") |. Para dos números naturales n y m , escribimos n | m si n divide a m sin resto. Se ve fácilmente que esto produce un orden parcial. Por ejemplo, ni 3 divide a 13 ni 13 divide a 3, por lo que 3 y 13 no son elementos comparables de la relación de divisibilidad en el conjunto de los números enteros. La relación de identidad = en cualquier conjunto es también un orden parcial en el que cada dos elementos distintos son incomparables. También es la única relación que es a la vez una relación de orden parcial y una relación de equivalencia porque satisface tanto la propiedad de antisimetría de los órdenes parciales como la propiedad de simetría de las relaciones de equivalencia. Muchas propiedades avanzadas de los posets son interesantes principalmente para órdenes no lineales.
Los diagramas de Hasse pueden representar visualmente los elementos y relaciones de un ordenamiento parcial. Estos son dibujos de gráficos donde los vértices son los elementos del poset y la relación de orden está indicada tanto por los bordes como por la posición relativa de los vértices. Las órdenes se dibujan de abajo hacia arriba: si un elemento x es menor que (precede) y entonces existe un camino de xay que se dirige hacia arriba. A menudo es necesario que los bordes que conectan los elementos se crucen entre sí, pero los elementos nunca deben ubicarse dentro de un borde. Un ejercicio instructivo consiste en dibujar el diagrama de Hasse para el conjunto de números naturales menores o iguales a 13, ordenados por | (la relación divide ).
Incluso algunos conjuntos infinitos pueden diagramarse superponiendo una elipsis (...) en un suborden finito. Esto funciona bien para los números naturales, pero falla para los reales, donde no hay un sucesor inmediato por encima de 0; sin embargo, muy a menudo se puede obtener una intuición relacionada con diagramas de tipo similar [ vagos ] .
En un conjunto parcialmente ordenado puede haber algunos elementos que desempeñen un papel especial. El ejemplo más básico lo da el elemento mínimo de un poset . Por ejemplo, 1 es el elemento menor de los números enteros positivos y el conjunto vacío es el menor establecido bajo el orden de subconjunto. Formalmente, un elemento m es un elemento mínimo si:
La notación 0 se encuentra frecuentemente para el elemento menor, incluso cuando no se trata de números. Sin embargo, en órdenes de conjuntos de números, esta notación puede resultar inapropiada o ambigua, ya que el número 0 no siempre es el menor. Un ejemplo lo da el orden de divisibilidad | anterior, donde 1 es el elemento mínimo ya que divide a todos los demás números. Por el contrario, 0 es el número que se divide por todos los demás números. De ahí que sea el elemento más importante del orden. Otros términos frecuentes para los elementos menores y mayores son abajo y arriba o cero y unidad .
Es posible que los elementos mínimo y mayor no existan, como muestra el ejemplo de los números reales. Pero si existen, siempre son únicos. Por el contrario, considere la relación de divisibilidad | en el conjunto {2,3,4,5,6}. Aunque este conjunto no tiene ni arriba ni abajo, los elementos 2, 3 y 5 no tienen elementos debajo, mientras que 4, 5 y 6 no tienen ninguno arriba. Estos elementos se denominan mínimo y máximo , respectivamente. Formalmente, un elemento m es mínimo si:
Intercambiar ≤ con ≥ produce la definición de maximalidad . Como muestra el ejemplo, puede haber muchos elementos máximos y algunos elementos pueden ser tanto máximos como mínimos (por ejemplo, 5 arriba). Sin embargo, si hay un elemento mínimo, entonces es el único elemento mínimo del pedido. Una vez más, en los posets infinitos los elementos máximos no siempre existen: el conjunto de todos los subconjuntos finitos de un conjunto infinito dado, ordenados por inclusión de subconjuntos, proporciona uno de muchos contraejemplos. Una herramienta importante para asegurar la existencia de elementos máximos bajo ciertas condiciones es el Lema de Zorn .
Los subconjuntos de conjuntos parcialmente ordenados heredan el orden. Ya aplicamos esto considerando el subconjunto {2,3,4,5,6} de los números naturales con el orden de divisibilidad inducido. Ahora bien, también hay elementos de un poset que son especiales con respecto a algún subconjunto del orden. Esto lleva a la definición de límites superiores . Dado un subconjunto S de algún poset P , un límite superior de S es un elemento b de P que está por encima de todos los elementos de S. Formalmente, esto significa que
Los límites inferiores nuevamente se definen invirtiendo el orden. Por ejemplo, -5 es un límite inferior de los números naturales como subconjunto de los números enteros. Dado un conjunto de conjuntos, su unión da un límite superior para estos conjuntos bajo el orden de subconjunto . De hecho, este límite superior es bastante especial: es el conjunto más pequeño que contiene todos los conjuntos. Por tanto, hemos encontrado el límite superior mínimo de un conjunto de conjuntos. Este concepto también se llama supremo o unión , y para un conjunto S se escribe sup( S ) o su límite superior mínimo. Por el contrario, el límite inferior mayor se conoce como ínfimo o encuentro y se denota inf( S ) o . Estos conceptos juegan un papel importante en muchas aplicaciones de la teoría del orden. Para dos elementos x e y , también se escribe y para sup({ x , y }) e inf({ x , y }), respectivamente.
Por ejemplo, 1 es el mínimo de los números enteros positivos como subconjunto de números enteros.
Para otro ejemplo, considere nuevamente la relación | sobre números naturales. El mínimo límite superior de dos números es el número más pequeño dividido por ambos, es decir, el mínimo común múltiplo de los números. Los máximos límites inferiores, a su vez, vienen dados por el máximo común divisor .
En las definiciones anteriores, a menudo observamos que un concepto se puede definir simplemente invirtiendo el orden en una definición anterior. Este es el caso de "menor" y "mayor", de "mínimo" y "máximo", de "límite superior" y "límite inferior", etc. Esta es una situación general en la teoría del orden: un orden dado puede invertirse simplemente intercambiando su dirección, volteando pictóricamente el diagrama de Hasse de arriba hacia abajo. Esto produce el llamado orden dual , inverso u opuesto .
Toda definición teórica de orden tiene su dual: es la noción que se obtiene aplicando la definición al orden inverso. Como todos los conceptos son simétricos, esta operación preserva los teoremas de órdenes parciales. Para un resultado matemático dado, uno puede simplemente invertir el orden y reemplazar todas las definiciones por sus duales y obtener otro teorema válido. Esto es importante y útil, ya que se obtienen dos teoremas por el precio de uno. Se pueden encontrar más detalles y ejemplos en el artículo sobre la dualidad en la teoría del orden .
Hay muchas maneras de construir órdenes a partir de órdenes dadas. El orden dual es un ejemplo. Otra construcción importante es el producto cartesiano de dos conjuntos parcialmente ordenados, junto con el orden del producto en pares de elementos. El orden se define por ( a , x ) ≤ ( b , y ) si (y solo si) a ≤ b y x ≤ y . (Observe cuidadosamente que hay tres significados distintos para el símbolo de relación ≤ en esta definición.) La unión disjunta de dos posets es otro ejemplo típico de construcción de orden, donde el orden es simplemente la unión (disjunta) de los órdenes originales.
Todo orden parcial ≤ da lugar a un llamado orden estricto <, al definir a < b si a ≤ b y no b ≤ a . Esta transformación se puede invertir estableciendo a ≤ b si a < b o a = b . Los dos conceptos son equivalentes, aunque en algunas circunstancias puede resultar más conveniente trabajar con uno que con el otro.
Es razonable considerar funciones entre conjuntos parcialmente ordenados que tengan ciertas propiedades adicionales que estén relacionadas con las relaciones de orden de los dos conjuntos. La condición más fundamental que se produce en este contexto es la monotonicidad . Una función f de un poset P a un poset Q es monótona , o conserva el orden , si a ≤ b en P implica f ( a ) ≤ f ( b ) en Q (observando que, estrictamente, las dos relaciones aquí son diferentes ya que se aplican a diferentes conjuntos). Lo contrario de esta implicación conduce a funciones que reflejan el orden , es decir, funciones f como las anteriores para las cuales f ( a ) ≤ f ( b ) implica a ≤ b . Por otro lado, una función también puede ser de inversión de orden o antitono , si a ≤ b implica f ( a ) ≥ f ( b ).
Una incrustación de orden es una función f entre órdenes que preserva y refleja el orden. Se encuentran fácilmente ejemplos de estas definiciones. Por ejemplo, la función que asigna un número natural a su sucesor es claramente monótona con respecto al orden natural. Cualquier función de orden discreto, es decir, de un conjunto ordenado por el orden de identidad "=", también es monótona. La asignación de cada número natural al número real correspondiente proporciona un ejemplo de incrustación de pedidos. El complemento de conjunto en un conjunto de potencias es un ejemplo de función antítono.
Una pregunta importante es cuándo dos órdenes son "esencialmente iguales", es decir, cuándo son iguales hasta el cambio de nombre de los elementos. Los isomorfismos de orden son funciones que definen dicho cambio de nombre. Un isomorfismo de orden es una función biyectiva monótona que tiene una inversa monótona. Esto equivale a ser una incrustación de orden sobreyectiva . Por lo tanto, la imagen f ( P ) de una incrustación de orden es siempre isomorfa a P , lo que justifica el término "incrustación".
Un tipo de funciones más elaborado lo proporcionan las llamadas conexiones de Galois . Las conexiones monótonas de Galois pueden verse como una generalización de los isomorfismos de orden, ya que constituyen un par de dos funciones en direcciones inversas, que "no son del todo" inversas entre sí, pero que aún tienen relaciones estrechas.
Otro tipo especial de automapas en un poset son los operadores de cierre , que no sólo son monótonos, sino también idempotentes , es decir, f ( x ) = f ( f ( x )), y extensivos (o inflacionarios ), es decir , x ≤ f ( X ). Éstos tienen muchas aplicaciones en todo tipo de "cierres" que aparecen en matemáticas.
Además de ser compatibles con las meras relaciones de orden, las funciones entre posets también pueden comportarse bien con respecto a elementos y construcciones especiales. Por ejemplo, cuando se habla de posets con mínimo elemento, puede parecer razonable considerar sólo funciones monótonas que preservan este elemento, es decir, que asignan mínimos elementos a mínimos elementos. Si existen ínfimas binarias ∧, entonces una propiedad razonable podría ser requerir que f ( x ∧ y ) = f ( x ) ∧ f ( y ), para todos los x e y . Todas estas propiedades, y de hecho muchas más, pueden compilarse bajo la etiqueta de funciones de preservación de límites .
Finalmente, se puede invertir la vista, pasando de funciones de órdenes a órdenes de funciones . De hecho, las funciones entre dos posets P y Q se pueden ordenar mediante el orden puntual . Para dos funciones f y g , tenemos f ≤ g si f ( x ) ≤ g ( x ) para todos los elementos x de P . Esto ocurre por ejemplo en la teoría de dominios , donde los espacios funcionales juegan un papel importante.
Muchas de las estructuras que se estudian en la teoría del orden emplean relaciones de orden con propiedades adicionales. De hecho, incluso algunas relaciones que no son órdenes parciales son de especial interés. Principalmente hay que mencionar el concepto de pedido anticipado . Un preorden es una relación reflexiva y transitiva, pero no necesariamente antisimétrica. Cada preorden induce una relación de equivalencia entre elementos, donde a es equivalente a b , si a ≤ b y b ≤ a . Los pedidos anticipados se pueden convertir en pedidos identificando todos los elementos que son equivalentes con respecto a esta relación.
Se pueden definir varios tipos de pedidos a partir de datos numéricos sobre los artículos del pedido: un pedido total resulta de asociar números reales distintos a cada artículo y utilizar comparaciones numéricas para ordenar los artículos; en cambio, si a distintos elementos se les permite tener puntuaciones numéricas iguales, se obtiene un orden débil estricto . Exigir que dos puntuaciones estén separadas por un umbral fijo antes de poder compararlas conduce al concepto de semiorden , mientras que permitir que el umbral varíe según el ítem produce un orden de intervalo .
Una propiedad adicional simple pero útil conduce a la llamada bien fundada , para la cual todos los subconjuntos no vacíos tienen un elemento mínimo. Al generalizar los buenos órdenes de órdenes lineales a parciales, un conjunto está bien ordenado parcialmente si todos sus subconjuntos no vacíos tienen un número finito de elementos mínimos.
Muchos otros tipos de órdenes surgen cuando se garantiza la existencia de ínfima y suprema de determinados conjuntos. Centrándonos en este aspecto, habitualmente denominado integridad de los pedidos, se obtiene:
Sin embargo, se puede ir aún más lejos: si existen todos los ínfimas finitos no vacíos, entonces ∧ puede verse como una operación binaria total en el sentido del álgebra universal . Por lo tanto, en una red, hay dos operaciones ∧ y ∨ disponibles, y se pueden definir nuevas propiedades dando identidades, como
Esta condición se llama distributividad y da lugar a redes distributivas . Hay algunas otras leyes de distributividad importantes que se analizan en el artículo sobre la distributividad en la teoría del orden . Algunas estructuras de orden adicionales que a menudo se especifican mediante operaciones algebraicas y definición de identidades son
los cuales introducen una nueva operación ~ llamada negación . Ambas estructuras desempeñan un papel en la lógica matemática y, especialmente, las álgebras booleanas tienen importantes aplicaciones en la informática . Finalmente, varias estructuras en matemáticas combinan órdenes con operaciones aún más algebraicas, como en el caso de los cuantos , que permiten definir una operación de suma.
Existen muchas otras propiedades importantes de los posets. Por ejemplo, un poset es localmente finito si cada intervalo cerrado [ a , b ] que contiene es finito . Los posets localmente finitos dan lugar a álgebras de incidencia que a su vez pueden usarse para definir la característica de Euler de los posets finitos acotados.
En un conjunto ordenado, se pueden definir muchos tipos de subconjuntos especiales según el orden dado. Un ejemplo sencillo son los conjuntos superiores ; es decir, conjuntos que contienen todos los elementos que están por encima de ellos en el orden. Formalmente, la clausura superior de un conjunto S en un poset P viene dada por el conjunto { x en P | hay algo de y en S con y ≤ x }. Un conjunto que es igual a su cierre superior se llama conjunto superior. Los conjuntos inferiores se definen de forma dual.
Los subconjuntos inferiores más complicados son ideales , que tienen la propiedad adicional de que cada dos de sus elementos tienen un límite superior dentro del ideal. Sus duales están dados por filtros . Un concepto relacionado es el de subconjunto dirigido , que como un ideal contiene límites superiores de subconjuntos finitos, pero no tiene por qué ser un conjunto inferior. Además, a menudo se generaliza a conjuntos reservados.
Un subconjunto que, como subconjunto, está ordenado linealmente se llama cadena . La noción opuesta, la anticadena , es un subconjunto que no contiene dos elementos comparables; es decir, que es un orden discreto.
Aunque la mayoría de las áreas matemáticas utilizan órdenes de una u otra manera, también hay algunas teorías que tienen relaciones que van mucho más allá de la mera aplicación. Junto con sus principales puntos de contacto con la teoría del orden, algunos de ellos se presentarán a continuación.
Como ya se mencionó, los métodos y formalismos del álgebra universal son una herramienta importante para muchas consideraciones de teoría del orden. Además de formalizar órdenes en términos de estructuras algebraicas que satisfacen ciertas identidades, también se pueden establecer otras conexiones con el álgebra. Un ejemplo lo da la correspondencia entre álgebras de Boole y anillos de Boole . Otras cuestiones tienen que ver con la existencia de construcciones libres , como celosías libres basadas en un determinado conjunto de generadores. Además, los operadores de cierre son importantes en el estudio del álgebra universal.
En topología , los órdenes juegan un papel muy destacado. De hecho, la colección de conjuntos abiertos proporciona un ejemplo clásico de una red completa, más precisamente un álgebra de Heyting completa (o " marco " o " localización "). Los filtros y las redes son nociones estrechamente relacionadas con la teoría del orden y el operador de cierre de conjuntos se puede utilizar para definir una topología. Más allá de estas relaciones, la topología puede considerarse únicamente en términos de redes de conjuntos abiertos, lo que conduce al estudio de topología inútil . Además, un preorden natural de elementos del conjunto subyacente de una topología viene dado por el llamado orden de especialización , que en realidad es un orden parcial si la topología es T 0 .
Por el contrario, en la teoría del orden, a menudo se utilizan resultados topológicos. Hay varias formas de definir subconjuntos de un orden que pueden considerarse conjuntos abiertos de una topología. Considerando topologías en un poset ( X , ≤) que a su vez inducen ≤ como su orden de especialización, la topología más fina es la topología de Alexandrov , dada al tomar todos los conjuntos superiores como abiertos. Por el contrario, la topología más burda que induce el orden de especialización es la topología superior , que tiene los complementos de los ideales principales (es decir, conjuntos de la forma { y en X | y ≤ x } para alguna x ) como subbase . Además, una topología con orden de especialización ≤ puede ser consistente con el orden , lo que significa que sus conjuntos abiertos son "inaccesibles por suprema dirigida" (con respecto a ≤). La topología consistente en el orden más fino es la topología de Scott , que es más burda que la topología de Alexandrov. Una tercera topología importante en este espíritu es la topología de Lawson . Existen estrechas conexiones entre estas topologías y los conceptos de la teoría del orden. Por ejemplo, una función conserva suprema dirigida si y sólo si es continua con respecto a la topología de Scott (por esta razón esta propiedad teórica del orden también se llama continuidad de Scott ).
La visualización de órdenes con diagramas de Hasse tiene una generalización sencilla: en lugar de mostrar elementos menores debajo de los mayores, la dirección del orden también se puede representar dando direcciones a los bordes de un gráfico. De esta manera, cada orden se considera equivalente a un grafo acíclico dirigido , donde los nodos son los elementos del poset y hay un camino dirigido de a a b si y sólo si a ≤ b . Al eliminar el requisito de ser acíclico, también se pueden obtener todos los pedidos anticipados.
Cuando están equipados con todos los bordes transitivos, estos gráficos, a su vez, son solo categorías especiales , donde los elementos son objetos y cada conjunto de morfismos entre dos elementos es, como máximo, singleton. Las funciones entre órdenes se convierten en functores entre categorías. Muchas ideas de la teoría del orden son sólo conceptos de la teoría de categorías en pequeña escala. Por ejemplo, un mínimo es simplemente un producto categórico . De manera más general, uno puede capturar infima y suprema bajo la noción abstracta de un límite categórico (o colimit , respectivamente). Otro lugar donde ocurren ideas categóricas es el concepto de conexión de Galois (monótona) , que es lo mismo que un par de funtores adjuntos .
Pero la teoría de categorías también tiene su impacto en la teoría del orden a mayor escala. Las clases de posets con funciones apropiadas como se analizó anteriormente forman categorías interesantes. A menudo también se pueden establecer construcciones de pedidos, como el pedido de productos , en términos de categorías. Se obtienen más conocimientos cuando se encuentra que las categorías de órdenes son categóricamente equivalentes a otras categorías, por ejemplo, de espacios topológicos. Esta línea de investigación conduce a diversos teoremas de representación , a menudo recogidos bajo la etiqueta de dualidad de Stone .
Como se explicó anteriormente, los órdenes son omnipresentes en matemáticas. Sin embargo, las primeras menciones explícitas de órdenes parciales probablemente no se encuentren antes del siglo XIX. En este contexto son de gran importancia las obras de George Boole . Además, las obras de Charles Sanders Peirce , Richard Dedekind y Ernst Schröder también consideran conceptos de teoría del orden.
Los contribuyentes a la geometría ordenada se enumeran en un libro de texto de 1961 :
Fue Pasch en 1882 quien señaló por primera vez que se podía desarrollar una geometría de orden sin referencia a la medición. Su sistema de axiomas fue mejorado gradualmente por Peano (1889), Hilbert (1899) y Veblen (1904).
— HSM Coxeter , Introducción a la geometría
En 1901 Bertrand Russell escribió "Sobre la noción de orden" [2] explorando los fundamentos de la idea a través de la generación de series . Volvió al tema en la parte IV de Los principios de las matemáticas (1903). Russell señaló que la relación binaria aRb tiene un sentido que va de aab y que la relación inversa tiene un sentido opuesto, y el sentido "es la fuente del orden y la serie". (p. 95) Reconoce que Immanuel Kant [3] era "consciente de la diferencia entre oposición lógica y la oposición de positivo y negativo". Escribió que Kant merece crédito porque "fue el primero en llamar la atención sobre la importancia lógica de las relaciones asimétricas".
El término poset como abreviatura de conjunto parcialmente ordenado se atribuye a Garrett Birkhoff en la segunda edición de su influyente libro Lattice Theory . [4] [5]
