Polinomio recíproco

En álgebra , dado un polinomio

p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},

con coeficientes de un campo arbitrario , su polinomio recíproco o polinomio reflejado , ^[1]^[2] denotado por $p *$ o $p R$ , ^[2]^[1] es el polinomio ^[3]

p^{*}(x)=a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n}=x^{n}p(x^{-1} ).

Es decir, los coeficientes de $p *$ son los coeficientes de $p$ en orden inverso. Los polinomios recíprocos surgen naturalmente en álgebra lineal como el polinomio característico de la inversa de una matriz .

En el caso especial donde el campo son los números complejos , cuando

p(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{n}z^{n},

el polinomio recíproco conjugado , denotado $p †$ , se define por,

p^{\dagger }(z)={\overline {a_{n}}}+{\overline {a_{n-1}}}z+\cdots +{\overline {a_{0}}}z^{n}=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}},

donde denota el conjugado complejo de , y también se llama polinomio recíproco cuando no puede surgir confusión. ${\overline {a_{i}}}$ $a_{i}$

Un polinomio $p$ se llama autorecíproco o palindrómico si $p (x) = p * (x)$ . Los coeficientes de un polinomio autorecíproco satisfacen $a i = a n - i$ para todo $i$ .

Propiedades

Los polinomios recíprocos tienen varias conexiones con sus polinomios originales, que incluyen:

$a_{0}$
$p (x) = x norte p * (x -1)$ .^[2]
$α$ es raíz de un polinomio $p$ si y sólo si $α -1$ es raíz de $p *$ .^[4]
Si $p (x) \neq x$ entonces $p$ es irreducible si y sólo si $p *$ es irreducible. ^[5]
$p$ es primitivo si y sólo si $p *$ es primitivo.^[4]

Se pueden obtener otras propiedades de polinomios recíprocos, por ejemplo:

Un polinomio autorecíproco de grado impar es divisible por x+1, por lo tanto no es irreducible si su grado es > 1.

Polinomios palindrómicos y antipalindrómicos

Un polinomio autorecíproco también se llama palindrómico porque sus coeficientes, cuando el polinomio se escribe en orden de potencias ascendentes o descendentes, forman un palíndromo . Es decir, si

P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

es un polinomio de grado $n$ , entonces $P$ es palindrómico si $a i = a n - i$ para $i = 0, 1, ..., n$ .

De manera similar, un polinomio $P$ de grado $n$ se llama antipalíndrómico si $a i = - a n - i$ para $i = 0, 1, ..., n$ . Es decir, un polinomio $P$ es antipalíndrómico si $P (x) = - P * (x)$ .

Ejemplos

De las propiedades de los coeficientes binomiales , se deduce que los polinomios $P (x) = (x + 1) n$ son palindrómicos para todos los enteros positivos $n$ , mientras que los polinomios $Q (x) = (x - 1) n$ son palindrómicos cuando $n$ es par y antipalindrómico cuando $n$ es impar .

Otros ejemplos de polinomios palindrómicos incluyen polinomios ciclotómicos y polinomios eulerianos .

Propiedades

Si $a$ es raíz de un polinomio palindrómico o antipalindrómico, entonces ⁠1/ $a$ ⁠ también es raíz y tiene la misma multiplicidad . ^[6]
Lo contrario es cierto: si un polinomio es tal que $a$ es una raíz, entonces si ⁠1/ $a$ ⁠ también es raíz de la misma multiplicidad, entonces el polinomio es palindrómico o antipalindrómico.
Para cualquier polinomio $q$ , el polinomio $q + q *$ es palindrómico y el polinomio $q - q *$ es antipalindrómico.
De ello se deduce que cualquier polinomio $q$ puede escribirse como la suma de un polinomio palindrómico y antipalíndrómico, ya que $q = (q + q *)/2 + (q - q *)/2$ . ^[7]
El producto de dos polinomios palindrómicos o antipalindrómicos es palindrómico.
El producto de un polinomio palindrómico y un polinomio antipalindrómico es antipalindrómico.
Un polinomio palindrómico de grado impar es múltiplo de $x + 1$ (tiene –1 como raíz) y su cociente entre $x + 1$ también es palindrómico.
Un polinomio antipalíndrómico sobre un cuerpo $k con$ característica impar es múltiplo de $x - 1$ (tiene 1 como raíz) y su cociente entre $x - 1$ es palindrómico.
Un polinomio antipalíndrómico de grado par es múltiplo de $x 2 - 1$ (tiene −1 y 1 como raíces) y su cociente entre $x 2 - 1$ es palindrómico.
Si $p (x)$ es un polinomio palindrómico de grado par 2 $d$ , entonces existe un polinomio $q$ de grado $d$ tal que $p (x) = x d q (x + ⁠ 1 / X ⁠)$ .^[8]
Si $p (x)$ es un polinomio antipalindrómico mónico de grado par 2 $d$ sobre un campo $k de$ característica impar , entonces puede escribirse únicamente como $p (x) = x d (Q (x) - Q (⁠ 1 / X ⁠))$ , donde $Q$ es un polinomio mónico de grado $d$ sin término constante.^[9]
Si un polinomio antipalíndrómico $P$ tiene grado par $2 n$ sobre un campo $k$ de característica impar, entonces su coeficiente "medio" (de potencia $n$ ) es 0 ya que $a n = - a 2 n - n$ .

Coeficientes reales

Un polinomio con coeficientes reales cuyas raíces complejas se encuentran en el círculo unitario en el plano complejo (es decir, todas las raíces tienen módulo 1) es palindrómico o antipalíndrómico. ^[10]

Polinomios recíprocos conjugados

Un polinomio es recíproco conjugado si y autoinverso si para un factor de escala $ω$ en el círculo unitario . ^[11] $p(x)\equiv p^{\dagger }(x)$ $p(x)=\omega p^{\dagger }(x)$

Si $p (z)$ es el polinomio mínimo de $z 0$ con $| z 0 | = 1, z 0 \neq 1$ y $p (z)$ tiene coeficientes reales , entonces $p (z)$ es autorecíproco. Esto se debe a que

z_{0}^{n}{\overline {p(1/{\bar {z_{0}}})}}=z_{0}^{n}{\overline {p(z_{0})}}=z_{0}^{n}{\bar {0}}=0.

Entonces $z 0$ es una raíz del polinomio que tiene grado $n$ . Pero el polinomio mínimo es único, por lo tanto $z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}$

cp(z)=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}

para alguna constante $c$ , es decir . Sume desde $i$ $= 0$ an y tenga $en$ cuenta que 1 no es una raíz de $p$ . Concluimos que $c$ $= 1$ . $ca_{i}={\overline {a_{n-i}}}=a_{n-i}$

Una consecuencia es que los polinomios ciclotómicos $Φ n$ son autorecíprocos para $n > 1$ . Esto se utiliza en el tamiz de campo numérico especial para permitir que números de la forma $x 11 \pm 1, x 13 \pm 1, x 15 \pm 1$ y $x 21 \pm 1$ se factoricen aprovechando los factores algebraicos mediante el uso de polinomios de grado 5. 6, 4 y 6 respectivamente; tenga en cuenta que $φ$ ( función totiente de Euler ) de los exponentes son 10, 12, 8 y 12. ^{[ cita necesaria ]}

Según el teorema de Cohn , un polinomio autoinverso tiene tantas raíces en el disco unitario como el polinomio recíproco de su derivada . ^[12]^[13] $\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$

Aplicación en la teoría de la codificación.

El polinomio recíproco encuentra uso en la teoría de los códigos de corrección de errores cíclicos . Supongamos que $x n - 1$ se puede factorizar en el producto de dos polinomios, digamos $x n - 1 = g (x) p (x)$ . Cuando $g (x)$ genera un código cíclico $C$ , entonces el polinomio recíproco $p *$ genera $C ⊥$ , el complemento ortogonal de $C.$ ^[14] Además, $C$ es autoortogonal (es decir, $C \subseteq C ⊥)$ , si y sólo si $p *$ divide $a g (x)$ . ^[15]

Ver también

teorema de cohn

Notas

^ ab * Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Matemáticas concretas: una base para la informática (Segunda ed.). Lectura, Misa: Addison-Wesley. pag. 340.ISBN 978-0201558029.
^ abc Aigner, Martín (2007). Un curso de enumeración . Berlín Nueva York: Springer. pag. 94.ISBN 978-3540390329.
^ Romano 1995, pág.37
^ ab Pless 1990, pág. 57
^ Romano 1995, pág. 37
^ Pless 1990, pág. 57 solo para el caso palindrómico
^ Stein, Jonathan Y. (2000), Procesamiento de señales digitales: una perspectiva informática , Wiley Interscience, p. 384, ISBN 9780471295464
^ Durand 1961
^ Katz, Nicholas M. (2012), Convolución y equidistribución: teoremas de Sato-Tate para transformaciones de Mellin de campo finito , Princeton University Press, p. 146, ISBN 9780691153315
^ Markovsky, Iván; Rao, Shodhan (2008). "Polinomios palindrómicos, sistemas reversibles en el tiempo y cantidades conservadas". 2008 XVI Congreso Mediterráneo sobre Control y Automatización (PDF) . págs. 125-130. doi :10.1109/MED.2008.4602018. ISBN 978-1-4244-2504-4. S2CID 14122451. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
^ Sinclair, Christopher D.; Vaaler, Jeffrey D. (2008). "Polinomios autoinversivos con todos ceros en el círculo unitario". En McKee, James; Smyth, CJ (eds.). Teoría de números y polinomios. Actas del taller, Bristol, Reino Unido, 3 al 7 de abril de 2006 . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 352. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 312–321. ISBN 978-0-521-71467-9. Zbl 1334.11017.
↑ Ancochea, Germán (1953). "Ceros de polinomios autoinversivos". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 4 (6): 900–902. doi : 10.1090/S0002-9939-1953-0058748-8 . ISSN 0002-9939.
^ Bonsall, FF; Marden, Morris (1952). "Ceros de polinomios autoinversivos". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 3 (3): 471–475. doi : 10.1090/S0002-9939-1952-0047828-8 . ISSN 0002-9939.
^ Pless 1990, pág. 75, teorema 48
^ Pless 1990, pág. 77, teorema 51

Referencias

Pless, Vera (1990), Introducción a la teoría de los códigos de corrección de errores (2ª ed.), Nueva York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-61884-5
Roman, Steven (1995), Teoría de campos , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94408-7
Durand, Émile (1961), "Masson et Cie: XV - polinômes dont les coeficientes sont symétriques ou antisymétriques", Solutions numériques des équations algrébriques , vol. Yo, págs. 140-141

enlaces externos

"El teorema fundamental de los polinomios palindrómicos". MathPages.com .
Weisstein, Eric W. "Polinomio recíproco". MundoMatemático .