Cambio relativo

Comparaciones en ciencias cuantitativas.

En cualquier ciencia cuantitativa , los términos cambio relativo y diferencia relativa se utilizan para comparar dos cantidades teniendo en cuenta los "tamaños" de las cosas que se comparan, es decir, dividiéndolas por un estándar o referencia o valor inicial . ^[1] La comparación se expresa como una razón y es un número sin unidades . Al multiplicar estas proporciones por 100, se pueden expresar como porcentajes, por lo que los términos cambio porcentual , diferencia porcentual (edad) o diferencia porcentual relativa también se utilizan comúnmente. Los términos "cambio" y "diferencia" se utilizan indistintamente. ^[2]

El cambio relativo se utiliza a menudo como indicador cuantitativo de garantía y control de calidad para mediciones repetidas donde se espera que los resultados sean los mismos. Un caso especial de cambio porcentual (cambio relativo expresado como porcentaje) llamado error porcentual ocurre en situaciones de medición donde el valor de referencia es el valor aceptado o real (tal vez determinado teóricamente) y el valor que se compara con él se determina experimentalmente (mediante medición). .

La fórmula de cambio relativo no se comporta bien en muchas condiciones. En la literatura se han propuesto varias fórmulas alternativas, denominadas indicadores de cambio relativo . Varios autores han encontrado que el cambio logarítmico y los puntos logarítmicos son indicadores satisfactorios, pero no han tenido un uso generalizado. ^[3]

Definición

Dadas dos cantidades numéricas, v _ref y v con v _ref algún valor de referencia, su cambio real , diferencia real o cambio absoluto es Δ v = v − v _ref . El término diferencia absoluta a veces también se utiliza aunque no se tome el valor absoluto; el signo de Δ suele ser uniforme, por ejemplo, en una serie de datos creciente. Si la relación del valor con respecto al valor de referencia (es decir, mayor o menor) no importa en una aplicación particular, se puede usar el valor absoluto en lugar del cambio real en la fórmula anterior para producir un valor para el cambio relativo que siempre es no negativo. La diferencia real no suele ser una buena forma de comparar los números, en particular porque depende de la unidad de medida. Por ejemplo,1  m es lo mismo que100  cm , pero la diferencia absoluta entre2 y 1 m es 1 mientras que la diferencia absoluta entre200 y 100 cm son 100, dando la impresión de una diferencia mayor. ^[4] Pero incluso con unidades constantes, el cambio relativo ayuda a juzgar la importancia del cambio respectivo. Por ejemplo, un aumento en el precio de$100 de un objeto valioso se considera grande si se cambia de$50 a 150 pero bastante pequeño al cambiar de$10,000 a 10,100 .

Podemos ajustar la comparación para tener en cuenta el "tamaño" de las cantidades involucradas, definiendo, para valores positivos de v _ref :

$${\displaystyle {\text{Relative change}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {\text{Actual change}}{v_{\text{ref}}}}={\frac {v-v_{\text{ref}}}{v_{\text{ref}}}}.}$$

El cambio relativo es independiente de la unidad de medida empleada; por ejemplo, el cambio relativo de2 a 1  m es−50% , lo mismo que para200 a 100 centímetros . El cambio relativo no se define si el valor de referencia ( v _ref ) es cero y da valores negativos para aumentos positivos si v _ref es negativo, por lo que tampoco suele definirse para valores de referencia negativos. Por ejemplo, es posible que deseemos calcular el cambio relativo de −10 a −6. La fórmula anterior da(-6) - (-10)/−10=4/−10= −0,4 , lo que indica una disminución, pero en realidad la lectura aumentó.

Las medidas de cambio relativo son números sin unidades expresados ​​como fracción . Los valores correspondientes de cambio porcentual se obtendrían multiplicando estos valores por 100 (y añadiendo el signo % para indicar que el valor es un porcentaje).

Dominio

La restricción de dominio del cambio relativo a números positivos a menudo plantea una restricción. Para evitar este problema es común tomar el valor absoluto, de modo que la fórmula de cambio relativo funcione correctamente para todos los valores distintos de cero de v _ref :

$${\displaystyle {\text{Relative change}}(v_{\text{ref}},v)={\frac {v-v_{\text{ref}}}{|v_{\text{ref}}|}}.}$$

Esto todavía no resuelve el problema cuando la referencia es cero. En su lugar, es común utilizar un indicador de cambio relativo y tomar los valores absolutos de v y . Entonces el único caso problemático es , que normalmente puede solucionarse ampliando adecuadamente el indicador. Por ejemplo, para la media aritmética se puede utilizar esta fórmula: ^[5] ${\displaystyle v_{\text{reference}}}$ ${\displaystyle v=v_{\text{reference}}=0}$

$${\displaystyle d_{r}(x,y)={\frac {|x-y|}{(|x|+|y|)/2}},\ d_{r}(0,0)=0}$$

Error porcentual

El error porcentual es un caso especial de la forma porcentual de cambio relativo calculado a partir del cambio absoluto entre los valores experimentales (medidos) y teóricos (aceptados), y dividiendo por el valor teórico (aceptado).

$${\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {|{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}|}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}$$

Los términos "experimental" y "teórico" utilizados en la ecuación anterior suelen sustituirse por términos similares. Otros términos utilizados para experimental podrían ser "medidos", "calculados" o "reales" y otro término utilizado para teórico podría ser "aceptado". El valor experimental es lo que se ha obtenido mediante el uso de cálculos y/o mediciones y su precisión se compara con el valor teórico, un valor aceptado por la comunidad científica o un valor que podría verse como una meta para un resultado exitoso.

Aunque es una práctica común utilizar la versión de valor absoluto del cambio relativo cuando se analiza el error porcentual, en algunas situaciones puede resultar beneficioso eliminar los valores absolutos para proporcionar más información sobre el resultado. Por tanto, si un valor experimental es menor que el valor teórico, el error porcentual será negativo. Este resultado negativo proporciona información adicional sobre el resultado experimental. Por ejemplo, calcular experimentalmente la velocidad de la luz y obtener un porcentaje de error negativo dice que el valor experimental es una velocidad menor que la velocidad de la luz. Esta es una gran diferencia con respecto a obtener un error porcentual positivo, lo que significa que el valor experimental es una velocidad mayor que la velocidad de la luz (violando la teoría de la relatividad ) y es un resultado de interés periodístico.

La ecuación de error porcentual, cuando se reescribe eliminando los valores absolutos, queda como:

$${\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}$$

Es importante señalar que los dos valores del numerador no se conmutan . Por tanto, es vital preservar el orden anterior: restar el valor teórico al valor experimental y no al revés.

Cambio porcentual

Un cambio porcentual es una forma de expresar un cambio en una variable. Representa el cambio relativo entre el valor antiguo y el nuevo. ^[6]

Por ejemplo, si una casa vale $100 000 hoy y el año siguiente su valor sube a $110 000, el cambio porcentual de su valor se puede expresar como

$${\displaystyle {\frac {110000-100000}{100000}}=0.1=10\%.}$$

Entonces se puede decir que el valor de la casa aumentó un 10%.

De manera más general, si V ₁ representa el valor anterior y V ₂ el nuevo,

$${\displaystyle {\text{Percentage change}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\times 100\%.}$$

Algunas calculadoras admiten esto directamente a través de una función %CHo .Δ%

Cuando la variable en cuestión es un porcentaje en sí, es mejor hablar de su cambio utilizando puntos porcentuales , para evitar confusión entre diferencia relativa y diferencia absoluta .

Ejemplo de porcentajes de porcentajes

Si un banco aumentara la tasa de interés de una cuenta de ahorros del 3% al 4%, la afirmación de que "la tasa de interés aumentó un 1%" sería incorrecta y engañosa. El cambio absoluto en esta situación es de 1 punto porcentual (4% − 3%), pero el cambio relativo en la tasa de interés es:

$${\displaystyle {\frac {4\%-3\%}{3\%}}=0.333\ldots =33{\frac {1}{3}}\%.}$$

En general, el término "punto(s) porcentual(es)" indica un cambio absoluto o diferencia de porcentajes, mientras que el signo de porcentaje o la palabra "porcentaje" se refiere al cambio o diferencia relativa. ^[7]

Ejemplos

Comparaciones

El auto M cuesta $50 000 y el auto L cuesta $40 000. Deseamos comparar estos costos. ^[8] Con respecto al auto L , la diferencia absoluta es $10,000 = $50,000 − $40,000 . Es decir, el automóvil M cuesta $10 000 más que el automóvil L. La diferencia relativa es,

$${\displaystyle {\frac {\$10,000}{\$40,000}}=0.25=25\%,}$$

Mmás queL.

$${\displaystyle {\frac {\$50,000}{\$40,000}}=1.25=125\%,}$$

MdelL.

En este ejemplo, el costo del automóvil L se consideró el valor de referencia, pero podríamos haber elegido el costo del automóvil M como valor de referencia. La diferencia absoluta es ahora −$10 000 = $40 000 − $50 000 ya que el automóvil L cuesta $10 000 menos que el automóvil M. La diferencia relativa,

$${\displaystyle {\frac {-\$10,000}{\$50,000}}=-0.20=-20\%}$$

Lmenos queM.

$${\displaystyle {\frac {\$40,000}{\$50,000}}=0.8=80\%}$$

LdeM.

Es el uso de las palabras "de" y "menos/más que" lo que distingue entre proporciones y diferencias relativas. ^[9]

Indicadores de cambio relativo

El cambio relativo (clásico) anterior es solo una de las posibles medidas/indicadores de cambio relativo. Un indicador de cambio relativo de x (valor inicial o de referencia) a y (nuevo valor) es una función binaria de valor real definida para el dominio de interés que satisface las siguientes propiedades: ^[10] ${\displaystyle R(x,y)}$

• Señal apropiada: ${\displaystyle {\begin{cases}R(x,y)>0&{\text{iff }}y>x\\R(x,y)=0&{\text{iff }}y=x\\R(x,y)<0&{\text{iff }}y<x\end{cases}}.}$
• R es una función creciente de y cuando x es fijo.
• R es continua.
• Independiente de la unidad de medida: para todos , . ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle R(ax,ay)=R(x,y)}$

Debido a la condición de independencia, cada función R se puede escribir como una función de argumento único H de la relación . ^[11] También está claro que si satisface las otras condiciones también lo hará, para cada . Por lo tanto, restringimos aún más los indicadores que deben normalizarse de manera que . Se puede demostrar que esto implica que todos estos indicadores se comportan como el clásico cuando está cerca de ${\displaystyle y/x}$ ${\displaystyle H(y/x)}$ ${\displaystyle cH(y/x)}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle H'(1)=1}$ ${\displaystyle y/x}$1 .

Generalmente , el indicador de cambio relativo se presenta como el cambio real Δ escalado por alguna función de los valores xey , digamos f ( x , y ) . ^[2]

$${\displaystyle {\text{Relative change}}(x,y)={\frac {{\text{Actual change}}\,\Delta }{f(x,y)}}={\frac {y-x}{f(x,y)}}.}$$

Al igual que con el cambio relativo clásico, el cambio relativo general no está definido si f ( x , y ) es cero. Se han propuesto varias opciones para la función f ( x , y ) : ^[12]

Como se puede observar en la tabla, todos los indicadores excepto los dos primeros tienen como denominador una media . Una de las propiedades de una función media es: ^[12] , lo que significa que todos esos indicadores tienen una propiedad de "simetría" de la que carece el cambio relativo clásico: . Esto concuerda con la intuición de que un cambio relativo de x a y debería tener la misma magnitud que un cambio relativo en la dirección opuesta, y a x , tal como sugiere la relación. ${\displaystyle m(x,y)}$ ${\displaystyle m(x,y)=m(y,x)}$ ${\displaystyle R(x,y)=-R(y,x)}$ ${\displaystyle {\frac {y}{x}}={\frac {1}{\frac {x}{y}}}}$

Se ha recomendado el cambio medio máximo al comparar valores de coma flotante en lenguajes de programación para determinar la igualdad con una cierta tolerancia. ^[13] Otra aplicación es el cálculo de errores de aproximación cuando se requiere el error relativo de una medición. ^{[ cita necesaria ]} Se ha recomendado el cambio medio mínimo para su uso en econometría. ^{[14] [15]} El cambio logarítmico se ha recomendado como reemplazo de propósito general del cambio relativo y se analiza con más detalle a continuación.

Tenhunen define una función de diferencia relativa general de L (valor de referencia) a K : ^[16]

$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}\int _{1}^{K/L}t^{c-1}dt&{\text{when }}K>L\\-\int _{K/L}^{1}t^{c-1}dt&{\text{when }}K<L\end{cases}}}$$

lo que lleva a

$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}{\frac {1}{c}}\cdot ((K/L)^{c}-1)&c\neq 0\\\ln(K/L)&c=0,K>0,L>0\end{cases}}}$$

En particular para los casos especiales , ${\displaystyle c=\pm 1}$

$${\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}(K-L)/K&c=-1\\(K-L)/L&c=1\end{cases}}}$$

cambio logarítmico

De estos indicadores de cambio relativo, podría decirse que el más natural es el logaritmo natural (ln) de la relación de los dos números (final e inicial), llamado cambio logarítmico . ^[2] De hecho, cuando , se cumple la siguiente aproximación: ${\displaystyle \left|{\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\right|\ll 1}$

$${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}\approx \int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V_{0}}}={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}={\text{classical relative change}}}$$

De la misma manera que el cambio relativo se escala en 100 para obtener porcentajes, se puede escalar en 100 para obtener lo que comúnmente se llama puntos logarítmicos . ^[17] Los puntos logarítmicos son equivalentes a la unidad de centinepers (cNp) cuando se miden para cantidades de potencia de raíz. ^{[18] [19]} Esta cantidad también se conoce como porcentaje logarítmico y se denota como L% . ^[2] Dado que la derivada del logaritmo natural en 1 es 1, los puntos logarítmicos son aproximadamente iguales al cambio porcentual para diferencias pequeñas; por ejemplo, un aumento del 1% equivale a un aumento de 0,995 cNp, y un aumento del 5% da 4,88 cNp. aumentar. Esta propiedad de aproximación no se aplica a otras opciones de base logarítmica, que introducen un factor de escala debido a que la derivada no es 1. Por lo tanto, los puntos logarítmicos se pueden utilizar como reemplazo del cambio porcentual. ^{[20] [18]} ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}}$

Aditividad

El uso del cambio logarítmico tiene las ventajas de la aditividad en comparación con el cambio relativo. ^{[2] [18]} Específicamente, cuando se utiliza el cambio logarítmico, el cambio total después de una serie de cambios es igual a la suma de los cambios. Con el porcentaje, sumar los cambios es sólo una aproximación, con un error mayor para cambios mayores. ^[18] Por ejemplo:

Tenga en cuenta que en la tabla anterior, dado que el cambio relativo 0 (respectivamente el cambio relativo 1 ) tiene el mismo valor numérico que el cambio logarítmico 0 (respectivamente el cambio logarítmico 1 ), no corresponde a la misma variación. La conversión entre cambios relativos y logarítmicos se puede calcular como . ${\displaystyle {\text{log change}}=\ln(1+{\text{relative change}})}$

Por aditividad, y por lo tanto aditividad implica una especie de propiedad de simetría, es decir, y por lo tanto la magnitud de un cambio expresado en cambio logarítmico es la misma ya sea que se elija V ₀ o V ₁ como referencia. ^[18] Por el contrario, para el cambio relativo, , la diferencia se hace mayor a medida que V ₁ o V ₀ se aproxima a 0, mientras que el otro permanece fijo. Por ejemplo: ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}+\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}=0}$ ${\displaystyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=-\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\neq -{\frac {V_{0}-V_{1}}{V_{1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {(V_{1}-V_{0})^{2}}{V_{0}V_{1}}}}$

Aquí 0 ⁺ significa llevar el límite desde arriba hacia 0.

Unicidad y extensiones.

El cambio logarítmico es la única función de dos variables que es aditiva y cuya linealización coincide con el cambio relativo. Existe una familia de funciones de diferencia aditiva para any , de modo que el cambio absoluto es y el cambio logarítmico es . ^[21] ${\displaystyle F_{\lambda }(x,y)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

Ver también

• error de aproximación
• Errores y residuos en estadística.
• Desviación estándar relativa
• Escala logarítmica

Notas

1. "IEC 60050 - Detalles del IEV número 112-03-07:" relativo"". Vocabulario Electrotécnico Internacional (en japonés) . Consultado el 24 de septiembre de 2023 .
2. Törnqvist, Vartia y Vartia 1985.
3. Törnqvist, Vartia y Vartia 1985, pág. 11: "Sugerimos que este indicador se utilice más ampliamente".
4. Vartia 1976, pag. 9.
5. Miller, H. Ronald (29 de marzo de 2011). Optimización: Fundamentos y Aplicaciones. Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03118-6.
6. Kazmi, Kumail (26 de marzo de 2021). "Calculadora de aumento porcentual". Smadent: el mejor sitio web educativo de Pakistán . Editorial Smadent . Consultado el 26 de marzo de 2021 .
7. Bennett y Briggs 2005, pág. 141
8. Bennett y Briggs 2005, págs. 137-139
9. Bennett y Briggs 2005, p.140
10. Vartia 1976, pag. 10.
11. Vartia 1976, pag. 14.
12. Törnqvist, Vartia y Vartia 1985, p. 5.
13. ¿Cuál es una buena manera de comprobar si hay una igualdad de punto flotante lo suficientemente cercana?
14. Rao, Potluri; Molinero, Roger LeRoy (1971). Econometría aplicada. Belmont, California, Pub Wadsworth. Co.p. 17.ISBN​ 978-0-534-00031-8.
15. Vartia 1976, págs. 17-18.
16. Tenhunen 1990, pag. 20.
17. Békés, Gábor; Kézdi, Gábor (6 de mayo de 2021). Análisis de datos para empresas, economía y políticas. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 203.ISBN​ 978-1-108-48301-8.
18. Karjus, Andrés; Blythe, Richard A.; Kirby, Simón; Smith, Kenny (10 de febrero de 2020). "Cuantificar la dinámica de las fluctuaciones tópicas del lenguaje". Dinámica y cambio del lenguaje . 10 (1). Apartado A.3.1. arXiv : 1806.00699 . doi : 10.1163/22105832-01001200 . S2CID  46928080.
19. Huevas, John; deForest, Russ; Jamshidi, Sara (26 de abril de 2018). Matemáticas para la Sostenibilidad. Saltador. pag. 190. doi :10.1007/978-3-319-76660-7_4. ISBN 978-3-319-76660-7.
20. Doyle, Patrick (24 de agosto de 2016). "El caso de una métrica de rendimiento logarítmica". Soluciones Vena .
21. Brauen, Silvan; Erpf, Philipp; Wasem, Micha (2020). "Sobre el cambio absoluto y relativo". Revista Electrónica SSRN . arXiv : 2011.14807 . doi :10.2139/ssrn.3739890. S2CID  227228720.

Referencias

• Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Uso y comprensión de las matemáticas: un enfoque de razonamiento cuantitativo (3.ª ed.), Boston: Pearson, ISBN 0-321-22773-5
• "Comprensión de las medidas y la representación gráfica" (PDF) . Universidad Estatal de Carolina del Norte . 2008-08-20. Archivado desde el original (PDF) el 15 de junio de 2010 . Consultado el 5 de mayo de 2010 .
• "Diferencia porcentual: error porcentual" (PDF) . Universidad Estatal de Illinois, Departamento de Física. 2004-07-20. Archivado desde el original (PDF) el 13 de julio de 2019 . Consultado el 5 de mayo de 2010 .
• Törnqvist, Leo; Vartia, Pentti; Vartia, Yrjö (1985), "¿Cómo deberían medirse los cambios relativos?" (PDF) , The American Statistician , 39 (1): 43–46, doi :10.2307/2683905, JSTOR  2683905
• Tenhunen, Lauri (1990). El CES y las técnicas de producción paritaria, la distribución del ingreso y la teoría neoclásica de la producción (Doctor). A. vol. 290. Universidad de Tampere.
• Vartia, Yrjö O. (1976). Cambios relativos y números índice (PDF) . ETLA A 4. Helsinki: Instituto de Investigación de la Economía Finlandesa. ISBN 951-9205-24-1. Consultado el 20 de noviembre de 2022 .