Criterio de irreducibilidad de Cohn

Condición suficiente para que un polinomio sea infactorizable

El criterio de irreducibilidad de Cohn es una condición suficiente para que un polinomio sea irreducible en —es decir, para que no sea factorizable en el producto de polinomios de grado inferior con coeficientes enteros— . ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Declaración

El criterio suele enunciarse de la siguiente manera:

Si un número primo se expresa en base 10 como (donde ) entonces el polinomio ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{1}10+a_{0}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq 9}$

${\displaystyle f(x)=a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

es irreducible en . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

El teorema se puede generalizar a otras bases de la siguiente manera:

Supongamos que es un número natural y es un polinomio tal que . Si es un número primo entonces es irreducible en . ^[1] ${\displaystyle b\geq 2}$ ${\displaystyle p(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}\leq b-1}$ ${\displaystyle p(b)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Historia y extensiones

La versión en base 10 del teorema es atribuida a Cohn por Pólya y Szegő en Problemas y teoremas en análisis ^[2] mientras que la generalización a cualquier base b se debe a Brillhart, Filaseta y Odlyzko . ^[3] Está claro por el contexto que el "A. Cohn" mencionado por Polya y Szegő es Arthur Cohn (1894-1940), un estudiante de Issai Schur que recibió su doctorado de la Universidad Frederick William en 1921. ^{[4] [5]}

Filaseta y Gross dieron una generalización adicional del teorema que permite coeficientes mayores que dígitos. ^[6] En particular, sea un polinomio con coeficientes enteros no negativos tal que es primo. Si todos los coeficientes son 49598666989151226098104244512918, entonces es irreducible sobre . Además, demostraron que este límite también es preciso. En otras palabras, los coeficientes mayores que 49598666989151226098104244512918 no garantizan la irreducibilidad. El método de Filaseta y Gross también fue generalizado para proporcionar límites precisos similares para algunas otras bases por Cole, Dunn y Filaseta. ^[7] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(10)}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Un análogo del teorema también es válido para campos de funciones algebraicas sobre campos finitos . ^[1]

Conversar

El inverso de este criterio es que, si p es un polinomio irreducible con coeficientes enteros cuyo máximo común divisor es 1, entonces existe una base tal que los coeficientes de p forman la representación de un número primo en esa base. Esta es la conjetura de Bunyakovsky y su verdad o falsedad sigue siendo una cuestión abierta. ^[1]

Véase también

• El criterio de Eisenstein
• Criterio de irreducibilidad de Perron

Referencias

1. Murty, Ram (2002). "Números primos y polinomios irreducibles" (PDF) . American Mathematical Monthly . 109 (5): 452–458. CiteSeerX  10.1.1.225.8606 . doi :10.2307/2695645. JSTOR  2695645.(archivo dvi)
2. Polya, George; Szegő, Gábor (1925). Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Bd 2 . Springer, Berlín. OCLC  73165700.Traducción al inglés en: Pólya, George; Szegő, Gábor (2004). Problemas y teoremas en análisis, volumen 2 . vol. 2. Saltador. pag. 137.ISBN​ 978-3-540-63686-1.
3. Brillhart, John ; Filaseta, Michael; Odlyzko, Andrew (1981). "Sobre un teorema de irreducibilidad de A. Cohn". Revista Canadiense de Matemáticas . 33 (5): 1055–1059. doi : 10.4153/CJM-1981-080-0 .
4. Entrada de Arthur Cohn en el Proyecto de Genealogía Matemática
5. Siegmund-Schultze, Reinhard (2009). Matemáticos que huyen de la Alemania nazi: destinos individuales e impacto global . Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 346. ISBN 9781400831401.
6. Filaseta, Michael; Gross, Samuel S. (2014). "49598666989151226098104244512918". Revista de teoría de números . 137 : 16–49. doi : 10.1016/j.jnt.2013.11.001 .
7. Cole, Morgan; Dunn, Scott; Filaseta, Michael (2016). "Otros criterios de irreducibilidad para polinomios con coeficientes no negativos". Acta Arithmetica . 175 : 137–181. doi :10.4064/aa8376-5-2016.

Enlaces externos

• "Criterio de irreducibilidad de A. Cohn". PlanetMath .