Desigualdad de Cohn-Vossen

Relaciona la integral de la curvatura gaussiana de superficies con la característica de Euler.

En geometría diferencial , la desigualdad de Cohn-Vossen , llamada así en honor a Stefan Cohn-Vossen , relaciona la integral de la curvatura gaussiana de una superficie no compacta con la característica de Euler . Es similar al teorema de Gauss-Bonnet para una superficie compacta .

Un camino divergente dentro de una variedad de Riemann es una curva suave en la variedad que no está contenida dentro de ningún subconjunto compacto de la variedad. Una variedad completa es aquella en la que cada camino divergente tiene una longitud infinita con respecto a la métrica de Riemann en la variedad. La desigualdad de Cohn-Vossen establece que en cada 2-variedad de Riemann completa S con curvatura total finita y característica de Euler finita, tenemos ^[1]

${\displaystyle \iint _{S}K\,dA\leq 2\pi \chi (S),}$

donde K es la curvatura gaussiana, dA es el elemento de área y χ es la característica de Euler.

Ejemplos

• Si S es una superficie compacta (sin límite), entonces la desigualdad es una igualdad según el teorema de Gauss-Bonnet habitual para variedades compactas.
• Si S tiene un límite, entonces el teorema de Gauss-Bonnet da

${\displaystyle \iint _{S}K\,dA=2\pi \chi (S)-\int _{\partial S}k_{g}\,ds}$

donde es la curvatura geodésica del límite y su integral es la curvatura total , que es necesariamente positiva para una curva límite, y la desigualdad es estricta. (Un resultado similar se cumple cuando el límite de S es suave por partes). ${\displaystyle k_{g}}$

• Si S es el plano R ² , entonces la curvatura de S es cero, y χ ( S ) = 1, por lo que la desigualdad es estricta: 0 < 2 π .

Notas y referencias

1. Robert Osserman, Un estudio de superficies mínimas , Courier Dover Publications, 2002, página 86.

• Cohn-Vossen, Stefan (1935). "Kürzeste Wege und Totalkrümmung auf Flächen". Composición Matemática . 2 : 69-13. JFM  61.0789.01. SEÑOR  1556908. Zbl  0011.22501.
• Huber, Alfred (1957). "Sobre funciones subarmónicas y geometría diferencial en grande". Comentarios Mathematici Helvetici . 32 (1): 13–72. doi :10.1007/BF02564570. hdl : 2027/mdp.39015095254580 . Señor  0094452. Zbl  0080.15001.
• Li, Peter (2000). "Curvatura y teoría de funciones en variedades de Riemann". En Yau, S.-T. (ed.). Surveys in Differential Geometry . Vol. 7. Somerville, MA: International Press. págs. 375–432. doi : 10.4310/SDG.2002.v7.n1.a13 . ISBN 1-57146-069-1.MR 1919432.Zbl 1066.53084  . ​
• Shiohama, Katsuhiro; Shioya, Takashi; Tanaka, Minoru (2003). La geometría de la curvatura total en superficies completamente abiertas . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 159. Cambridge: Cambridge University Press . doi :10.1017/CBO9780511543159. ISBN . 0-521-45054-3.MR  2028047.Zbl 1086.53056  .​

Enlaces externos

• Teorema de Gauss-Bonnet, en la Enciclopedia de Matemáticas, incluida una breve descripción de la desigualdad de Cohn-Vossen