Espacio vectorial normado

Espacio vectorial en el que se define una distancia.

Jerarquía de espacios matemáticos. Los espacios vectoriales normados son un superconjunto de espacios de productos internos y un subconjunto de espacios métricos , que a su vez es un subconjunto de espacios topológicos .

En matemáticas , un espacio vectorial normado o espacio normado es un espacio vectorial sobre los números reales o complejos sobre los que se define una norma . ^[1] Una norma es una generalización de la noción intuitiva de "longitud" en el mundo físico. Si es un espacio vectorial sobre , donde es un campo igual a o a , entonces una norma en es un mapa , normalmente denotado por , que satisface los siguientes cuatro axiomas: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$

1. No negatividad: para cada , . ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$
2. Definitividad positiva: para todo , si y sólo si es el vector cero. ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \;\lVert x\rVert =0}$ ${\displaystyle x}$
3. Homogeneidad absoluta: para todos y , ${\displaystyle \lambda \in K}$ ${\displaystyle x\in V}$
   $${\displaystyle \lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert }$$
4. Desigualdad triangular : para cada y , ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle y\in V}$
   $${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

Si es un espacio vectorial real o complejo como el anterior, y es una norma en , entonces el par ordenado se llama espacio vectorial normado. Si del contexto queda claro qué norma se pretende, entonces es común denotar el espacio vectorial normado simplemente por . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$ ${\displaystyle V}$

Una norma induce una distancia , llamada métrica inducida (norma) , mediante la fórmula

$${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$$

espacio métricoespacio vectorial topológicocompletoespacio de Banachsucesiones finitasnorma euclidiana

Un espacio producto interno es un espacio vectorial normado cuya norma es la raíz cuadrada del producto interno de un vector por sí mismo. La norma euclidiana de un espacio vectorial euclidiano es un caso especial que permite definir la distancia euclidiana mediante la fórmula

$${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$$

El estudio de los espacios normados y los espacios de Banach es una parte fundamental del análisis funcional , un subcampo importante de las matemáticas.

Definición

Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial equipado con una norma . AEl espacio vectorial seminormado es un espacio vectorial equipado con unaseminorma.

Una variación útil de la desigualdad del triángulo es

$${\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||}$$

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

Esto también muestra que una norma vectorial es una función (uniformemente) continua .

La propiedad 3 depende de la elección de una norma en el campo de los escalares. Cuando el campo escalar es (o más generalmente un subconjunto de ), generalmente se considera el valor absoluto ordinario , pero son posibles otras opciones. Por ejemplo, para un espacio vectorial superior a uno podría tomarse como el valor absoluto -ádico . ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\alpha |}$ ${\displaystyle p}$

Estructura topológica

Si es un espacio vectorial normado, la norma induce una métrica (una noción de distancia ) y por lo tanto una topología en Esta métrica se define de forma natural: la distancia entre dos vectores y está dada por Esta topología es precisamente la topología más débil que hace continuo y que es compatible con la estructura lineal de en el siguiente sentido: ${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$ ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$ ${\displaystyle V}$

1. La suma de vectores es conjuntamente continua con respecto a esta topología. Esto se deriva directamente de la desigualdad del triángulo . ${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$
2. La multiplicación escalar donde está el campo escalar subyacente de es conjuntamente continua. Esto se desprende del triángulo de desigualdad y homogeneidad de la norma. ${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle V,}$

De manera similar, para cualquier espacio vectorial seminormado podemos definir la distancia entre dos vectores y como Esto convierte el espacio seminormado en un espacio pseudométrico (obsérvese que es más débil que una métrica) y permite la definición de nociones como continuidad y convergencia . Para decirlo de manera más abstracta, todo espacio vectorial seminormado es un espacio vectorial topológico y, por lo tanto, conlleva una estructura topológica inducida por la seminorma. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$

De especial interés son los espacios normados completos , que se conocen como espacios de Banach . Todo espacio vectorial normado se ubica como un subespacio denso dentro de algún espacio de Banach; Este espacio de Banach está esencialmente definido de manera única y se llama la finalización de ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V.}$

Dos normas en el mismo espacio vectorial se llaman equivalentes si definen la misma topología . En un espacio vectorial de dimensión finita, todas las normas son equivalentes, pero esto no es cierto para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes desde un punto de vista topológico, ya que inducen la misma topología (aunque los espacios métricos resultantes no tienen por qué ser los mismos). ^[2] Y dado que cualquier espacio euclidiano es completo, podemos concluir que todos los espacios vectoriales normados de dimensión finita son espacios de Banach. Un espacio vectorial normado es localmente compacto si y sólo si la bola unitaria es compacta , que es el caso si y sólo si es de dimensión finita; esto es una consecuencia del lema de Riesz . (De hecho, un resultado más general es cierto: un espacio vectorial topológico es localmente compacto si y sólo si es de dimensión finita. El punto aquí es que no asumimos que la topología proviene de una norma). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$ ${\displaystyle V}$

La topología de un espacio vectorial seminormado tiene muchas propiedades interesantes. Dado un sistema de vecindad alrededor de 0, podemos construir todos los demás sistemas de vecindad como ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$

$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$$

$${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$$

Además, existe una base de vecindad para el origen que consta de conjuntos absorbentes y convexos . Como esta propiedad es muy útil en el análisis funcional , las generalizaciones de espacios vectoriales normados con esta propiedad se estudian bajo el nombre de espacios localmente convexos .

Una norma (o seminorma ) en un espacio vectorial topológico es continua si y sólo si la topología que induce a es más basta que (es decir, ), lo que ocurre si y sólo si existe alguna bola abierta en (como tal vez , por ejemplo) que está abierto en (dicho diferente, tal que ). ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B\in \tau }$

Espacios normales

Un espacio vectorial topológico se llama normable si existe una norma tal que la métrica canónica induce la topología . El siguiente teorema se debe a Kolmogorov : ^[3] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto \|y-x\|}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Criterio de normalidad de Kolmogorov : un espacio vectorial topológico de Hausdorff es normal si y sólo si existe unavecindad convexa acotada de von Neumann de ${\displaystyle 0\in X.}$

Un producto de una familia de espacios normables es normal si y sólo si sólo un número finito de espacios no son triviales (es decir, ). ^[3] Además, el cociente de un espacio normal por un subespacio vectorial cerrado es normable, y si además la topología está dada por una norma, entonces el mapa dado por es una norma bien definida que induce la topología del cociente en ^{[4 ]} ${\displaystyle \neq \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\,\cdot ,\|}$ ${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$ ${\displaystyle X/C}$ ${\displaystyle X/C.}$

Si es un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff , entonces lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es normal.
2. ${\displaystyle X}$Tiene un barrio acotado del origen.
3. el fuerte espacio dual de es normal. ^[5] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
4. el fuerte espacio dual de es metrizable . ^[5] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

Además, es de dimensión finita si y sólo si es normal (aquí denota dotado de la topología débil-* ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

La topología del espacio de Fréchet tal como se define en el artículo sobre espacios de funciones y distribuciones de prueba , está definida por una familia contable de normas pero no es un espacio normable porque no existe ninguna norma sobre la cual la topología que esta norma induce es igual a ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \tau .}$

Incluso si un espacio vectorial topológico metrizable tiene una topología definida por una familia de normas, es posible que aún no sea un espacio normal (lo que significa que su topología no puede definirse por una sola norma). Un ejemplo de tal espacio es el espacio de Fréchet cuya definición se puede encontrar en el artículo sobre espacios de funciones y distribuciones de prueba , porque su topología está definida por una familia contable de normas pero no es un espacio normable porque no existe ninguna. norma en tal que la topología que esta norma induce es igual a De hecho, la topología de un espacio localmente convexo puede estar definida por una familia de normas en si y sólo si existe al menos una norma continua en ^[6] ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Mapas lineales y espacios duales.

Los mapas más importantes entre dos espacios vectoriales normados son los mapas lineales continuos . Junto con estos mapas, los espacios vectoriales normados forman una categoría .

La norma es una función continua en su espacio vectorial. Todos los mapas lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita también son continuos.

Una isometría entre dos espacios vectoriales normados es un mapa lineal que conserva la norma (es decir, para todos los vectores ). Las isometrías son siempre continuas e inyectivas . Una isometría sobreyectiva entre los espacios vectoriales normados y se llama isomorfismo isométrico , y y se llaman isométricamente isomórficos . Los espacios vectoriales normados isométricamente isomórficos son idénticos a todos los efectos prácticos. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Cuando hablamos de espacios vectoriales normados, ampliamos la noción de espacio dual para tener en cuenta la norma. El dual de un espacio vectorial normado es el espacio de todos los mapas lineales continuos desde el campo base (los complejos o los reales); dichos mapas lineales se denominan "funcionales". La norma de un funcional se define como el supremo de donde se extiende sobre todos los vectores unitarios (es decir, vectores de norma ) en Esto se convierte en un espacio vectorial normado. Un teorema importante sobre funcionales lineales continuos en espacios vectoriales normados es el teorema de Hahn-Banach . ${\displaystyle V^{\prime }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle V^{\prime }}$

Espacios normados como espacios cocientes de espacios seminormados

La definición de muchos espacios normados (en particular, espacios de Banach ) implica una seminorma definida en un espacio vectorial y luego el espacio normado se define como el espacio cociente por el subespacio de elementos de la seminorma cero. Por ejemplo, con los espacios , la función definida por ${\displaystyle L^{p}}$

$${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$$

integral de Lebesguesoportadamedida

Espacios de productos finitos

Dados espacios seminormados con seminormas denotamos el espacio del producto por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(X_{i},q_{i}\right)}$ ${\displaystyle q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$$

$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)}$$

$${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$$

Definir una nueva función mediante ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),}$$

${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{i}}$

De manera más general, para cada real el mapa definido por ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$

${\displaystyle p}$

Un argumento sencillo que involucra álgebra lineal elemental muestra que los únicos espacios seminormados de dimensión finita son aquellos que surgen como el espacio producto de un espacio normado y un espacio con seminorma trivial. En consecuencia, muchos de los ejemplos y aplicaciones más interesantes de espacios seminormados ocurren para espacios vectoriales de dimensión infinita.

Ver también

• Espacio de Banach , espacios vectoriales normados que son completos respecto a la métrica inducida por la norma
• Banach-Mazur compactum  : conjunto de subespacios n-dimensionales de un espacio normado convertidos en un espacio métrico compacto.
• Colector de Finsler , donde la longitud de cada vector tangente está determinada por una norma
• Espacio producto interno , espacios vectoriales normados donde la norma viene dada por un producto interno
• Criterio de normalidad de Kolmogorov  - Caracterización de espacios normables
• Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
• Espacio (matemáticas) : conjunto matemático con alguna estructura adicional
• Espacio vectorial topológico  : espacio vectorial con noción de cercanía

Referencias

1. Callier, Frank M. (1991). Teoría de sistemas lineales . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.
2. Kedlaya, Kiran S. (2010),p -ecuaciones diferenciales ádicas , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 125, Prensa de la Universidad de Cambridge , CiteSeerX  10.1.1.165.270 , ISBN 978-0-521-76879-5, Teorema 1.3.6
3. Schaefer 1999, pág. 41.
4. Schaefer 1999, pag. 42.
5. Trèves 2006, págs. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433.
6. Jarchow 1981, pág. 130. sfn error: no target: CITEREFJarchow1981 (help)

Bibliografía

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie Internacional en Matemática Pura y Aplicada. vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Ciencias/Ingeniería/Matemáticas . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol. 1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
• Rolewicz, Stefan (1987), Análisis funcional y teoría del control: sistemas lineales , Matemáticas y sus aplicaciones (Serie de Europa del Este), vol. 29 (Traducido del polaco por Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Varsovia: D. Reidel Publishing Co.; PWN: Editores científicos polacos, págs. xvi+524, doi :10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, SEÑOR  0920371, OCLC  13064804
• Schaefer, HH (1999). Espacios vectoriales topológicos . Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

enlaces externos

• Medios relacionados con espacios normados en Wikimedia Commons