Sobre divisores primos de diferencias dos enésimas potencias
En teoría de números , el teorema de Zsigmondy , que lleva el nombre de Karl Zsigmondy , establece que si son números enteros coprimos , entonces, para cualquier número entero , existe un número primo p (llamado divisor primo primitivo ) que divide y no divide a cualquier entero positivo , con el siguientes excepciones:
- , ; entonces que no tiene divisores primos
- , una potencia de dos ; entonces cualquier factor primo impar de debe estar contenido en , que también es par
- , , ; entonces
Esto generaliza el teorema de Bang, [1] que establece que si y no es igual a 6, entonces tiene un divisor primo que no divide a ninguno con .
De manera similar, tiene al menos un divisor primo primitivo con la excepción .
El teorema de Zsigmondy suele ser útil, especialmente en teoría de grupos , donde se utiliza para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos excepto cuando se sabe que son iguales. [2] [3]
Historia
El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.
Generalizaciones
Sea una secuencia de números enteros distintos de cero. El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto
es decir, el conjunto de índices tales que todo primo que se divide también divide unos por otros . Así, el teorema de Zsigmondy implica que y el teorema de Carmichael dice que el conjunto de Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es y el de la secuencia de Pell es . En 2001, Bilu, Hanrot y Voutier [4]
demostraron que, en general, si es una secuencia de Lucas o una secuencia de Lehmer , entonces (ver OEIS : A285314 , solo hay 13 de este tipo, a saber, 1, 2, 3, 4, 5). , 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad .
También se sabe que si es una secuencia de divisibilidad elíptica , entonces su conjunto de Zsigmondy es finito . [5] Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en , aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en . [6]
Ver también
Referencias
- ^ COMO Bang (1886). "Taltheoretiske Undersøgelser". Tidsskrift para Mathematik . 5. 4 . Mathematica Scandinavica: 70–80. JSTOR 24539988.Y Bang, AS (1886). "Taltheoretiske Undersøgelser (continuación, ver pág. 80)". Tidsskrift para Mathematik . 4 : 130-137. JSTOR 24540006.
- ^ Montgomery, H. "Divisibilidad de los números de Mersenne". 17 de septiembre de 2001.
- ^ Artin, Emil (agosto de 1955). "Los Órdenes de los Grupos Lineales". Com. Pura aplicación. Matemáticas. 8 (3): 355–365. doi :10.1002/cpa.3160080302.
- ^ Y. Bilu, G. Hanrot, PM Voutier, Existencia de divisores primitivos de los números de Lucas y Lehmer, J. Reine Angew. Matemáticas. 539 (2001), 75-122
- ^ JH Silverman, el criterio de Wieferich y la conjetura abc , J. Number Theory 30 (1988), 226-237
- ^ P. Ingram, JH Silverman, Estimaciones uniformes para divisores primitivos en secuencias de divisibilidad elípticas, Teoría de números, análisis y geometría , Springer-Verlag, 2010, 233-263.
- K. Zsigmondy (1892). "Zur Theorie der Potenzreste". Revista Monatshefte für Mathematik . 3 (1): 265–284. doi :10.1007/BF01692444. hdl : 10338.dmlcz/120560 .
- Th. Schmid (1927). "Karl Zsigmondy". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 36 : 167–168.
- Moshé Roitman (1997). "Sobre los primos de Zsigmondy". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 125 (7): 1913-1919. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03981-6 . JSTOR 2162291.
- Walter Feit (1988). "Sobre los grandes primos de Zsigmondy". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 102 (1). Sociedad Estadounidense de Matemáticas : 29–36. doi : 10.2307/2046025 . JSTOR 2046025.
- Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Barrio, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 104. Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 103-104. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006.
enlaces externos