Trabajo virtual

Trabajo realizado por una fuerza para mover una partícula a lo largo de un desplazamiento virtual.

En mecánica , el trabajo virtual surge en la aplicación del principio de mínima acción al estudio de las fuerzas y el movimiento de un sistema mecánico . El trabajo de una fuerza que actúa sobre una partícula mientras se mueve a lo largo de un desplazamiento es diferente para diferentes desplazamientos. Entre todos los posibles desplazamientos que puede seguir una partícula, llamados desplazamientos virtuales , uno minimizará la acción. Este desplazamiento es, por tanto, el desplazamiento seguido por la partícula según el principio de mínima acción.

El trabajo de una fuerza sobre una partícula a lo largo de un desplazamiento virtual se conoce como trabajo virtual.

Históricamente, el trabajo virtual y el cálculo de variaciones asociado se formularon para analizar sistemas de cuerpos rígidos, ^[1] pero también se han desarrollado para el estudio de la mecánica de cuerpos deformables. ^[2]

Historia

El principio del trabajo virtual siempre se había utilizado de alguna forma desde la antigüedad en el estudio de la estática. Fue utilizada por los griegos, los árabes y latinos medievales y los italianos del Renacimiento como "la ley de la palanca". ^[3] La idea del trabajo virtual fue invocada por muchos físicos notables del siglo XVII, como Galileo, Descartes, Torricelli, Wallis y Huygens, en diversos grados de generalidad, al resolver problemas de estática. ^[3] Trabajando con conceptos leibnizianos, Johann Bernoulli sistematizó el principio del trabajo virtual y hizo explícito el concepto de desplazamiento infinitesimal. Pudo resolver problemas tanto para cuerpos rígidos como para fluidos. La versión de Bernoulli de la ley del trabajo virtual apareció en su carta a Pierre Varignon en 1715, que luego se publicó en el segundo volumen de Varignon de Nouvelle mécanique ou Statique en 1725. Esta formulación del principio se conoce hoy como el principio de las velocidades virtuales y se considera comúnmente como prototipo de los principios contemporáneos del trabajo virtual. ^[3] En 1743 D'Alembert publicó su Traité de Dynamique donde aplicó el principio de trabajo virtual, basado en el trabajo de Bernoulli, para resolver diversos problemas en dinámica. Su idea era convertir un problema dinámico en un problema estático introduciendo fuerza de inercia . ^[4] En 1768, Lagrange presentó el principio del trabajo virtual en una forma más eficiente mediante la introducción de coordenadas generalizadas y lo presentó como un principio alternativo de la mecánica mediante el cual se podían resolver todos los problemas de equilibrio. En su Mécanique Analytique de 1788 se realizó una exposición sistemática del programa de Lagrange de aplicar este enfoque a toda la mecánica, tanto estática como dinámica, esencialmente el principio de D'Alembert. ^[3] Aunque Lagrange había presentado su versión del principio de mínima acción antes de En este trabajo, reconoció que el principio del trabajo virtual era más fundamental, principalmente porque podía asumirse por sí solo como la base de toda la mecánica, a diferencia de la comprensión moderna de que la mínima acción no tiene en cuenta las fuerzas no conservativas. ^[3]

Descripción general

Si una fuerza actúa sobre una partícula mientras se mueve de un punto a otro , entonces, para cada trayectoria posible que pueda tomar la partícula, es posible calcular el trabajo total realizado por la fuerza a lo largo de la trayectoria. El principio de trabajo virtual , que es la forma del principio de mínima acción aplicado a estos sistemas, establece que el camino realmente seguido por la partícula es aquel para el cual la diferencia entre el trabajo a lo largo de este camino y otros caminos cercanos es cero ( al primer orden). El procedimiento formal para calcular la diferencia de funciones evaluadas en trayectorias cercanas es una generalización de la derivada conocida del cálculo diferencial y se denomina cálculo de variaciones . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Considere una partícula puntual que se mueve a lo largo de una trayectoria descrita por una función desde el punto , donde , hasta el punto , donde . Es posible que la partícula se mueva de a a lo largo de una trayectoria cercana descrita por , donde se denomina variación de . La variación satisface el requisito . Las componentes escalares de la variación , y se denominan desplazamientos virtuales. Esto se puede generalizar a un sistema mecánico arbitrario definido por las coordenadas generalizadas ,. En cuyo caso, la variación de la trayectoria está definida por los desplazamientos virtuales , . ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{0})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{1})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0}$ ${\displaystyle \delta r_{1}(t)}$ ${\displaystyle \delta r_{2}(t)}$ ${\displaystyle \delta r_{3}(t)}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,...,n}$ ${\displaystyle q_{i}(t)}$ ${\displaystyle \delta q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,...,n}$

El trabajo virtual es el trabajo total realizado por las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia de un sistema mecánico mientras se mueve a través de un conjunto de desplazamientos virtuales. Al considerar las fuerzas aplicadas a un cuerpo en equilibrio estático, el principio de acción mínima requiere que el trabajo virtual de estas fuerzas sea cero.

Tratamiento matemático

Considere una partícula P que se mueve de un punto A a un punto B a lo largo de una trayectoria r ( t ), mientras se le aplica una fuerza F ( r ( t )). El trabajo realizado por la fuerza F está dado por la integral

$${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt,}$$

d rPvWrt

Ahora considere la partícula P que se mueve nuevamente del punto A al punto B , pero esta vez se mueve a lo largo de la trayectoria cercana que difiere de r ( t ) por la variación δ r ( t ) = ε h ( t ) , donde ε es una escala. constante que puede hacerse tan pequeña como se desee y h ( t ) es una función arbitraria que satisface h ( t ₀ ) = h ( t ₁ ) = 0 . Supongamos que la fuerza F ( r ( t ) + ε h ( t )) es la misma que F ( r ( t )) . El trabajo realizado por la fuerza está dado por la integral

$${\displaystyle {\bar {W}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\epsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\epsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\epsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$

δWtrabajo virtual

$${\displaystyle \delta W={\bar {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \epsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$

Si no hay restricciones en el movimiento de P , entonces se necesitan 3 parámetros para describir completamente la posición de P en cualquier momento t . Si hay k ( k ≤ 3) fuerzas de restricción, entonces se necesitan n = (3 − k ) parámetros. Por lo tanto, podemos definir n coordenadas generalizadas q _i ( t ) ( i = 1,..., n ) y expresar r ( t ) y δ r = ε h ( t ) en términos de las coordenadas generalizadas. Eso es,

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t),}$$

$${\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t).}$$

δ r = ε h ( t )

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\epsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\epsilon {\dot {q}}_{i},}$$

$${\displaystyle \delta W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\epsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\epsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right).}$$

El requisito de que el trabajo virtual sea cero para una variación arbitraria δ r ( t ) = ε h ( t ) es equivalente al conjunto de requisitos

$${\displaystyle Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

Qi _sefuerzas generalizadasr

Equilibrio estático

El equilibrio estático es un estado en el que la fuerza neta y el par neto que actúan sobre el sistema son cero. En otras palabras, se conservan tanto el momento lineal como el momento angular del sistema. El principio del trabajo virtual establece que el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas es cero para todos los movimientos virtuales del sistema desde el equilibrio estático . Este principio se puede generalizar de modo que se incluyan rotaciones tridimensionales : el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas y los momentos aplicados es cero para todos los movimientos virtuales del sistema desde el equilibrio estático. Eso es

$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot \delta \mathbf {\phi } _{j}=0,}$$

F _iimM _jjnδ r _iimδ φ _jjndesplazamientos virtualeslas rotaciones virtuales

Supongamos que el sistema consta de N partículas y tiene f ( f ≤ 6 N ) grados de libertad . Es suficiente usar sólo coordenadas f para dar una descripción completa del movimiento del sistema, por lo que las coordenadas generalizadas f q _k , k = 1, 2, ..., f se definen de manera que los movimientos virtuales se puedan expresar en términos de estas coordenadas generalizadas . Eso es,

$${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad i=1,2,\dots ,m;}$$

$${\displaystyle \delta \phi _{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad j=1,2,\dots ,n.}$$

Luego, el trabajo virtual puede repararmetrizarse mediante las coordenadas generalizadas :

$${\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},}$$

fuerzas generalizadas Q _k

$${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

^[5]fuerzas generalizadas

$${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\omega } _{j}}{\partial {\dot {q}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

El principio del trabajo virtual requiere que el trabajo virtual realizado sobre un sistema por las fuerzas Fi y los momentos _Mj desaparezca _si está en equilibrio . Por tanto, las fuerzas generalizadas Q _k son cero, es decir

$${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad Q_{k}=0\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

Fuerzas de restricción

Un beneficio importante del principio del trabajo virtual es que para determinar la mecánica del sistema sólo se necesitan fuerzas que trabajan cuando el sistema se mueve a través de un desplazamiento virtual . Hay muchas fuerzas en un sistema mecánico que no realizan trabajo durante un desplazamiento virtual , lo que significa que no es necesario considerarlas en este análisis. Los dos ejemplos importantes son (i) las fuerzas internas en un cuerpo rígido y (ii) las fuerzas de restricción en una unión ideal .

Lanczos ^[1] presenta esto como el postulado: "El trabajo virtual de las fuerzas de reacción es siempre cero para cualquier desplazamiento virtual que esté en armonía con las restricciones cinemáticas dadas". El argumento es el siguiente. El principio del trabajo virtual establece que en equilibrio el trabajo virtual de las fuerzas aplicadas a un sistema es cero. Las leyes de Newton establecen que en el equilibrio las fuerzas aplicadas son iguales y opuestas a las fuerzas de reacción o de restricción. Esto significa que el trabajo virtual de las fuerzas restrictivas también debe ser cero.

ley de la palanca

Una palanca se modela como una barra rígida conectada a un marco de tierra mediante una articulación articulada llamada punto de apoyo. La palanca se acciona aplicando una fuerza de entrada F _A en un punto A ubicado por el vector de coordenadas r _A en la barra. Luego, la palanca ejerce una fuerza de salida F _B en el punto B ubicado por r _B . La rotación de la palanca alrededor del punto de apoyo P está definida por el ángulo de rotación θ .

Este es un grabado de la revista Mechanics Magazine publicada en Londres en 1824.

Sea el vector de coordenadas del punto P que define el fulcro r _P , e introduzca las longitudes

$${\displaystyle a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|,}$$

AB

Ahora introduzca los vectores unitarios e _A y e _B desde el punto de apoyo hasta el punto A y B , entonces

$${\displaystyle \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}.}$$

AB

$${\displaystyle \mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp },}$$

e _A ^⊥e _B ^⊥e _Ae _B

El ángulo θ es la coordenada generalizada que define la configuración de la palanca, por lo tanto, usando la fórmula anterior para fuerzas aplicadas a un mecanismo de un grado de libertad, la fuerza generalizada viene dada por

$${\displaystyle Q=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }).}$$

Ahora, denotemos como F _A y F _B las componentes de las fuerzas que son perpendiculares a los segmentos radiales PA y PB . Estas fuerzas están dadas por

$${\displaystyle F_{A}=\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad F_{B}=\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }.}$$

$${\displaystyle Q=aF_{A}-bF_{B}=0.}$$

La relación entre la fuerza de salida F _B y la fuerza de entrada F _A es la ventaja mecánica de la palanca y se obtiene del principio de trabajo virtual como

$${\displaystyle MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}.}$$

Esta ecuación muestra que si la distancia a desde el punto de apoyo hasta el punto A donde se aplica la fuerza de entrada es mayor que la distancia b desde el punto de apoyo hasta el punto B donde se aplica la fuerza de salida, entonces la palanca amplifica la fuerza de entrada. Si es cierto lo contrario, es decir, que la distancia desde el fulcro hasta el punto de entrada A es menor que desde el fulcro hasta el punto de salida B , entonces la palanca reduce la magnitud de la fuerza de entrada.

Ésta es la ley de la palanca , que Arquímedes demostró mediante razonamiento geométrico. ^[6]

Tren de engranajes

Un tren de engranajes se forma montando engranajes en un bastidor de modo que los dientes de los engranajes engranen. Los dientes de los engranajes están diseñados para garantizar que los círculos primitivos de los engranajes engranados giren entre sí sin deslizarse, lo que proporciona una transmisión suave de la rotación de un engranaje al siguiente. Para este análisis, consideramos un tren de engranajes que tiene un grado de libertad, lo que significa que la rotación angular de todos los engranajes en el tren de engranajes está definida por el ángulo del engranaje de entrada.

Ilustración de Entrenamiento del Cuerpo de Servicio del Ejército en Transporte Mecánico, (1911), Fig. 112 Transmisión de movimiento y fuerza mediante ruedas dentadas, tren compuesto

El tamaño de los engranajes y la secuencia en la que se engranan definen la relación entre la velocidad angular ω _A del engranaje de entrada y la velocidad angular ω _B del engranaje de salida, conocida como relación de velocidad, o relación de transmisión , del tren de engranajes. . Sea R la relación de velocidades, entonces

$${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}=R.}$$

El par de entrada T _A que actúa sobre el engranaje de entrada G _A es transformado por el tren de engranajes en el par de salida T _B ejercido por el engranaje de salida G _B . Si asumimos que los engranajes son rígidos y que no hay pérdidas en el engrane de los dientes del engranaje, entonces se puede utilizar el principio de trabajo virtual para analizar el equilibrio estático del tren de engranajes.

Sea el ángulo θ del engranaje de entrada la coordenada generalizada del tren de engranajes, entonces la relación de velocidad R del tren de engranajes define la velocidad angular del engranaje de salida en términos del engranaje de entrada, es decir

$${\displaystyle \omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}=\omega /R.}$$

La fórmula anterior para el principio del trabajo virtual con pares aplicados produce la fuerza generalizada

$${\displaystyle Q=T_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-T_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=T_{A}-T_{B}/R=0.}$$

La ventaja mecánica del tren de engranajes es la relación entre el par de salida T _B y el par de entrada T _A , y la ecuación anterior produce

$${\displaystyle MA={\frac {T_{B}}{T_{A}}}=R.}$$

Por tanto, la relación de velocidades de un tren de engranajes también define su ventaja mecánica. Esto muestra que si el engranaje de entrada gira más rápido que el engranaje de salida, entonces el tren de engranajes amplifica el par de entrada. Y, si el engranaje de entrada gira más lento que el engranaje de salida, entonces el tren de engranajes reduce el par de entrada.

Equilibrio dinámico para cuerpos rígidos.

Si el principio del trabajo virtual de las fuerzas aplicadas se utiliza sobre partículas individuales de un cuerpo rígido , el principio puede generalizarse para un cuerpo rígido: cuando un cuerpo rígido que está en equilibrio está sujeto a desplazamientos virtuales compatibles, el trabajo virtual total de todos las fuerzas externas son cero; y a la inversa, si el trabajo virtual total de todas las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido es cero, entonces el cuerpo está en equilibrio .

Si un sistema no está en equilibrio estático, D'Alembert demostró que al introducir los términos de aceleración de las leyes de Newton como fuerzas de inercia, este enfoque se generaliza para definir el equilibrio dinámico. El resultado es la forma de D'Alembert del principio de trabajo virtual, que se utiliza para derivar las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico de cuerpos rígidos.

La expresión desplazamientos compatibles significa que las partículas permanecen en contacto y se desplazan juntas de modo que el trabajo realizado por los pares de fuerzas de acción/reacción entre partículas se cancela. Se han atribuido varias formas de este principio a Johann (Jean) Bernoulli (1667-1748) y Daniel Bernoulli (1700-1782).

Fuerzas de inercia generalizadas

Sea un sistema mecánico construido a partir de n cuerpos rígidos, B _i , i=1,...,n, y sea la resultante de las fuerzas aplicadas sobre cada cuerpo los pares fuerza-par _, F _i y Ti , i = 1,..., norte . Observe que estas fuerzas aplicadas no incluyen las fuerzas de reacción donde los cuerpos están conectados. Finalmente, supongamos que la velocidad V _i y las velocidades angulares ω _i , i =1,..., n , para cada cuerpo rígido, están definidas por una única coordenada generalizada q. Se dice que tal sistema de cuerpos rígidos tiene un grado de libertad .

Considere un solo cuerpo rígido que se mueve bajo la acción de una fuerza resultante F y un par T , con un grado de libertad definido por la coordenada generalizada q. Supongamos que el punto de referencia para la fuerza y ​​el par resultantes es el centro de masa del cuerpo, entonces la fuerza de inercia generalizada Q* asociada con la coordenada generalizada q viene dada por

$${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$

$${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

Un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas tiene la energía cinética

$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$

^[7]

$${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

La forma de D'Alembert del principio del trabajo virtual.

La forma de D'Alembert del principio de trabajo virtual establece que un sistema de cuerpos rígidos está en equilibrio dinámico cuando el trabajo virtual de la suma de las fuerzas aplicadas y las fuerzas de inercia es cero para cualquier desplazamiento virtual del sistema. Por tanto, el equilibrio dinámico de un sistema de n cuerpos rígidos con m coordenadas generalizadas requiere que

$${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}=0,}$$

δq _jm

$${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ecuaciones de Lagrangeecuaciones de movimiento generalizadas

Si las fuerzas generalizadas Q _j son derivables de una energía potencial V ( q ₁ ,..., q _m ), entonces estas ecuaciones de movimiento toman la forma

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

En este caso, introduzca el lagrangiano , L = T − V , de modo que estas ecuaciones de movimiento se conviertan en

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ecuaciones de Euler-Lagrangeecuaciones de Lagrange de segundo tipo

Principio de trabajo virtual para un cuerpo deformable.

Consideremos ahora el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo deformable , que está compuesto por un número infinito de cubos diferenciales. Definamos dos estados no relacionados para el cuerpo:

• El estado: muestra las fuerzas superficiales externas T , las fuerzas corporales f y las tensiones internas en equilibrio. ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$
• El Estado: Esto muestra desplazamientos continuos y tensiones consistentes . ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$

El superíndice * enfatiza que los dos estados no están relacionados. Aparte de las condiciones indicadas anteriormente, no es necesario especificar si alguno de los estados es real o virtual.

Imaginemos ahora que las fuerzas y tensiones en el Estado - sufren los desplazamientos y deformaciones en el Estado -: Podemos calcular el trabajo virtual (imaginario) total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre las caras de todos los cubos de dos maneras diferentes: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

• Primero, sumando el trabajo realizado por fuerzas como las que actúan sobre caras comunes individuales (Fig.c): dado que el material experimenta desplazamientos compatibles , dicho trabajo se cancela, dejando solo el trabajo virtual realizado por las fuerzas superficiales T (que son iguales a tensiones en las caras de los cubos, por equilibrio). ${\displaystyle F_{A}}$
• En segundo lugar, calculando el trabajo neto realizado por tensiones o fuerzas como , que actúan sobre un cubo individual, por ejemplo, para el caso unidimensional de la figura (c): ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{B}}$
  $${\displaystyle F_{B}\left(u^{*}+{\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}dx\right)-F_{A}u^{*}\approx {\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}\sigma dV+u^{*}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}dV=\epsilon ^{*}\sigma dV-u^{*}fdV}$$
  donde se ha utilizado la relación de equilibrio y se ha despreciado el término de segundo orden. ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+f=0}$
  Al integrarse en todo el cuerpo se obtiene:
  $${\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV}$$
  – Trabajo realizado por el cuerpo fuerzas f .

La equiparación de los dos resultados conduce al principio del trabajo virtual para un cuerpo deformable:

donde el trabajo virtual externo total lo realizan T y f . De este modo,

El lado derecho de ( d , e ) a menudo se denomina trabajo virtual interno. El principio del trabajo virtual establece entonces: El trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno cuando fuerzas y tensiones equilibradas sufren desplazamientos y tensiones no relacionados pero consistentes . Incluye el principio del trabajo virtual para cuerpos rígidos como un caso especial donde el trabajo virtual interno es cero.

Prueba de equivalencia entre el principio del trabajo virtual y la ecuación de equilibrio

Comenzamos observando el trabajo total realizado por la tracción superficial sobre el cuerpo que pasa por la deformación especificada:

$${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {T} dS=\int _{S}\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} dS}$$

Aplicando el teorema de la divergencia al lado derecho se obtiene:

$${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot n} dS=\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV}$$

Ahora cambie a notación indicial para facilitar la derivación.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV&=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(u_{i}\sigma _{ij}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV\end{aligned}}}$$

Para continuar con nuestra derivación, sustituimos en la ecuación de equilibrio . Entonces ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0}$

$${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV}$$

El primer término del lado derecho debe dividirse en una parte simétrica y una parte sesgada de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV&=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\left[\epsilon _{ij}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\epsilon _{ij}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} \right)dV\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

Ahora recapitula. Hemos demostrado a través de la derivación anterior que

$${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV-\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV}$$

Mueva el segundo término del lado derecho de la ecuación hacia la izquierda:

$${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS+\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

La interpretación física de la ecuación anterior es que el trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno cuando las fuerzas y tensiones equilibradas sufren desplazamientos y tensiones no relacionados pero consistentes .

Para aplicaciones prácticas:

• Para imponer el equilibrio a las tensiones y fuerzas reales, utilizamos desplazamientos y deformaciones virtuales consistentes en la ecuación de trabajo virtual.
• Para imponer desplazamientos y deformaciones consistentes, utilizamos tensiones y fuerzas virtuales equilibradas en la ecuación de trabajo virtual.

Estos dos escenarios generales dan lugar a dos principios variacionales frecuentemente establecidos. Son válidos independientemente del comportamiento material.

Principio de los desplazamientos virtuales.

Dependiendo del propósito, podremos especializar la ecuación de trabajo virtual. Por ejemplo, para derivar el principio de desplazamientos virtuales en notaciones variacionales para cuerpos apoyados, especificamos:

• Desplazamientos y deformaciones virtuales como variaciones de los desplazamientos y deformaciones reales utilizando notación variacional como y ${\displaystyle \delta \ \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle \delta \ {\boldsymbol {\epsilon }}\equiv {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$
• Los desplazamientos virtuales son cero en la parte de la superficie que tiene desplazamientos prescritos y, por tanto, el trabajo realizado por las reacciones es cero. Sólo quedan fuerzas superficiales externas en la pieza que sí funciona. ${\displaystyle S_{t}}$

La ecuación del trabajo virtual se convierte entonces en el principio de los desplazamientos virtuales:

Esta relación es equivalente al conjunto de ecuaciones de equilibrio escritas para un elemento diferencial en el cuerpo deformable así como de las condiciones de contorno de tensiones sobre la parte de la superficie. Por el contrario, ( f ) se puede alcanzar, aunque de manera no trivial, comenzando con las ecuaciones de equilibrio diferencial y las condiciones límite de tensión en y procediendo de manera similar a ( a ) y ( b ). ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$

Dado que los desplazamientos virtuales son automáticamente compatibles cuando se expresan en términos de funciones continuas de un solo valor , a menudo mencionamos sólo la necesidad de coherencia entre deformaciones y desplazamientos. El principio de trabajo virtual también es válido para grandes desplazamientos reales; sin embargo, la ecuación ( f ) se escribiría utilizando medidas más complejas de tensiones y deformaciones.

Principio de las fuerzas virtuales.

Aquí especificamos:

• Fuerzas y tensiones virtuales como variaciones de las fuerzas y tensiones reales.
• Las fuerzas virtuales serán cero en la parte de la superficie que tiene fuerzas prescritas y, por lo tanto, solo las fuerzas de superficie (de reacción) (donde los desplazamientos están prescritos) funcionarán. ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{u}}$

La ecuación del trabajo virtual se convierte en el principio de las fuerzas virtuales:

Esta relación es equivalente al conjunto de ecuaciones de compatibilidad de deformaciones, así como a las condiciones de contorno de desplazamiento en la pieza . Tiene otro nombre: principio de trabajo virtual complementario. ${\displaystyle S_{u}}$

Formas alternativas

Una especialización del principio de fuerzas virtuales es el método de fuerza ficticia unitaria , que es muy útil para calcular desplazamientos en sistemas estructurales. Según el principio de D'Alembert , la inclusión de fuerzas de inercia como fuerzas corporales adicionales dará la ecuación de trabajo virtual aplicable a los sistemas dinámicos. Se pueden derivar principios más generalizados:

• permitiendo variaciones de todas las cantidades.
• utilizando multiplicadores de Lagrange para imponer condiciones de contorno y/o relajar las condiciones especificadas en los dos estados.

Estos se describen en algunas de las referencias.

Entre los muchos principios energéticos en mecánica estructural , el principio de trabajo virtual merece un lugar especial debido a su generalidad que conduce a poderosas aplicaciones en análisis estructural , mecánica de sólidos y método de elementos finitos en mecánica estructural .

Ver también

• Método de flexibilidad
• Método de fuerza ficticia unitaria
• Método de elementos finitos en mecánica estructural.
• Cálculo de variaciones
• Mecánica lagrangiana
• Principio de Müller-Breslau
• El principio de D'Alembert

Referencias

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7. TR Kane y DA Levinson, Dinámica, teoría y aplicaciones, McGraw-Hill, Nueva York, 2005.

enlaces externos

• Ejemplos de aplicaciones del principio de trabajo virtual

Bibliografía

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