La conjetura de Legendre

Hay un primo entre dos números cuadrados cualesquiera

La conjetura de Legendre , propuesta por Adrien-Marie Legendre , establece que existe un número primo entre y para cada entero positivo . La conjetura es uno de los problemas de Landau (1912) sobre números primos, y es uno de los muchos problemas abiertos sobre el espaciamiento de los números primos. ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ ${\displaystyle n}$

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existe siempre al menos un número primo entre y ? ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Brechas principales

Si la conjetura de Legendre es verdadera, la brecha entre cualquier primo p y el primo siguiente más grande sería , como se expresa en la notación O mayúscula . ^[a] Es uno de una familia de resultados y conjeturas relacionadas con las brechas entre primos , es decir, con el espaciamiento entre números primos. Otros incluyen el postulado de Bertrand , sobre la existencia de un primo entre y , la conjetura de Oppermann sobre la existencia de primos entre , , y , la conjetura de Andrica y la conjetura de Brocard sobre la existencia de primos entre cuadrados de primos consecutivos, y la conjetura de Cramér de que las brechas son siempre mucho más pequeñas, del orden . Si la conjetura de Cramér es verdadera, la conjetura de Legendre se seguiría para todos los n suficientemente grandes . Harald Cramér también demostró que la hipótesis de Riemann implica un límite más débil de sobre el tamaño de las brechas entre primos más grandes. ^[1] ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\,)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle n(n+1)}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ ${\displaystyle (\log p)^{2}}$ ${\displaystyle O({\sqrt {p}}\log p)}$

Gráfica del número de primos entre n ² y ( n + 1) ² OEIS : A014085

Por el teorema de los números primos , el número esperado de primos entre y es aproximadamente , y además se sabe que para casi todos los intervalos de esta forma el número real de primos ( OEIS : A014085 ) es asintótico a este número esperado. ^[2] Dado que este número es grande para grandes , esto da credibilidad a la conjetura de Legendre. ^[3] Se sabe que el teorema de los números primos da un recuento preciso de los primos dentro de intervalos cortos, ya sea incondicionalmente ^[4] o basándose en la hipótesis de Riemann , ^[5] pero las longitudes de los intervalos para los que esto se ha demostrado son más largos que los intervalos entre cuadrados consecutivos, demasiado largos para probar la conjetura de Legendre. ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ ${\displaystyle n/\ln n}$ ${\displaystyle n}$

Resultados parciales

De un resultado de Ingham se deduce que para todos los suficientemente grandes , hay un primo entre los cubos consecutivos y . ^{[6] [7]} Dudek demostró que esto es válido para todos los . ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{3}}$ ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ ${\displaystyle n\geq e^{e^{33.3}}}$

Dudek también demostró que para y cualquier entero positivo , existe un primo entre y . Mattner redujo esto a ^[9] que luego fue reducido a por Cully-Hugill. ^[10] ${\displaystyle m=4.971\times 10^{9}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{m}}$ ${\displaystyle (n+1)^{m}}$ ${\displaystyle m=1438989}$ ${\displaystyle m=155}$

Baker, Harman y Pintz demostraron que existe un primo en el intervalo para todos los números grandes . ^[11] ${\displaystyle [x-x^{21/40},\,x]}$ ${\displaystyle x}$

Una tabla de huecos primos máximos muestra que la conjetura se cumple al menos hasta , lo que significa . ^[12] ${\displaystyle n^{2}=4\cdot 10^{18}}$ ${\displaystyle n=2\cdot 10^{9}}$

Notas

1. Esto es una consecuencia del hecho de que la diferencia entre dos cuadrados consecutivos es del orden de sus raíces cuadradas .

Referencias

1. Stewart, Ian (2013), Visiones del infinito: los grandes problemas matemáticos, Basic Books, pág. 164, ISBN 9780465022403.
2. Bazzanella, Danilo (2000), "Números primos entre cuadrados consecutivos" (PDF) , Archiv der Mathematik , 75 (1): 29–34, doi :10.1007/s000130050469, MR  1764888, S2CID  16332859
3. Francis, Richard L. (febrero de 2004), "Entre cuadrados consecutivos" (PDF) , Missouri Journal of Mathematical Sciences , 16 (1), University of Central Missouri, Departamento de Matemáticas y Ciencias de la Computación: 51–57, doi : 10.35834/2004/1601051; ver pág. 52, "Parece dudoso que esta superabundancia de números primos pueda agruparse de tal manera que evite aparecer al menos una vez entre cuadrados consecutivos".
4. Heath-Brown, DR (1988), "El número de números primos en un intervalo corto", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1988 (389): 22–63, doi :10.1515/crll.1988.389.22, MR  0953665 , S2CID  118979018
5. Selberg, Atle (1943), "Sobre la densidad normal de primos en intervalos pequeños y la diferencia entre primos consecutivos", Archiv for Mathematik og Naturvidenskab , 47 (6): 87–105, MR  0012624
6. OEIS : A060199
7. Ingham, AE (1937). "Sobre la diferencia entre primos consecutivos". The Quarterly Journal of Mathematics . os-8 (1): 255–266. doi :10.1093/qmath/os-8.1.255. ISSN  0033-5606.
8. Dudek, Adrian (diciembre de 2016), "Un resultado explícito para primos entre cubos", Funct. App. , 55 (2): 177–197, arXiv : 1401.4233 , doi :10.7169/facm/2016.55.2.3, S2CID  119143089
9. Mattner, Caitlin (2017). Números primos en intervalos cortos (tesis de licenciatura). Universidad Nacional de Australia. doi :10.25911/5d9efba535a3e.
10. Cully-Hugill, Michaela (1 de junio de 2023). "Números primos entre potencias consecutivas". Revista de teoría de números . 247 : 100–117. arXiv : 2107.14468 . doi :10.1016/j.jnt.2022.12.002. ISSN  0022-314X.
11. Baker, RC; Harman, G.; Pintz, J. (2001), "La diferencia entre primos consecutivos, II" (PDF) , Actas de la London Mathematical Society , 83 (3): 532–562, doi :10.1112/plms/83.3.532, S2CID  8964027
12. Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014), "Verificación empírica de la conjetura de Goldbach par y cálculo de huecos primos hasta 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} " (PDF) , Matemáticas de la computación , 83 (288): 2033–2060, doi : 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 , MR  3194140.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "La conjetura de Legendre", MathWorld