Ínfimo y supremo

Límite inferior máximo y límite superior mínimo

Un conjunto de números reales (círculos huecos y rellenos), un subconjunto de (círculos rellenos) y el mínimo de Tenga en cuenta que para conjuntos finitos totalmente ordenados , el mínimo y el mínimo son iguales. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S.}$

Un conjunto de números reales (círculos azules), un conjunto de límites superiores de (diamante rojo y círculos) y el límite superior más pequeño, es decir, el supremo de (diamante rojo). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

En matemáticas, el mínimo (abreviado inf ; plural infima ) de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es el elemento mayor que es menor o igual a cada elemento de si tal elemento existe. ^[1] En otras palabras, es el elemento mayor de que es menor o igual al elemento menor de . En consecuencia, el término límite inferior máximo (abreviado como GLB ) también se utiliza habitualmente. ^[1] El supremo (abreviado sup ; plural suprema ) de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es el elemento menor que es mayor o igual a cada elemento o si tal elemento existe. ^[1] En otras palabras, es el elemento menor de que es mayor o igual al elemento mayor de . En consecuencia, el supremo también se conoce como el límite superior mínimo (o LUB ). ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$

El ínfimum es, en un sentido preciso, dual al concepto de supremum. Infima y suprema de números reales son casos especiales comunes que son importantes en el análisis , y especialmente en la integración de Lebesgue . Sin embargo, las definiciones generales siguen siendo válidas en el marco más abstracto de la teoría del orden , donde se consideran conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados.

Los conceptos de mínimo y supremo están cerca de mínimo y máximo , pero son más útiles en el análisis porque caracterizan mejor conjuntos especiales que pueden no tener mínimo ni máximo . Por ejemplo, el conjunto de números reales positivos (sin incluir a ) no tiene un mínimo, porque cualquier elemento dado de podría simplemente dividirse por la mitad, lo que daría como resultado un número más pequeño que todavía está en . Sin embargo, hay exactamente un mínimo del positivo. Números reales relativos a los números reales: que es menor que todos los números reales positivos y mayor que cualquier otro número real que pueda usarse como límite inferior. Un mínimo de un conjunto se define siempre y sólo en relación con un superconjunto del conjunto en cuestión. Por ejemplo, no existe un mínimo de los números reales positivos dentro de los números reales positivos (como su propio superconjunto), ni ningún mínimo de los números reales positivos dentro de los números complejos con parte real positiva. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$ ${\displaystyle 0,}$

Definicion formal

supremum = límite superior mínimo

Un límite inferior de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es un elemento tal que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle a\leq x}$para todos ${\displaystyle x\in S.}$

Un límite inferior de se llama mínimo (o límite inferior máximo , o encuentro ) de si ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• para todos los límites inferiores de in ( es mayor que cualquier otro límite inferior). ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle y\leq a}$ ${\displaystyle a}$

De manera similar, un límite superior de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es un elemento tal que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle b\geq x}$para todos ${\displaystyle x\in S.}$

Un límite superior de se llama supremo (o límite superior mínimo , o unión ) de si ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• para todos los límites superiores de in ( es menor que cualquier otro límite superior). ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle z\geq b}$ ${\displaystyle b}$

Existencia y unicidad

Infima y suprema no necesariamente existen. La existencia de un mínimo de un subconjunto de puede fallar si no tiene ningún límite inferior o si el conjunto de límites inferiores no contiene un elemento mayor. (Un ejemplo de esto es el subconjunto de . Tiene límites superiores, como 1,5, pero no tiene supremo en ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

En consecuencia, los conjuntos parcialmente ordenados para los que se sabe que existen ciertos ínfimas se vuelven especialmente interesantes. Por ejemplo, una red es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos finitos no vacíos tienen tanto un supremo como un mínimo, y una red completa es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos tienen tanto un supremo como un mínimo. Más información sobre las diversas clases de conjuntos parcialmente ordenados que surgen de tales consideraciones se encuentra en el artículo sobre propiedades de completitud .

Si existe el supremo de un subconjunto, es único. Si contiene un elemento mayor, entonces ese elemento es el supremo; de lo contrario, el supremo no pertenece (o no existe). Asimismo, si el mínimo existe, es único. Si contiene un elemento mínimo, entonces ese elemento es el mínimo; en caso contrario, el ínfimum no pertenece (o no existe). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Relación con elementos máximos y mínimos.

El mínimo de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado suponiendo que exista, no necesariamente pertenece a Si lo hace, es un elemento mínimo o mínimo de De manera similar, si el supremo de pertenece a él es un elemento máximo o mayor de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S.}$

Por ejemplo, considere el conjunto de números reales negativos (excluyendo el cero). Este conjunto no tiene elemento mayor, ya que por cada elemento del conjunto, hay otro elemento más grande. Por ejemplo, para cualquier número real negativo existe otro número real negativo que es mayor. Por otro lado, todo número real mayor o igual a cero es ciertamente un límite superior de este conjunto. Por lo tanto, es el límite superior mínimo de los reales negativos, por lo que el supremo es 0. Este conjunto tiene un elemento supremo pero no un elemento mayor. ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle {\tfrac {x}{2}},}$ ${\displaystyle 0}$

Sin embargo, la definición de elementos máximos y mínimos es más general. En particular, un conjunto puede tener muchos elementos máximos y mínimos, mientras que ínfima y suprema son únicos.

Mientras que los máximos y mínimos deben ser miembros del subconjunto que se está considerando, el mínimo y el supremo de un subconjunto no necesitan ser miembros de ese subconjunto.

Límites superiores mínimos

Finalmente, un conjunto parcialmente ordenado puede tener muchos límites superiores mínimos sin tener un límite superior mínimo. Los límites superiores mínimos son aquellos límites superiores para los cuales no existe un elemento estrictamente más pequeño que también sea un límite superior. Esto no significa que cada límite superior mínimo sea menor que todos los demás límites superiores, simplemente no es mayor. La distinción entre "mínimo" y "mínimo" sólo es posible cuando el orden dado no es total . En un conjunto totalmente ordenado, como los números reales, los conceptos son los mismos.

Como ejemplo, sea el conjunto de todos los subconjuntos finitos de números naturales y considere el conjunto parcialmente ordenado obtenido tomando todos los conjuntos junto con el conjunto de números enteros y el conjunto de números reales positivos ordenados por inclusión de subconjuntos como se indicó anteriormente. Entonces claramente ambos y son mayores que todos los conjuntos finitos de números naturales. Sin embargo, ninguno es menor que ni lo contrario: ambos conjuntos son límites superiores mínimos pero ninguno es supremo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Propiedad de límite mínimo superior

La propiedad del límite mínimo superior es un ejemplo de las propiedades de completitud antes mencionadas , que son típicas del conjunto de números reales. Esta propiedad a veces se denomina completitud de Dedekind .

Si un conjunto ordenado tiene la propiedad de que cada subconjunto no vacío que tiene un límite superior también tiene un límite superior mínimo, entonces se dice que tiene la propiedad de límite superior mínimo. Como se señaló anteriormente, el conjunto de todos los números reales tiene la propiedad de límite superior mínimo. De manera similar, el conjunto de números enteros tiene la propiedad de límite superior mínimo; si es un subconjunto no vacío de y hay algún número tal que cada elemento de es menor o igual que entonces hay un límite superior mínimo para un número entero que es un límite superior y es menor o igual a cualquier otro límite superior para Un conjunto bien ordenado también tiene la propiedad de límite superior mínimo, y el subconjunto vacío también tiene un límite superior mínimo: el mínimo de todo el conjunto. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Un ejemplo de un conjunto que carece de la propiedad del límite superior mínimo es el conjunto de los números racionales. Sea el conjunto de todos los números racionales tales que Entonces tiene un límite superior ( por ejemplo, o ) pero no un límite superior mínimo en : Si suponemos que es el límite superior mínimo, se deduce inmediatamente una contradicción porque entre dos reales cualesquiera y (incluido y ) existe algún racional que en sí mismo tendría que ser el límite superior mínimo (si ) o un miembro de mayor que (si ). Otro ejemplo son los hiperreales ; no existe un límite superior mínimo para el conjunto de infinitesimales positivos. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{2}<2.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1000,}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p<{\sqrt {2}}}$

Existe una propiedad correspondiente de límite mayor-inferior ; un conjunto ordenado posee la propiedad del límite inferior mayor si y sólo si también posee la propiedad del límite superior mínimo; el límite superior mínimo del conjunto de límites inferiores de un conjunto es el límite inferior mayor, y el límite inferior mayor del conjunto de límites superiores de un conjunto es el límite superior mínimo del conjunto.

Si en un conjunto parcialmente ordenado cada subconjunto acotado tiene un supremo, esto se aplica también, para cualquier conjunto en el espacio funcional que contenga todas las funciones desde hasta donde si y sólo si para todos . Por ejemplo, se aplica a funciones reales y, dado que éstas pueden Se pueden considerar casos especiales de funciones, para tuplas reales y secuencias de números reales. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle n}$

La propiedad con el límite mínimo superior es un indicador de la suprema.

Infima y suprema de los números reales

En el análisis , la ínfima y la suprema de subconjuntos de números reales son particularmente importantes. Por ejemplo, los números reales negativos no tienen elemento mayor y su supremo sí lo tiene (que no es un número real negativo). ^[1] La completitud de los números reales implica (y es equivalente a) que cualquier subconjunto acotado y no vacío de los números reales tiene un mínimo y un supremo. Si no está limitado a continuación, a menudo se escribe formalmente. Si está vacío , se escribe ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \inf _{}S=-\infty .}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \inf _{}S=+\infty .}$

Propiedades

Si es cualquier conjunto de números reales entonces si y sólo si y en caso contrario ^[2] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$ ${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$

Si son conjuntos de números reales entonces (a menos que ) y ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$ ${\displaystyle A=\varnothing \neq B}$ ${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

Identificando ínfima y suprema

Si el mínimo de existe (es decir, es un número real) y si es cualquier número real, entonces si y solo si es un límite inferior y para cada hay un con De manera similar, si es un número real y si es cualquier número real, entonces si y sólo si es un límite superior y si para cada uno hay un con ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \inf A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=\inf A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }<p+\epsilon .}$ ${\displaystyle \sup A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=\sup A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }\in A}$ ${\displaystyle a_{\epsilon }>p-\epsilon .}$

Relación con los límites de las secuencias.

Si existe un conjunto no vacío de números reales, entonces siempre existe una secuencia no decreciente tal que De manera similar, existirá una secuencia (posiblemente diferente) no creciente tal que ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle s_{1}\leq s_{2}\leq \cdots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S.}$ ${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq \cdots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\inf S.}$

Expresar el mínimo y el supremo como límite de dicha secuencia permite aplicar teoremas de diversas ramas de las matemáticas. Considere, por ejemplo, el hecho bien conocido de la topología de que si es una función continua y es una secuencia de puntos en su dominio que converge a un punto, entonces necesariamente converge a . Implica que si es un número real (donde todos están en ) y si es una función continua cuyo dominio contiene y luego ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$ ${\displaystyle f(p).}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=\sup S}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},\ldots }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup S,}$

$${\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}$$

^{[nota 1]}punto adherenteno decrecientecomplejanorma sup ${\displaystyle f(\sup S)}$ ${\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Omega \neq \varnothing }$ ${\displaystyle \|g\|_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup _{x\in \Omega }|g(x)|}$ ${\displaystyle q,}$

$${\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}$$

${\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{q}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}}$ ${\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|_{\infty }.}$

Aunque esta discusión se centró en conclusiones similares, se puede llegar a conclusiones con cambios apropiados (como exigir que no sean crecientes en lugar de no decrecientes). Otras normas definidas en términos de o incluyen las normas de espacio débil (para ), la norma sobre el espacio de Lebesgue y las normas de operador . Las secuencias monótonas que convergen a (o a ) también se pueden usar para ayudar a probar muchas de las fórmulas que se dan a continuación, ya que la suma y la multiplicación de números reales son operaciones continuas. ${\displaystyle \sup ,}$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \inf }$ ${\displaystyle L^{p,w}}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sup S}$ ${\displaystyle \inf S}$

Operaciones aritméticas en conjuntos.

Las siguientes fórmulas dependen de una notación que generaliza convenientemente las operaciones aritméticas en conjuntos. En todas partes, hay conjuntos de números reales. ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} }$

Suma de conjuntos

La suma de Minkowski de dos conjuntos y de números reales es el conjunto ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}$$

$${\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}$$

$${\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}$$

Producto de conjuntos

La multiplicación de dos conjuntos y de números reales se define de manera similar a su suma de Minkowski: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}$$

Si y son conjuntos no vacíos de números reales positivos, entonces y de manera similar para suprema ^[3] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)}$ ${\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).}$

Producto escalar de un conjunto

El producto de un número real por un conjunto de números reales es el conjunto. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}$$

Si entonces ${\displaystyle r\geq 0}$

$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}$$

${\displaystyle r\leq 0}$

$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}$$

${\displaystyle r=-1}$ ${\textstyle -A:=(-1)A=\{-a:a\in A\},}$

$${\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}$$

Inverso multiplicativo de un conjunto

Para cualquier conjunto que no contenga let ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0,}$

$${\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}$$

Si no está vacío entonces ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty )}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}$$

^{[nota 2][nota 2]} ${\displaystyle \sup _{}S=\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.}$ ${\displaystyle \inf _{}S=0}$ ${\displaystyle \sup _{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,}$ ${\displaystyle \inf _{}S>0,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}.}$

Dualidad

Si se denota por el conjunto parcialmente ordenado con la relación de orden opuesto ; es decir, para todos declarar: ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x{\text{ and }}y,}$

$${\displaystyle x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ if and only if }}\quad x\geq y{\text{ in }}P,}$$

${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$

Para subconjuntos de números reales, se cumple otro tipo de dualidad: donde ${\displaystyle \inf S=-\sup(-S),}$ ${\displaystyle -S:=\{-s~:~s\in S\}.}$

Ejemplos

Infima

• El mínimo del conjunto de números es El número es un límite inferior, pero no el máximo límite inferior y, por tanto, no es el mínimo. ${\displaystyle \{2,3,4\}}$ ${\displaystyle 2.}$ ${\displaystyle 1}$
• De manera más general, si un conjunto tiene un elemento más pequeño, entonces el elemento más pequeño es el mínimo del conjunto. En este caso, también se le llama mínimo del conjunto.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots \}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}$
• Si es una secuencia decreciente con límite entonces ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

Suprema

• El supremo del conjunto de números es el límite superior, pero no es el límite superior mínimo y, por tanto, no es el supremo. ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle 3.}$ ${\displaystyle 4}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

En el último ejemplo, el supremo de un conjunto de racionales es irracional , lo que significa que los racionales son incompletos .

Una propiedad básica del supremo es

$${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}$$

funcional ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

El supremo de un subconjunto de donde denota " divide ", es el mínimo común múltiplo de los elementos de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)}$ ${\displaystyle \,\mid \,}$ ${\displaystyle S.}$

El supremo de un conjunto que contiene subconjuntos de algún conjunto es la unión de los subconjuntos cuando se considera el conjunto parcialmente ordenado , donde es el conjunto potencia de y es subconjunto . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (P(X),\subseteq )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\subseteq \,}$

Ver también

• Esencial supremum y esencial infimum  – Infimum y supremum en casi todas partesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Elemento mayor y elemento menor  : elemento ≥ (o ≤) entre sí
• Elementos máximos y mínimos  : elemento que no es ≤ (o ≥) ningún otro elemento
• Límite superior y límite inferior  – Límites de una secuencia Pages displaying short descriptions of redirect targets(límite mínimo)
• Límites superior e inferior  : mayor y menor en matemáticas

Notas

1. Ya que es una secuencia en la que converge a esta garantía que pertenece al cierre de ${\displaystyle f\left(s_{1}\right),f\left(s_{2}\right),\ldots }$ ${\displaystyle f(S)}$ ${\displaystyle f(\sup S),}$ ${\displaystyle f(\sup S)}$ ${\displaystyle f(S).}$
2. La definición se usa comúnmente con los números reales extendidos ; de hecho, con esta definición la igualdad también será válida para cualquier subconjunto no vacío. Sin embargo, la notación generalmente no está definida, razón por la cual la igualdad se da sólo cuando ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}:=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sup _{}S}}=\inf _{}{\tfrac {1}{S}}}$ ${\displaystyle S\subseteq (0,\infty ].}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\inf _{}S}}=\sup _{}{\tfrac {1}{S}}}$ ${\displaystyle \inf _{}S>0.}$

Referencias

1. Rudin, Walter (1976). ""Capítulo 1 Los sistemas de números reales y complejos"". Principios del análisis matemático (impreso) (3ª ed.). McGraw-Hill. p. 4. ISBN 0-07-054235-X.
2. Rockafellar y Wets 2009, págs. 1-2.
3. Zakon, Elías (2004). Análisis Matemático I. Grupo Trillia. págs. 39–42.

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 317. Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544.

enlaces externos

• "Límites superior e inferior", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Breitenbach, Jerome R. y Weisstein, Eric W. "Ínfimo y supremo". MundoMatemático .