En el campo matemático de la geometría diferencial , el teorema de Gauss-Bonnet (o fórmula de Gauss-Bonnet ) es una fórmula fundamental que vincula la curvatura de una superficie con su topología subyacente .
En la aplicación más sencilla, el caso de un triángulo sobre un plano , la suma de sus ángulos es 180 grados. [1] El teorema de Gauss-Bonnet extiende esto a formas más complicadas y superficies curvas, conectando las geometrías local y global.
El teorema lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss , que desarrolló una versión pero nunca la publicó, y de Pierre Ossian Bonnet , que publicó un caso especial en 1848. [ no verificado en el cuerpo ]
Supongamos que M es una variedad de Riemann bidimensional compacta con límite ∂ M . Sea K la curvatura gaussiana de M y sea k g la curvatura geodésica de ∂ M . Entonces [2] [3]
donde dA es el elemento de área de la superficie y ds es el elemento de línea a lo largo del límite de M. Aquí, χ ( M ) es la característica de Euler de M.
Si la frontera ∂ M es suave por partes , entonces interpretamos la integral ∫ ∂ M k g ds como la suma de las integrales correspondientes a lo largo de las porciones suaves de la frontera, más la suma de los ángulos que forman las porciones lisas giran en las esquinas. del límite.
Muchas pruebas estándar utilizan el teorema de las tangentes de giro, que establece aproximadamente que el número de vueltas de una curva de Jordan es exactamente ±1. [2]
Supongamos que M es el hemisferio norte recortado de una esfera de radio R. Su característica de Euler es 1. En el lado izquierdo del teorema, tenemos y , porque el límite es el ecuador y el ecuador es una geodésica de la esfera. Entonces .
Por otro lado, supongamos que aplanamos el hemisferio para convertirlo en un disco. Esta transformación es un homeomorfismo, por lo que la característica de Euler sigue siendo 1. Sin embargo, en el lado izquierdo del teorema ahora tenemos y , porque una circunferencia no es una geodésica del plano. Entonces .
Finalmente, tomemos un octante de esfera, también homeomórfico a los casos anteriores. Entonces . Ahora casi en todas partes a lo largo de la frontera, que es un triángulo geodésico. Pero tenemos tres esquinas en ángulo recto, entonces .
El teorema se aplica en particular a superficies compactas sin límite, en cuyo caso la integral
puede ser omitido. Afirma que la curvatura gaussiana total de dicha superficie cerrada es igual a 2 π veces la característica de Euler de la superficie. Tenga en cuenta que para superficies compactas orientables sin límite, la característica de Euler es igual a 2 − 2 g , donde g es el género de la superficie: cualquier superficie compacta orientable sin límite es topológicamente equivalente a una esfera con algunas asas adjuntas, y g cuenta el número de manejas.
Si uno dobla y deforma la superficie M , su característica de Euler, al ser una invariante topológica, no cambiará, mientras que las curvaturas en algunos puntos sí lo harán. El teorema establece, algo sorprendente, que la integral total de todas las curvaturas seguirá siendo la misma, sin importar cómo se realice la deformación. Entonces, por ejemplo, si tienes una esfera con una "abolladura", entonces su curvatura total es 4 π (la característica de Euler de una esfera es 2), sin importar cuán grande o profunda sea la abolladura.
La compacidad de la superficie es de crucial importancia. Consideremos, por ejemplo, el disco unitario abierto , una superficie de Riemann no compacta y sin límite, con curvatura 0 y característica de Euler 1: la fórmula de Gauss-Bonnet no funciona. Sin embargo, es válido para el disco unitario cerrado compacto, que también tiene la característica de Euler 1, debido a la integral de frontera agregada con valor 2 π .
Como aplicación, un toroide tiene característica de Euler 0, por lo que su curvatura total también debe ser cero. Si el toro lleva la métrica de Riemann ordinaria desde su incrustación en R 3 , entonces el interior tiene una curvatura gaussiana negativa, el exterior tiene una curvatura gaussiana positiva y la curvatura total es de hecho 0. También es posible construir un toro identificando los lados opuestos. de un cuadrado, en cuyo caso la métrica de Riemann en el toro es plana y tiene una curvatura constante 0, lo que nuevamente resulta en una curvatura total 0. No es posible especificar una métrica de Riemann en el toro con curvatura gaussiana positiva o negativa en todas partes.
A veces, la fórmula de Gauss-Bonnet se expresa como
donde T es un triángulo geodésico . Aquí definimos un "triángulo" en M como una región simplemente conectada cuyo límite consta de tres geodésicas . Luego podemos aplicar GB a la superficie T formada por el interior de ese triángulo y el límite por partes del triángulo.
La curvatura geodésica de las geodésicas limítrofes es 0 y la característica de Euler de T es 1.
Por tanto, la suma de los ángulos de giro del triángulo geodésico es igual a 2 π menos la curvatura total dentro del triángulo. Dado que el ángulo de giro en una esquina es igual a π menos el ángulo interior, podemos reformularlo de la siguiente manera: [4]
En el caso del plano (donde la curvatura gaussiana es 0 y las geodésicas son líneas rectas), recuperamos la conocida fórmula para la suma de ángulos en un triángulo ordinario. En la esfera estándar, donde la curvatura es en todas partes 1, vemos que la suma de los ángulos de los triángulos geodésicos es siempre mayor que π .
Varios resultados anteriores en geometría esférica y geometría hiperbólica, descubiertos durante los siglos anteriores, fueron subsumidos como casos especiales de Gauss-Bonnet.
En trigonometría esférica y trigonometría hiperbólica , el área de un triángulo es proporcional a la cantidad en la que sus ángulos interiores no suman 180°, o equivalentemente a la cantidad (inversa) en la que sus ángulos exteriores no suman 360° .
El área de un triángulo esférico es proporcional a su exceso, según el teorema de Girard : la cantidad por la cual sus ángulos interiores suman más de 180°, que es igual a la cantidad por la cual sus ángulos exteriores suman menos de 360°.
El área de un triángulo hiperbólico , por el contrario, es proporcional a su defecto , como lo estableció Johann Heinrich Lambert .
El teorema de Descartes sobre el defecto angular total de un poliedro es el análogo poliédrico: establece que la suma del defecto en todos los vértices de un poliedro que es homeomorfo a la esfera es 4 π . De manera más general, si el poliedro tiene la característica de Euler χ = 2 − 2 g (donde g es el género, que significa "número de agujeros"), entonces la suma del defecto es 2 πχ . Este es el caso especial de Gauss-Bonnet, donde la curvatura se concentra en puntos discretos (los vértices).
Pensando en la curvatura como una medida , más que como una función, el teorema de Descartes es Gauss-Bonnet donde la curvatura es una medida discreta , y Gauss-Bonnet para medidas generaliza tanto Gauss-Bonnet para variedades suaves como el teorema de Descartes.
Existen varios análogos combinatorios del teorema de Gauss-Bonnet. Decimos el siguiente. Sea M una pseudovariedad bidimensional finita . Sea χ ( v ) el número de triángulos que contienen el vértice v . Entonces
donde la primera suma se extiende sobre los vértices en el interior de M , la segunda suma está sobre los vértices límite y χ ( M ) es la característica de Euler de M.
Se pueden obtener fórmulas similares para pseudovariedades bidimensionales cuando reemplazamos triángulos con polígonos superiores. Para polígonos de n vértices, debemos reemplazar 3 y 6 en la fórmula anterior connorte/norte - 2y2 norte/norte - 2, respectivamente. Por ejemplo, para los cuadriláteros debemos reemplazar 3 y 6 en la fórmula anterior por 2 y 4, respectivamente. Más específicamente, si M es una variedad digital bidimensional cerrada , resulta el género [5]
donde M i indica el número de puntos de superficie, cada uno de los cuales tiene i puntos adyacentes en la superficie. Ésta es la fórmula más simple del teorema de Gauss-Bonnet en el espacio digital tridimensional.
El teorema de Chern (después de Shiing-Shen Chern 1945) es la generalización bidimensional de GB (ver también homomorfismo de Chern-Weil ).
El teorema de Riemann-Roch también puede verse como una generalización de GB a variedades complejas .
Una generalización de gran alcance que incluye todos los teoremas mencionados anteriormente es el teorema del índice de Atiyah-Singer .
Una generalización a 2 variedades que no necesita ser compacta es la desigualdad de Cohn-Vossen .
En la novela Diaspora de Greg Egan , dos personajes discuten la derivación de este teorema.
El teorema se puede utilizar directamente como sistema para controlar la escultura. Por ejemplo, en una obra de Edmund Harriss en la colección del University of Arkansas Honors College . [6]
