Principios de acción

Principios mecánicos fundamentales

Los principios de acción se encuentran en el corazón de la física fundamental, desde la mecánica clásica hasta la mecánica cuántica, la física de partículas y la relatividad general. ^[1] Los principios de acción comienzan con una función de energía llamada lagrangiano que describe el sistema físico. El valor acumulado de esta función de energía entre dos estados del sistema se llama acción . Los principios de acción aplican el cálculo de variación a la acción. La acción depende de la función de energía, y la función de energía depende de la posición, el movimiento y las interacciones en el sistema: la variación de la acción permite la derivación de las ecuaciones de movimiento sin vector ni fuerzas.

Varios principios de acción distintos difieren en las restricciones sobre sus condiciones iniciales y finales. Los nombres de los principios de acción han evolucionado con el tiempo y difieren en los detalles de los puntos finales de las trayectorias y la naturaleza de la variación. Los principios de acción cuántica generalizan y justifican los principios clásicos más antiguos. Los principios de acción son la base de la versión de Feynman de la mecánica cuántica , la relatividad general y la teoría cuántica de campos .

Los principios de acción tienen aplicaciones tan amplias como la física, incluidos muchos problemas de mecánica clásica, pero especialmente problemas modernos de mecánica cuántica y relatividad general. Estas aplicaciones se fueron acumulando a lo largo de dos siglos a medida que aumentaba el poder del método y su posterior desarrollo matemático.

Este artículo presenta los conceptos del principio de acción y resume otros artículos con más detalles sobre conceptos y principios específicos.

Conceptos comunes

Los principios de acción son enfoques " integrales " en lugar del enfoque " diferencial " de la mecánica newtoniana . ^{[2] : 162} Las ideas centrales se basan en la energía, los caminos, una función de energía llamada Lagrangiano a lo largo de los caminos y la selección de un camino de acuerdo con la "acción", una suma continua o integral del Lagrangiano a lo largo del camino.

Energía, no fuerza

El estudio introductorio de la mecánica, la ciencia de los objetos que interactúan, generalmente comienza con las leyes de Newton basadas en el concepto de fuerza , definida por la aceleración que causa cuando se aplica a la masa : este enfoque de la mecánica se centra en un solo punto en el espacio y el tiempo, intentando responder la pregunta: "¿Qué sucede después?". ^[3] La mecánica basada en principios de acción comienza con el concepto de acción , un equilibrio de energía entre la energía cinética y la energía potencial , definido por la física del problema. Estos enfoques responden a preguntas relacionadas con los puntos de inicio y final: ¿Qué trayectoria colocará una pelota de baloncesto en el aro? Si lanzamos un cohete a la Luna hoy, ¿cómo puede aterrizar allí en 5 días? ^[3] Las formas newtoniana y del principio de acción son equivalentes, y cualquiera de las dos puede resolver los mismos problemas, pero seleccionar la forma adecuada hará que las soluciones sean mucho más fáciles. ${\displaystyle F=ma.}$

La función de energía en los principios de acción no es la energía total ( conservada en un sistema aislado ), sino el lagrangiano , la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial. La energía cinética combina la energía del movimiento de todos los objetos del sistema; la energía potencial depende de la posición instantánea de los objetos e impulsa el movimiento de los objetos. El movimiento de los objetos los coloca en nuevas posiciones con nuevos valores de energía potencial, lo que da un nuevo valor para el lagrangiano. ^{[4] : 125}

El uso de energía en lugar de fuerza proporciona ventajas inmediatas como base para la mecánica. La mecánica de fuerza implica un cálculo vectorial tridimensional , con 3 coordenadas espaciales y 3 coordenadas de momento para cada objeto en el escenario; la energía es una magnitud escalar que combina información de todos los objetos, lo que proporciona una simplificación inmediata en muchos casos. Los componentes de la fuerza varían con los sistemas de coordenadas; el valor de la energía es el mismo en todos los sistemas de coordenadas. ^{[5] : xxv} La fuerza requiere un marco de referencia inercial; ^{[6] : 65} una vez que las velocidades se acercan a la velocidad de la luz , la relatividad especial afecta profundamente a la mecánica basada en fuerzas. En los principios de acción, la relatividad simplemente requiere un lagrangiano diferente: el principio en sí es independiente de los sistemas de coordenadas. ^[7]

Caminos, no puntos

Los diagramas explicativos de la mecánica basada en fuerzas suelen centrarse en un único punto, como el centro de momento , y muestran vectores de fuerzas y velocidades. Los diagramas explicativos de la mecánica basada en acciones tienen dos puntos con trayectorias reales y posibles que los conectan. ^[8] Estas convenciones diagramáticas reiteran los diferentes puntos fuertes de cada método.

Dependiendo del principio de acción, los dos puntos conectados por trayectorias en un diagrama pueden representar dos posiciones de partículas en diferentes momentos, o los dos puntos pueden representar valores en un espacio de configuración o en un espacio de fases . La tecnología matemática y la terminología de los principios de acción se pueden aprender pensando en términos de espacio físico y luego se pueden aplicar en espacios abstractos más poderosos y generales.

Acción a lo largo de un camino

Los principios de acción asignan un número (la acción) a cada posible camino entre dos puntos. Este número se calcula sumando un valor de energía para cada pequeña sección del camino multiplicado por el tiempo empleado en esa sección: ^[8]

acción ${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\big (}{\text{KE}}(t)-{\text{PE}}(t){\big )}\,dt,}$

donde la forma de las expresiones de energía cinética ( ) y potencial ( ) depende del problema de física, y su valor en cada punto de la trayectoria depende de las coordenadas relativas correspondientes a ese punto. La función de energía se llama lagrangiana; en problemas simples es la energía cinética menos la energía potencial del sistema. ${\displaystyle {\text{KE}}}$ ${\displaystyle {\text{PE}}}$

Variación de trayectoria

Un sistema que se mueve entre dos puntos sigue un camino determinado; no se siguen otros caminos similares. Cada camino corresponde a un valor de la acción. Un principio de acción predice o explica que el camino particular seguido tiene un valor estacionario para la acción del sistema: caminos similares cerca del seguido tienen un valor de acción muy similar. Esta variación en el valor de la acción es clave para los principios de acción.

El símbolo se utiliza para indicar las variaciones de trayectoria , de modo que un principio de acción aparece matemáticamente como ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle (\delta A)_{C}=0,}$

lo que significa que en el punto estacionario , la variación de la acción con algunas restricciones fijas es cero. ^{[9] : 38} Para los principios de acción, el punto estacionario puede ser un mínimo o un punto de silla , pero no un máximo. ^[10] Las órbitas planetarias elípticas proporcionan un ejemplo simple de dos caminos con acción igual, uno en cada dirección alrededor de la órbita; ninguno puede ser el mínimo o la "acción mínima". ^{[2] : 175} La variación de camino implicada por no es la misma que una diferencial como . La integral de acción depende de las coordenadas de los objetos, y estas coordenadas dependen del camino tomado. Por lo tanto, la integral de acción es una funcional , una función de una función. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle dt}$

Principios de conservación

Un resultado importante de la geometría conocido como el teorema de Noether establece que cualquier cantidad conservada en un lagrangiano implica una simetría continua y viceversa. ^[11] Por ejemplo, un lagrangiano independiente del tiempo corresponde a un sistema con energía conservada; la independencia de la traslación espacial implica la conservación del momento; la invariancia de la rotación angular implica la conservación del momento angular. ^{[12] : 489} Estos ejemplos son simetrías globales, donde la independencia es en sí misma independiente del espacio o el tiempo; las simetrías locales más generales que tienen una dependencia funcional del espacio o el tiempo conducen a la teoría de calibre . ^[13] La conservación observada del isospín fue utilizada por Yang Chen-Ning y Robert Mills en 1953 para construir una teoría de calibre para mesones , lo que llevó algunas décadas después a la teoría de la física de partículas moderna . ^{[14] : 202}

Principios distintos

Los principios de acción se aplican a una amplia variedad de problemas físicos, incluida toda la física fundamental. Las únicas excepciones importantes son los casos que involucran fricción o cuando solo se dan la posición inicial y las velocidades. ^[3] Los diferentes principios de acción tienen diferentes significados para las variaciones; cada aplicación específica de un principio de acción requiere un lagrangiano específico que describa la física. Un nombre común para cualquiera o todos estos principios es "principio de mínima acción". Para una discusión de los nombres y el origen histórico de estos principios, consulte nombres de los principios de acción .

Puntos finales fijos con energía conservada

Dwyane Wade lanza tiros libres que ilustran el tipo de limitaciones físicas adecuadas para la aplicación del principio de mínima acción de Maupertuis

Cuando la energía total y los puntos finales son fijos, se aplica el principio de mínima acción de Maupertuis . Por ejemplo, para anotar puntos en baloncesto, la pelota debe salir de la mano del tirador y pasar por el aro, pero el tiempo del vuelo no está restringido. ^[3] El principio de mínima acción de Maupertuis se escribe matemáticamente como la condición estacionaria en la acción abreviada (a veces escrita ), donde son los momentos de las partículas o los momentos conjugados de coordenadas generalizadas , definidas por la ecuación donde es el lagrangiano . Algunos libros de texto escriben ^{[15] : 76  [9] : 356} como , para enfatizar que la variación utilizada en esta forma del principio de acción difiere de la variación de Hamilton . Aquí la energía total es fija durante la variación, pero no el tiempo, lo inverso de las restricciones del principio de Hamilton. ^[16] En consecuencia, la misma trayectoria y los mismos puntos finales toman diferentes tiempos y energías en las dos formas. Las soluciones en el caso de esta forma del principio de Maupertuis son órbitas : funciones que relacionan coordenadas entre sí en las que el tiempo es simplemente un índice o un parámetro. ^[16] $${\displaystyle (\delta W)_{E}=0}$$ $${\displaystyle W[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {dq} ,}$$ ${\displaystyle S_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N})}$ $${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},}$$ ${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ ${\displaystyle (\delta W)_{E}=0}$ ${\displaystyle \Delta S_{0}}$ ${\displaystyle E}$

Potenciales independientes del tiempo; sin fuerzas

Para un sistema invariante en el tiempo, la acción se relaciona simplemente con la acción abreviada en la trayectoria estacionaria como ^{[9] : 434} para la diferencia de energía y tiempo . Para un cuerpo rígido sin fuerza neta, las acciones son idénticas y los principios variacionales se vuelven equivalentes al principio de Fermat del tiempo mínimo: ^{[9] : 360} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \Delta S=\Delta W-E\Delta t}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}}$ $${\displaystyle \delta (t_{2}-t_{1})=0.}$$

Eventos fijos

Un camino hacia la Luna debe tener en cuenta el movimiento de la Luna durante el viaje.

Cuando el problema de física da los dos puntos finales como una posición y un tiempo, es decir, como eventos , se aplica el principio de acción de Hamilton . Por ejemplo, imagine que está planeando un viaje a la Luna. Durante su viaje, la Luna continuará su órbita alrededor de la Tierra: es un objetivo en movimiento. El principio de Hamilton para objetos en posiciones se escribe matemáticamente como La restricción significa que solo consideramos caminos que toman el mismo tiempo, así como que conectan los mismos dos puntos y . El lagrangiano es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial en cada punto del camino. ^{[17] : 62} La solución de las ecuaciones resultantes da la línea del mundo . ^[3] A partir del principio de Hamilton, se puede derivar la ecuación diferencial local de Euler-Lagrange para sistemas de energía fija. La acción en el principio de Hamilton es la transformación de Legendre de la acción en el principio de Maupertuis. ^[18] ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ $${\displaystyle (\delta {\mathcal {S}})_{\Delta t}=0,\ \mathrm {where} \ {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt.}$$ ${\displaystyle \Delta t=t_{2}-t_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (t_{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (t_{2})}$ ${\displaystyle L=T-V}$ ${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$ ${\displaystyle S}$

Teoría clásica de campos

Los conceptos y muchos de los métodos útiles para la mecánica de partículas también se aplican a campos continuos. La integral de acción se ejecuta sobre una densidad lagrangiana, pero los conceptos son tan similares que la densidad a menudo se denomina simplemente lagrangiana. ^{[19] : 15}

Principios de la acción cuántica

Para la mecánica cuántica, los principios de acción tienen ventajas significativas: sólo se necesita un postulado mecánico, si se utiliza un lagrangiano covariante en la acción, el resultado es relativistamente correcto y se realiza una clara transición a equivalentes clásicos. ^{[2] : 128}

Tanto Richard Feynman como Julian Schwinger desarrollaron principios de acción cuántica basados ​​en los primeros trabajos de Paul Dirac . El método integral de Feynman no era un principio variacional, sino que se reducía al principio clásico de mínima acción; condujo a sus diagramas de Feynman . El enfoque diferencial de Schwinger relaciona los cambios infinitesimales de amplitud con los cambios infinitesimales de acción. ^{[2] : 138}

Principio de acción de Feynman

Cuando los efectos cuánticos son importantes, se necesitan nuevos principios de acción. En lugar de que una partícula siga una trayectoria, la mecánica cuántica define una amplitud de probabilidad en un punto y tiempo relacionado con una amplitud de probabilidad en un punto diferente más adelante en el tiempo: donde es la acción clásica. ^[20] En lugar de una trayectoria única con acción estacionaria, todas las trayectorias posibles se suman (la integral sobre ), ponderada por una amplitud de probabilidad compleja . La fase de la amplitud está dada por la acción dividida por la constante de Planck o cuanto de acción: . Cuando la acción de una partícula es mucho mayor que , , la fase cambia rápidamente a lo largo de la trayectoria: la amplitud promedia a un número pequeño. ^[8] Por lo tanto, la constante de Planck establece el límite entre la mecánica clásica y la cuántica. ^[21] ${\displaystyle \psi (x_{k},t)}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \psi (x_{k+1},t+\varepsilon )={\frac {1}{A}}\int e^{iS(x_{k+1},x_{k})/\hbar }\psi (x_{k},t)\,dx_{k},}$$ ${\displaystyle S(x_{k+1},x_{k})}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle e^{iS/\hbar }}$ ${\displaystyle S/\hbar }$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle S/\hbar \gg 1}$

Todos los caminos contribuyen al principio de acción cuántica. En el punto final, donde los caminos se encuentran, los caminos con fases similares se suman y aquellos con fases diferentes se restan. Cerca del camino esperado de la física clásica, las fases tienden a alinearse; la tendencia es más fuerte para los objetos más masivos que tienen valores mayores de acción. En el límite clásico, un camino domina: el camino de la acción estacionaria. ^[22] ${\displaystyle \pi }$

Principio de acción de Schwinger

El enfoque de Schwinger relaciona las variaciones en las amplitudes de transición con las variaciones en un elemento de la matriz de acción: ${\displaystyle (q_{\text{f}}|q_{\text{i}})}$

${\displaystyle \delta (q_{r_{\text{f}}}|q_{r_{\text{i}}})=i(q_{r_{\text{f}}}|\delta S|q_{r_{\text{i}}}),}$

donde está el operador de acción

${\displaystyle S=\int _{t_{\text{i}}}^{t_{\text{f}}}L\,dt.}$

La forma de Schwinger hace que el análisis de la variación del propio Lagrangiano, por ejemplo, la variación en la intensidad de la fuente potencial, sea especialmente transparente. ^{[2] : 138}

La analogía óptico-mecánica

Superficies de acción constante mostradas como frentes de onda perpendiculares a las trayectorias para el caso de la luz

Para cada trayectoria, la integral de acción se construye en valor desde cero en el punto de partida hasta su valor final al final. Cualquier trayectoria cercana tiene valores similares a distancias similares desde el punto de partida. Se pueden dibujar líneas o superficies de valor de acción parcial constante a lo largo de las trayectorias, creando una vista de la acción en forma de onda. Un análisis como este conecta rayos de tipo partícula de óptica geométrica con los frentes de onda del principio de Huygens-Fresnel .

[Maupertuis] ... así se puso de manifiesto la notable analogía entre los fenómenos ópticos y mecánicos que había observado mucho antes John Bernoulli y que luego se desarrolló plenamente en la ingeniosa teoría óptico-mecánica de Hamilton. Esta analogía desempeñó un papel fundamental en el desarrollo de la mecánica ondulatoria moderna.

—  C. Lanczos ^{[5] : 136}

Aplicaciones

Los principios de acción se aplican para derivar ecuaciones diferenciales como las ecuaciones de Euler-Lagrange ^{[9] : 44} o como aplicaciones directas a problemas físicos.

Mecánica clásica

Los principios de acción se pueden aplicar directamente a muchos problemas de la mecánica clásica , por ejemplo, la forma de las varillas elásticas bajo carga, ^{[23] : 9} la forma de un líquido entre dos placas verticales (un capilar ), ^{[23] : 22} o el movimiento de un péndulo cuando su soporte está en movimiento. ^{[23] : 39}

Química

Los principios de acción cuántica se utilizan en la teoría cuántica de átomos en moléculas ( QTAIM ), una forma de descomponer la densidad electrónica calculada de las moléculas en átomos como una forma de obtener información sobre el enlace químico. ^[24]

Relatividad general

Inspirado por el trabajo de Einstein sobre la relatividad general , el renombrado matemático David Hilbert aplicó el principio de mínima acción para derivar las ecuaciones de campo de la relatividad general. ^{[25] : 186} Su acción, ahora conocida como la acción de Einstein-Hilbert ,

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,}$

contenía un elemento de volumen relativistamente invariante y la curvatura escalar de Ricci . El factor de escala es la constante gravitacional de Einstein . ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \kappa }$

Otras aplicaciones

El principio de acción es tan central en la física y las matemáticas modernas que se aplica ampliamente, incluso en la termodinámica , ^{[26] [27] [28]} la mecánica de fluidos , ^[29] la teoría de la relatividad , la mecánica cuántica , ^[30] la física de partículas y la teoría de cuerdas . ^[31]

Historia

El principio de acción está precedido por ideas anteriores en óptica . En la antigua Grecia , Euclides escribió en su Catoptrica que, para la trayectoria de la luz que se refleja en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión . ^{[32] Más tarde,} Herón de Alejandría demostró que esta trayectoria tiene la longitud más corta y el menor tiempo. ^[33]

Basándose en el trabajo inicial de Pierre Louis Maupertuis , Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange que definieron versiones del principio de mínima acción , ^{[34] : 580} William Rowan Hamilton y en conjunto Carl Gustav Jacob Jacobi desarrollaron una forma variacional para la mecánica clásica conocida como la ecuación de Hamilton-Jacobi . ^{[35] : 201}

En 1915, David Hilbert aplicó el principio variacional para derivar las ecuaciones de relatividad general de Albert Einstein . ^[36]

En 1933, el físico Paul Dirac demostró cómo se puede utilizar este principio en los cálculos cuánticos al discernir el fundamento mecánico cuántico del principio en la interferencia cuántica de amplitudes. ^[37] Posteriormente, Julian Schwinger y Richard Feynman aplicaron independientemente este principio en la electrodinámica cuántica. ^{[38] [39]}

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