La desigualdad de Cohn-Vossen

Relaciona la integral de la curvatura gaussiana de superficies con la característica de Euler

En geometría diferencial , la desigualdad de Cohn-Vossen , llamada así en honor a Stefan Cohn-Vossen , relaciona la integral de la curvatura gaussiana de una superficie no compacta con la característica de Euler . Es similar al teorema de Gauss-Bonnet para una superficie compacta .

Una trayectoria divergente dentro de una variedad de Riemann es una curva suave en la variedad que no está contenida dentro de ningún subconjunto compacto de la variedad. Una variedad completa es aquella en la que cada camino divergente tiene una longitud infinita con respecto a la métrica de Riemann en la variedad. La desigualdad de Cohn-Vossen establece que en cada S de 2 variedades de Riemann completa con curvatura total finita y característica de Euler finita, tenemos ^[1]

${\displaystyle \iint _{S}K\,dA\leq 2\pi \chi (S),}$

donde K es la curvatura gaussiana, dA es el elemento de área y χ es la característica de Euler.

Ejemplos

• Si S es una superficie compacta (sin límite), entonces la desigualdad es una igualdad según el teorema habitual de Gauss-Bonnet para variedades compactas.
• Si S tiene una frontera, entonces el teorema de Gauss-Bonnet da

${\displaystyle \iint _{S}K\,dA=2\pi \chi (S)-\int _{\partial S}k_{g}\,ds}$

donde es la curvatura geodésica del límite y su integral la curvatura total que es necesariamente positiva para una curva de límite y la desigualdad es estricta. (Un resultado similar se cumple cuando el límite de S es suave por partes.) ${\displaystyle k_{g}}$

• Si S es el plano R ² , entonces la curvatura de S es cero y χ ( S ) = 1, por lo que la desigualdad es estricta: 0 < 2 π .

notas y referencias

1. Robert Osserman, Un estudio de superficies mínimas , Publicaciones Courier Dover, 2002, página 86.

• Cohn-Vossen, Stefan (1935). "Kürzeste Wege und Totalkrümmung auf Flächen". Composición Matemática . 2 : 69-13. JFM  61.0789.01. SEÑOR  1556908. Zbl  0011.22501.
• Huber, Alfred (1957). "Sobre funciones subarmónicas y geometría diferencial en grande". Comentarios Mathematici Helvetici . 32 (1): 13–72. doi :10.1007/BF02564570. hdl : 2027/mdp.39015095254580 . Señor  0094452. Zbl  0080.15001.
• Li, Pedro (2000). "Teoría de la curvatura y la función de las variedades de Riemann". En Yau, S.-T. (ed.). Levantamientos en Geometría Diferencial . vol. 7. Somerville, MA: Prensa internacional. págs. 375–432. doi : 10.4310/SDG.2002.v7.n1.a13 . ISBN 1-57146-069-1. SEÑOR  1919432. Zbl  1066.53084.
• Shiohama, Katsuhiro; Shioya, Takashi; Tanaka, Minoru (2003). La geometría de curvatura total en superficies abiertas completas . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 159. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . doi :10.1017/CBO9780511543159. ISBN 0-521-45054-3. SEÑOR  2028047. Zbl  1086.53056.

enlaces externos

• Teorema de Gauss-Bonnet, en la Enciclopedia de Matemáticas, que incluye una breve descripción de la desigualdad de Cohn-Vossen