El método de fuerza ficticia unitaria proporciona un medio conveniente para calcular desplazamientos en sistemas estructurales. Es aplicable tanto para comportamientos de materiales lineales como no lineales, así como para sistemas sujetos a efectos ambientales y, por lo tanto, es más general que el segundo teorema de Castigliano .
Consideremos un sistema discreto, como cerchas, vigas o marcos, que tienen elementos interconectados en los nodos. Sea el conjunto consistente de deformaciones de los elementos dado por , que se puede calcular utilizando la relación de flexibilidad de los elementos . Estas deformaciones de los elementos dan lugar a los desplazamientos nodales , que queremos determinar.
Comenzamos aplicando N fuerzas nodales virtuales , una para cada r deseado , y encontramos las fuerzas de los miembros virtuales que están en equilibrio con :
En el caso de un sistema estáticamente indeterminado, la matriz B no es única porque el conjunto de matrices que satisfacen el equilibrio nodal es infinito. Puede calcularse como la inversa de la matriz de equilibrio nodal de cualquier sistema primario derivado del sistema original.
Imaginemos que las fuerzas virtuales internas y externas sufren, respectivamente, deformaciones y desplazamientos reales; el trabajo virtual realizado se puede expresar como:
Según el principio de trabajo virtual , las dos expresiones de trabajo son iguales:
La sustitución de (1) da
Dado que contiene fuerzas virtuales arbitrarias, la ecuación anterior da
Es notable que el cálculo en (2) no involucra ninguna integración independientemente de la complejidad de los sistemas, y que el resultado es único independientemente de la elección del sistema primario para B. Por lo tanto, es mucho más conveniente y general que la forma clásica del método de carga unitaria ficticia, que varía con el tipo de sistema, así como con los efectos externos impuestos. Por otro lado, es importante notar que la ecuación (2) es solo para calcular desplazamientos o rotaciones de los nodos. Esto no es una restricción porque podemos convertir cualquier punto en un nodo cuando lo deseemos.
Finalmente, el nombre de carga unitaria surge de la interpretación de que los coeficientes de la matriz B son las fuerzas de los miembros en equilibrio con la fuerza nodal unitaria , en virtud de la ecuación (1).
Para un sistema general, el método de la fuerza ficticia unitaria también proviene directamente del principio del trabajo virtual . La figura (a) muestra un sistema con deformaciones reales conocidas . Estas deformaciones, supuestamente consistentes, dan lugar a desplazamientos en todo el sistema. Por ejemplo, un punto A se ha movido a A' y queremos calcular el desplazamiento r de A en la dirección mostrada. Para este propósito particular, elegimos el sistema de fuerza virtual de la figura (b), que muestra:
Igualando las dos expresiones de trabajo se obtiene el desplazamiento deseado: