Conjetura de la hermana Beiter

Conjetura sobre los coeficientes de los polinomios ciclotómicos.

En matemáticas, la conjetura de la hermana Beiter es una conjetura sobre el tamaño de los coeficientes de polinomios ciclotómicos ternarios (es decir, donde el índice es el producto de tres números primos). Lleva el nombre de Marion Beiter , una monja católica que lo propuso por primera vez en 1968. ^[1]

Fondo

Porque el coeficiente máximo (en valor absoluto) del polinomio ciclotómico se denota por . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>0}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ ${\displaystyle A(n)}$

Sean tres números primos. En este caso el polinomio ciclotómico se llama ternario . En 1895, AS Bang ^[2] lo demostró . Esto implica la existencia de tal que . ${\displaystyle 3\leq p\leq q\leq r}$ ${\displaystyle \Phi _{pqr}(x)}$ ${\displaystyle A(pqr)\leq p-1}$ ${\displaystyle M(p):=\max \limits _{p\leq q\leq r{\text{ prime}}}A(pqr)}$ ${\displaystyle 1\leq M(p)\leq p-1}$

Declaración

La hermana Beiter conjeturó ^[1] en 1968 que . Esto fue refutado más tarde, pero se propuso una conjetura corregida de la hermana Beiter como . ${\displaystyle M(p)\leq {\frac {p+1}{2}}}$ ${\displaystyle M(p)\leq {\frac {2}{3}}p}$

Estado

Una preimpresión ^[3] de 2023 explica la historia en detalle y pretende probar esta conjetura corregida. Explícitamente pretende demostrar $${\displaystyle M(p)\leq {\frac {2}{3}}p{\text{ and }}\lim \limits _{p\rightarrow \infty }{\frac {M(p)}{p}}={\frac {2}{3}}.}$$

Referencias

1. Beiter, Marion (abril de 1968). "Magnitud de los Coeficientes del Polinomio Ciclotómico ". El Mensual Matemático Estadounidense . 75 (4): 370–372. doi :10.2307/2313416. JSTOR  2313416. ${\displaystyle F_{pqr}(x)}$
2. Explosión, AS (1895). "Om Ligningen ". Tidsskr. Matemáticas . 6 : 6–12. ${\displaystyle \Phi _{n}(x)=0}$
3. Juran, Branko; Moree, Pieter; Riekert, Adrián; Schmitz, David; Völlmecke, Julián (2023). "Una prueba de la conjetura del coeficiente ciclotómico de la hermana Beiter corregida inspirada por Zhao y Zhang". arXiv : 2304.09250 [matemáticas.NT].