Diferencia absoluta

Valor absoluto de (x - y), una métrica

Mostrando la diferencia absoluta de números reales y como la distancia entre ellos en la recta real . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

La diferencia absoluta de dos números reales y se expresa mediante , el valor absoluto de su diferencia . Describe la distancia en la línea real entre los puntos correspondientes a y . Es un caso especial de la distancia L p para todos y es la métrica estándar utilizada tanto para el conjunto de números racionales como para su completitud, el conjunto de números reales . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle |x-y|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Como ocurre con cualquier métrica, las propiedades de la métrica son las siguientes:

• ${\displaystyle |x-y|\geq 0}$, ya que el valor absoluto siempre es no negativo.
• ${\displaystyle |x-y|=0}$   si y sólo si   . ${\displaystyle x=y}$
• ${\displaystyle |x-y|=|y-x|}$     ( simetría o conmutatividad ).
• ${\displaystyle |x-z|\leq |x-y|+|y-z|}$     ( desigualdad triangular ); en el caso de la diferencia absoluta, la igualdad se cumple si y sólo si o . ${\displaystyle x\leq y\leq z}$ ${\displaystyle x\geq y\geq z}$

Por el contrario, la resta simple no es no negativa ni conmutativa, pero sí obedece a las propiedades segunda y cuarta anteriores, ya que si y sólo si , y . ${\displaystyle x-y=0}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle x-z=(x-y)+(y-z)}$

La diferencia absoluta se utiliza para definir otras cantidades, incluida la diferencia relativa , la norma L ¹ utilizada en la geometría de los taxis y los etiquetados elegantes en la teoría de grafos .

Cuando es deseable evitar la función de valor absoluto –por ejemplo, porque es costosa de calcular o porque su derivada no es continua–, a veces se puede eliminar mediante la identidad

${\displaystyle |x-y|<|z-w|}$si y sólo si . ${\displaystyle (x-y)^{2}<(z-w)^{2}}$

Esto se deduce porque el cuadrado es monótono en los números reales no negativos. ${\displaystyle |x-y|^{2}=(x-y)^{2}}$

Propiedades adicionales

• En cualquier subconjunto S de los números reales que tiene un Ínfimo y un Supremo, la diferencia absoluta entre dos números cualesquiera en S es menor o igual que la diferencia absoluta del Ínfimo y el Supremo de S.

Véase también

• Desviación absoluta

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Diferencia absoluta". MundoMatemático .